Resolución Gráfica de PPL

Presentación del tema: "Resolución Gráfica de PPL"— Transcripción de la presentación:

1 Resolución Gráfica de PPL
Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 (o 3) variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema. EII-405 Investigación de operaciones

2 EII-405 Investigación de operaciones
Método gráfico Graficar la región de soluciones factibles. Obtener los puntos extremos de la región de soluciones factibles. Evaluar dichos puntos en la F.O. El óptimo estará en aquel punto que entregue una solución mayor o menor, según corresponda. EII-405 Investigación de operaciones

3 EII-405 Investigación de operaciones
Ejemplo Dado el siguiente problema: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 EII-405 Investigación de operaciones

4 EII-405 Investigación de operaciones
Ejemplo Se dibuja la región de puntos factibles. Para ello se grafican las restricciones. x2 x1 = 4 x2 = 6 6 4 Región Factible 2 x1 2 4 6 3 x1 + 2 x2 = 18 EII-405 Investigación de operaciones

5 EII-405 Investigación de operaciones
Ejemplo Determinada la región factible, se evalúan los puntos factibles en la F.O. y el de mejor valor es el punto óptimo. 6 2 4 x1 x2 (0,6) Región Factible (2,6) (4,3) (4,0) (0,0) Pto. Z (0,0) (0,6) 30 (2,6) 36 (4,3) 27 (4,0) 12 EII-405 Investigación de operaciones

6 EII-405 Investigación de operaciones
Ejemplo Otra forma posible, que evita tener que evaluar todos los punto es calculando el gradiente de la F.O y trazando sus curvas de nivel. 6 2 4 x1 x2 3 x1 + 5 x2 = 36 3 x1 + 5 x2 = 20 3 x1 + 5 x2 = 10 EII-405 Investigación de operaciones

7 EII-405 Investigación de operaciones
Ejemplo Con la región de puntos factibles dibujada, se trazan las curvas de nivel de la F.O. 6 2 4 x1 x2 3 x1 + 5 x2 = 36 3 x1 + 5 x2 = 20 3 x1 + 5 x2 = 10 Z=(3,5) EII-405 Investigación de operaciones

8 EII-405 Investigación de operaciones
Importante Cada vez que el dominio (o región factible) sea cerrado y acotado, el problema tiene solución. De existir una solución, siempre se encontrará en un vértice. Cuando se está minimizando, las curvas de nivel se desplazan en un sentido contrario al gradiente. EII-405 Investigación de operaciones

9 EII-405 Investigación de operaciones
Múltibles soluciones Supongamos el siguiente ejemplo: MAX Z = 6 x1 + 4 x2 s.a x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 EII-405 Investigación de operaciones

10 Múltiples soluciones En este caso, al trazar las curvas de nivel vemos que son paralelas a una de las restricciones. Es decir, la pendiente de la F.O. es igual a la de una restricción. x2 Múltiples soluciones óptimas. Z=(6,4) 6 4 2 3 x1 + 2 x2 = 18 x1 2 4 6 3 x1 + 2 x2 = k EII-405 Investigación de operaciones

11 EII-405 Investigación de operaciones
Región no acotada Supongamos este otro ejemplo: MAX Z = 5 x x2 s.a x1  5 2 x1 - x2  2 x1 , x2  0 EII-405 Investigación de operaciones

12 EII-405 Investigación de operaciones
Región no acotada En este caso, al trazar las curvas de nivel vemos que pueden crecer infinitamente en la dirección de la gradiente. Por lo que la región factible (o dominio), no es acotada. x2 Z=(5,12) 6 4 2 x1 1 5 EII-405 Investigación de operaciones

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Región infactible Dado el ejemplo: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  5 x2  4 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 EII-405 Investigación de operaciones

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Región infactible Puede ser que la intersección de todas las restricciones de vacía. En este caso no existe región factible y el problema es infactible. x2 4 x1 5 EII-405 Investigación de operaciones

15 Análisis de sensibilidad
Responde a las siguientes preguntas: ¿En qué intervalo puedo variar los coeficientes de la F.O. sin que cambie la actual solución óptima? ¿Cuánto varía el óptimo si se cambia el parámetro “del lado derecho” (bi) de una restricción ? ¿Qué recurso tiene mayor impacto en la F.O. y en el valor óptimo? EII-405 Investigación de operaciones

16 Análisis de sensibilidad
Retomando el problema de las sillas y mesas: Sea: x1: Nº de sillas elaboradas. x2: Nº de mesas elaboradas. Máx Z = 15 x x2 s.a. x1 + 2 x2  6 2 x1 + 2 x2  8 x1 , x2  0 EII-405 Investigación de operaciones

17 Análisis de sensibilidad
Trazando las curvas de nivel, se obtiene el punto (2,2) con z*=70. Z=(15,20) 4 6 3 x1 x2 (2,2) EII-405 Investigación de operaciones

18 EII-405 Investigación de operaciones
Variación de los Ci Se analizan las pendientes de las restricciones activas y la de la F.O. Entonces, el actual vértice (2,2) seguirá siendo la solución óptima mientras: 4 6 3 x1 x2 (2,2) -1  - c1 /c2  -1/2 con c2  c1 2 c1  c2 - c1 /c2 -1/2 -1 EII-405 Investigación de operaciones

19 EII-405 Investigación de operaciones
Variación de los Ci También se puede estudiar el intervalo de variación de un solo coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos: Para c1, el vértice x1*=2 y x2*=2 sigue siendo óptimo si: -1  - c1 /20  -1/2 c1  20 y c1  10 10  c1  20 Y para c2, ocurre lo mismo si: -1  - 15/c2  -1/2 c2  15 y c2  30 10  c2  20 EII-405 Investigación de operaciones

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Variación de los bi En este caso interesa hallar la mínima y máxima variación del bi que conserve la actual geometría del problema, es decir, que conserve las actuales restricciones activas. De esta manera, la solución óptima cambia, pero se obtiene a partir de las mismas restricciones activas. 4 6 3 x1 x2 x1 + 2 x2 = 8 x1 + 2 x2 = 4 En el ejemplo, para la 1ª restricción: x1 + 2 x2 = b1, la mayor variación se obtiene en b1=8, en tanto que la menor se obtiene en b1=4. EII-405 Investigación de operaciones

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Variación de los bi Entonces es posible calcular la tasa de cambio de la F.O. al variar bi: Lo anterior significa que que si dispongo de 1 unidad más del recurso, entonces la utilidad va aumentar en 5 unidades. Lo anterior es válido dentro del rango, porque fuera de él las restricciones activas cambian. EII-405 Investigación de operaciones

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Variación de los bi La tasa de cambio es una para cada restricción. También se le llama “Precio sombra” pues representa el valor máximo que estoy dispuesto a pagar por una unidad de ese recurso. Con los precios sombra se puede ver cuál recurso es el que más afecta a la F.O. Toda restricción que no esté activa tiene precio sombra cero. EII-405 Investigación de operaciones

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Variación de los bi Siguiendo con el ejemplo, para la 2ª restricción: 2 x1 + 2 x2 = b2 , la mayor variación se obtiene en =12, en tanto que la menor se obtiene en =6. 4 6 3 x1 x2 2 x1 + 2 x2 = 12 EII-405 Investigación de operaciones

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Variación de los bi En este ejemplo ambos recursos presentan igual tasa de cambio, o precio sombra, por lo que cualquiera aporta el mismo beneficio a la F.O. Entonces la elección depende de los precios de compra de cada recurso. Elijo el más barato. En general, si se dispone de dinero, se elige el recurso que entregue mayor tasa de cambio, descontado el precio de compra del recurso. EII-405 Investigación de operaciones