Análisis cinemático: ACELERACION

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1 Análisis cinemático: ACELERACION
MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

2 MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.
Índice INTRODUCCION. ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES. Método de las aceleraciones relativas. ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES. Introducción. Planteamiento general. Aceleraciones de puntos del mecanismo. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

3 MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.
Introducción Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos planos con un grado de libertad, se realizará, en el presente tema, el análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos mencionado. Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo de análisis se supuso conocido el valor de la variable primaria o posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como su variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la aceleración del eslabón de entrada es también conocida y, por lo tanto, un dato de partida. Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordará el estudio de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas gráficas por una parte, y basadas en el cálculo numérico por otra. Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la utilización de uno u otro método siguen siendo completamente válidas en el tema que a continuación se va a desarrollar. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

4 Análisis gráfico de aceleraciones.
Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones. En la figura se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos A y B y la velocidad relativa vBA, con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por: Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, a, así como la aceleración del punto A. Para calcular la aceleración del punto B por medio del método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

5 Análisis gráfico de aceleraciones.
Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones. y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y normal: Donde: siendo su dirección la de la recta AB y su sentido de B a A. con dirección perpendicular a la recta AB y su sentido el indicado por la aceleración angular a. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

6 Análisis gráfico de aceleraciones.
Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones. Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se presenta, en el que no se conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto B. Para calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se indica. Se plantea la ecuación de aceleraciones relativas: a) Se elige un polo de aceleraciones O y se traza a escala el vector , obteniéndose el punto a . b) Se calcula la aceleración c) Por el extremo de se dibuja el vector d) Por el extremo de se traza un recta perpendicular a este vector. La dirección de esta recta coincidirá con la de la aceleración tangencial relativa e) Por el polo de aceleraciones se dibuja una línea paralela a la dirección, conocida, de la aceleración del punto B. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

7 Análisis gráfico de aceleraciones.
Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones. f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de aceleraciones, el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el punto b, con lo que queda calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la aceleración Por otra parte, si se desea calcular la aceleración angular del eslabón, puesto que: se obtiene que: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

8 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones Se aplicará el método descrito al mecanismo de cuatro eslabones. Como es habitual, antes de comenzar el análisis de aceleraciones se supondrá resuelto el problema de velocidades; de igual forma, la aceleración angular del eslabón motor (el eslabón 2 en el caso propuesto) deberá ser conocida. La aceleración del punto A puede ser de inmediato conocida a través de sus componentes normal y tangencial: Por otra parte : descomponiendo la aceleración del punto B y la relativa del punto B respecto del A, se obtiene: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

9 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones Ambas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya que: siendo la dirección de la aceleración normal del punto B la de la recta O4B y su sentido de O4 a B, mientras que la dirección de la componente normal de la aceleración relativa es la de la recta AB y su sentido desde B hacia A. Por otra parte las direcciones de las aceleraciones tangenciales incógnita son también conocidas: es perpendicular a O4B es perpendicular a BA MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

10 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones Por lo tanto, operando como a continuación se indica se obtendrá la aceleración del punto B: a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se traza b) Por el extremo de se dibuja c) Por el extremo de se dibuja una perpendicular a la dirección BA. d) Con origen en el polo se dibuja el vector y por su extremo una perpendicular a la dirección O4B. e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a BA y a O4B se obtiene el punto b y, por tanto, la aceleración del punto B MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

11 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Análisis gráfico de aceleraciones. Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

12 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones En el caso de que se quiera calcular la aceleración de otro punto del eslabón (por ejemplo el punto C del eslabón flotante 3 del mecanismo de la figura), al estar previamente calculada la aceleración angular de dicho eslabón aplicando el método de las velocidades relativas, se tendrá: Puesto que la aceleración del punto A es conocida, sólo falta por determinar la relativa; descomponiendo esta en tangencial y normal: Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente w3 y a3: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

13 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Mecanismos con órganos deslizantes. Cuando se trata de determinar la aceleración de un punto perteneciente a un eslabón que se desliza sobre otro eslabón que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un problema de movimiento compuesto del punto, cuya solución mediante la aplicación de métodos gráficos será tratada en el presente apartado. Un caso típico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Malta. Este mecanismo consta de una manivela con un tetón en el extremo que se desliza por las ranuras del eslabón en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

14 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Mecanismos con órganos deslizantes. En la figura se muestra la representación esquemática del mecanismo) junto con la solución gráfica al problema de cálculo de velocidades y de aceleraciones, cuya construcción a continuación se explica Puesto que son conocidos tanto w2 como a2, se podrá calcular de forma inmediata la aceleración del punto A del eslabón 2. Siendo: Por otra parte, teniendo en cuenta que el punto A2 se desplaza según la dirección A4O4, que a su vez tiene un movimiento de rotación respecto al centro O4 . Siendo el primer término de la derecha la aceleración de arrastre: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

15 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Mecanismos con órganos deslizantes. Puesto que se supone resuelto el problema de velocidades, la velocidad angular del eslabón 4 será conocida y, por tanto, la aceleración normal del punto A4 : En cuanto a la aceleración tangencial del punto A4, sólo será conocida su dirección: perpendicular a la de la aceleración normal. Por otra parte, el término es la aceleración del punto A2 tal y como la percibe un observador situado en el eslabón 4, es decir la aceleración relativa del punto respecto a un supuesto sistema de referencia unido de forma invariable a dicho eslabón. Para este observador, la aceleración del punto A2 sólo tendrá componente tangencial, puesto que la trayectoria desde su referencia es rectilínea por lo que esta componente será paralela a la dirección A4O4 MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

16 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Mecanismos con órganos deslizantes. El último término representa la aceleración de Coriolis, cuyo valor es: donde es la velocidad del eslabón 4 (velocidad de rotación del sistema de referencia móvil) y la velocidad relativa del punto A del eslabón 2 tal y como la ve un observador situado en el eslabón 4; por tanto, se puede calcular el módulo de la aceleración de Coriolis mediante: siendo su dirección perpendicular a la de la velocidad relativa y su sentido el obtenido al aplicar la regla de Maxwell en el producto vectorial En la figura se ha representado la construcción gráfica del polígono de aceleraciones; para su realización se deben seguir los siguientes pasos : a) Se representa , a la escala elegida, desde un polo de aceleraciones O. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

17 Análisis gráfico de aceleraciones.
MECANISMOS Mecanismos con órganos deslizantes. b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleración y por su extremo una recta perpendicular a ,cuya dirección es la de c) Por el extremo de se dibuja el vector que representa de aceleración de Coriolis, de forma que su extremo coincida con el de d) Por el origen de se traza una línea cuya dirección será la de la aceleración tangencial relativa. e) Donde se cruzan las rectas trazadas por los extremos de los vectores que representan a y a , se obtiene el punto que es el extremo del vector Como en los casos anteriores, una vez conocido el valor de la aceleración tangencial de alguno de los punto pertenecientes al eslabón 4, su aceleración angular será calculada por medio de: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

18 Análisis numérico de aceleraciones.
Introducción: A modo de introducción se desarrollará el cálculo de aceleraciones en algunos tipos de mecanismos ampliamente utilizados para posteriormente acometer su estudio de forma general. Se supondrá, en todo caso, conocida la aceleración del eslabón motor. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

19 Análisis numérico de aceleraciones.
Mecanismo de tres eslabones: Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado, se obtuvo : Derivando respecto al tiempo y operando: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

20 Análisis numérico de aceleraciones.
Mecanismo de tres eslabones: Para realizar el estudio de aceleraciones se derivarán dos veces respecto del tiempo las ecuaciones de posición: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

21 Análisis numérico de aceleraciones.
Mecanismo de tres eslabones: Ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas , siempre y cuando se conozcan con anterioridad los valores de las variables de posición (primarias y secundarias) y sus variaciones con el tiempo, esto es sus velocidades. Una vez solucionado el sistema planteando, quedará: Donde se observa que la aceleración se compone de dos términos: uno proporcional a El otro proporcional a . MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

22 Análisis numérico de aceleraciones.
Mecanismo de tres eslabones: Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo: Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de velocidad son funciones de q y aplicando de forma correcta la regla de la cadena: que puede expresarse como: en donde a los términos se les denominará coeficientes derivativos de la velocidad. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

23 Análisis numérico de aceleraciones.
Mecanismo de biela-manivela: Se propone como ejercicio para el alumno el desarrollo del cálculo de aceleraciones siguiendo el primero de los métodos indicados en el apartado anterior a partir de las derivaciones sucesivas respecto al tiempo de las ecuaciones componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

24 Análisis numérico de aceleraciones.
Planteamiento general: Como se vio, cuando se plantean las ecuaciones de posición se obtiene un sistema de n ec. con n incógnitas: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

25 Análisis numérico de aceleraciones.
Derivando respecto del tiempo: De donde se obtuvo: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

26 Análisis numérico de aceleraciones.
Una vez resuelto el sistema en los Kai: Derivando esta expresión respecto del tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de velocidad son función de la variable primaria q : MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

27 Análisis numérico de aceleraciones.
Para realizar la derivada de es necesario conocer los valores de los componentes de la matriz de coeficientes de velocidad en forma funcional, esto es, su expresión algebraica; pero en la mayoría de los casos puede resultar demasiado engorroso, por lo tanto se presenta el siguiente método, válido en el caso de que se conozca numéricamente (es decir sus valores para la posición analizada del mecanismo). Como se ha visto: puesto que es la matriz jacobiana: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

28 Análisis numérico de aceleraciones.
derivando esta ecuación respecto a la variable primaria q: de donde: y por último para calcular la matriz de los coeficientes derivativos de las velocidades: . MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

29 Análisis numérico de aceleraciones.
Aceleraciones de puntos de definición del mecanismo: pares. Caso 1: El eslabón al que pertenece el punto está unido a la bancada: Como se puede observar, la aceleración del punto B se compone de dos términos que no son sino la aceleración tangencial, el primero de ellos, y la aceleración normal. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

30 Análisis numérico de aceleraciones.
Aceleraciones de puntos de definición del mecanismo: pares. Caso 2: El eslabón al que pertenece el punto NO está unido a la bancada: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

31 Análisis numérico de aceleraciones.
Aceleraciones de puntos asociados a un eslabón. Cálculo de la aceleración del punto P (asociado al eslabón i), de coordenadas locales (up, vp). Derivando respecto del tiempo: Y volviendo a derivar se obtienen las componentes de la aceleración del punto. MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.