HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Copyright © 2010 by Hawkes Learning Systems/Quant Systems, Inc. All rights reserved. Capítulo 7 Distribuciones.

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1 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Copyright © 2010 by Hawkes Learning Systems/Quant Systems, Inc. All rights reserved. Capítulo 7 Distribuciones de Probabilidad, valor esperado y varianza

2 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Probability Distributions: Information about the Future Section 7.1 Types of Random Variables Objetivos: Definir variables aleatorias discretas. Definir variables aleatorias continuas Describir la notación probabilística.

3 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Variable aleatoria – un resultado numérico de un proceso aleatorio. Distribución probabilística – un modelo que describe un tipo específico de proceso aleatorio. Variable aleatoria discreta– una variable aleatoria que tiene un número fijo de posibles resultados. Variable aleatoria continua – una variable aleatoria que puede asumir cualquier valor en un segmento continuo del eje de números reales. Definiciones: Probability Distributions: Information about the Future Section 7.1 Types of Random Variables

4 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Variables aleatorias discretas: Para describir una variable aleatoria discreta: Indica la variable. Enlista todos los posibles valores de la variable. Determina las probabilidades de estos valores. Notación para variables aleatorias: Letras mayúsculas, como X, se utilizarán para referirse a una variable aleatoria, mientras que letras minúsculas, como x, se referirán a valores específicos de la variable aleatoria. Con frecuencia, los valores específicos tendrán subíndices, Probability Distributions: Information about the Future Section 7.1 Types of Random Variables

5 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Ejemplo: Lanza un dado y observa el resultado. Enlista los tres pasos: Indica la variable: X = el resultado del dado lanzado. Enlista los posibles valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6. En este caso, Determina la probabilidad de obtener cada valor. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.1 Types of Random Variables

6 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Describir una variable aleatoria continua: Tiempo entre fallos. Calcula el tiempo entre instalar una luz de freno en tu auto y que la luz deje de funcionar. Definir una variable aleatoria continua es muy similar a definir una variable aleatoria discreta. Indentifica la variable aleatoria: X = tiempo que transcurre entre la instalación y el fallo. Indentifica el rango de valores: Entre cero e infinito, nota que X se mide como una escala continua. Define la densidad probabilística: Desconocida, pero probablemente estaría modelada por datos históricos y estaría distribuida exponencialmente. Nota: para variables aleatorias continuas especificamos las probabilidades con funciones de densidad probabilística. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.1 Types of Random Variables

7 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Chapter Name Section ## Section Name Probability Distributions: Information about the Future Section 7.2 Discrete Probability Distributions Objetivos: Describir las características de variables aleatorias discretas.

8 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Distribución Discreta de Probabilidad– todos los posibles valores de una variable aleatoria con sus probabilidades asociadas. Definición: Características de las distribuciones discretas de probabilidad: La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1 La probabilidad de cualquier valor debe estar entre 0 y 1, incuyéndolos. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.2 Discrete Probability Distributions

9 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Crear una distribución de probabilidad para X, el número de caras si se lanza una moneda 4 veces. Solución: Para empezar, enlistar todos los posibles valores de X. Luego, encontrar la distribución de probabilidad, se necesita calcular la probabilidad de cada resultado. Lanzar una moneda xP(X=x)Eventos Simples Probability Distributions: Information about the Future Section 7.2 Discrete Probability Distributions Ejemplo:

10 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists La distribución de probabilidad del precio de una acción 30 días a partir de ahora es la siguiente. Encuentra la probabilidad de que el precio de una acción sea mayor a $56. Precios de Acción xP(X=x) 54.5.05 55.0.10 55.5.25 56.0.30 56.5.20 57.0.10 Con base en la distribución de probabilidad, la probabilidad de que el precio de la acción sea mayor a $56 en treinta días se calcula así: Probability Distributions: Information about the Future Section 7.2 Discrete Probability Distributions Ejemplo: Solución:

11 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Probability Distributions: Information about the Future Section 7.3 Expected Value Objetivos: Definir y describir el valor esperado de una variable aleatoria discreta.

12 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Valor esperado: El valor esperado de la variable aleatoria X es la media de la variable aleatoria X. Se denota E(X). Probability Distributions: Information about the Future Section 7.3 Expected Value

13 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists John vende coches. Calcula el valor esperado del número de coches que John vende cada día. Ventas de coches xP(X=x) Solución: Probability Distributions: Information about the Future Section 7.3 Expected Value Ejemplo:

14 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Estás tratando de elegir entre dos opciones de inversión. Los dos planes se muestran en la tabla de abajo. La columna de la izquierda describe la ganancia potencial de cada plan y la columna de la derecha sus respectivas probabilidades. ¿Qué plan escogerías? Ejemplo: Valor esperado Inversión AInversión B GananciaProbabilidadGananciaProbabilidad $1200.1$1500.3 $950.2$800.1 $130.4–$100.2 –$575.1–$250.2 –$1400.2–$690.2 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.3 Expected Value

15 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: Resulta dificil determinar qué plan es mejor simplemente observando la tabla. Utilicemos el valor esperado para comparar los planes. Para la Inversión A: Para la Inversión B: E(X) = (1200)(.1) + (950)(.2) + (130)(.4) + (–575)(.1) + (–1400)(.2) = 120 + 190 + 52 – 57.50 – 280 = $24.50 E(X) = (1500)(.3) + (800)(.1) + (–100)(.2) + (–250)(.2) + (–690)(.2) = 450 + 80 – 20 – 50 – 138 = $322.00 B es la mejor opción Probability Distributions: Information about the Future Section 7.3 Expected Value

16 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Probability Distributions: Information about the Future Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable Objetivos: Definir y describir la varianza de una variable aleatoria discreta.

17 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Varianza de Variables Aleatorias DIscretas: La desviación estandar se calcula sacando la raíz cuadrada de la varianza: En inversiones, la varianza refleja un mayor riesgo. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable

18 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Varianza de una Variable Aleatoria Inversión AInversión B GananciaProbabilidadGananciaProbabilidad $1200.1$1500.3 $950.2$800.1 $130.4–$100.2 –$575.1–$250.2 –$1400.2–$690.2 Para determinar el riesgo, debemos calcular la varianza de cada inversión. Determinar el riesgo: Probability Distributions: Information about the Future Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable

19 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: Para la inversión A: Varianza de una Variable Aleatoria Inversión A GananciaProbabilidad $1200.1 $950.2 $130.4 –$575.1 –$1400.2 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable

20 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: Para la inversión B: Varianza de una variable aleatoria Inversión B GananciaProbabilidad $1500.3 $800.1 –$100.2 –$250.2 –$690.2 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable

21 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: Debido a que en términos de riesgo, la Inversión B se considera una mejor opción porque conlleva ligeramente menor riesgo. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable

22 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution Objetivos: Definir una variable aleatoria binomial. Calcular probabilidades utilizando una distribución binomial. Calcular el valor esperado de una variable aleatoria binomial. Calcular la varianza de una variable aleatoria binomial.

23 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definiciones: Experimento Binomial– un experimento aleatorio que satisface las condiciones siguientes: i)Existen solamente dos resultados en cada ensayo del experimento. (Uno de ellos es generalmente llamado éxito, y el otro fracaso). ii)El experimento consiste en n ensayos idénticos como se describe en la Condición 1. iii)La probabilidad de éxito de cada ensayo se denota p y no cambia de ensayo a ensayo. (Nota que la probabilidad de fracaso es 1−p y tampoco cambia de ensayo a ensayo) iv)Los ensayos son independientes. v)La variable aleatoria binomial X representa el número de éxitos en cada n ensayos. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution

24 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Lanza una moneda 5 veces y observa el número de caras. Define el experimento en términos de nuestra definición de un experimento binomial. i.Existen solamente dos posibles resultados, caras o cruces. ii.El experimento consistirá en lanzar la moneda 5 veces. (Hence: n = 5.) iii.La probabilidad de obtener cara (éxito) es y no cambia de ensayo a ensayo. (Por tanto: p =.) iv.El resultado de una lanzada no afectará a las demás. v.La variable de interés es el número de caras obtenidas al lanzar la moneda 5 veces. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution Ejemplo: Solución:

25 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Lanza una moneda 4 veces y observa el número de caras. Construye la distribución de probabilidad para el número de caras. Lanzar una moneda Eventos Número de caras Probabilidad Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution Ejemplo: Solución:

26 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definir la función de probabilidad de distribución binomial así: representa el número de combinaciones de n objectos tomando x en un tiempo determinado y se expresa por Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution Función probabilística de distribución binomial:

27 ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 cruces si se lanza 18 veces la moneda? Ejemplo: HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: n = 18, p =.5, x = 7 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution

28 Un experto en control de calidad en una fábrica estima que 10% de todas las baterías producidas son defectuosas. Si se toma una muestra de 20 baterías, ¿cuál es la probabilidad de que no más de 3 sean defectuosas? Ejemplo: HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: n = 20, p =.1, x = 3, esta vez debemos observar la probabilidad de que no más de tres sean defectuosas, osea P(X ≤ 3). Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution

29 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Fórmulas: El valor esperado binomial y la varianza pueden ser definidos con las siguientes formulas. Ejemplo: Un experto en control de calidad en una fábrica estima que 10% de todas las baterías producidas son defectuosas. Si se toma una muestra de 20 baterías, ¿cuál es el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del número de baterías defectuosas? Solución: Probability Distributions: Information about the Future Section 7.7 The Binomial Distribution

30 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Probability Distributions: Information about the Future Section 7.8 The Poisson Distribution Objetivos: Definir una variable aleatoria Poisson. Calcular probabilidad utilizando una distribución de Poisson.

31 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definiciones: Distribución de Poisson– una distribución discreta de probabilidad que utiliza un intervalo de tiempo o espacio fijo en el que el número de éxitos es registrado. donde En la distribución de Poisson Probability Distributions: Information about the Future Section 7.8 The Poisson Distribution

32 1.Los éxitos deben ocurrir uno a la vez. 2.Cada éxito debe ser independiente de cualquier otro. HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Pautas para la Distribución de Poisson: Al calcular una distribución de Poisson, redondea tus respuestas a 4 decimales. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.8 The Poisson Distribution

33 Supón que la conexión a Internet en tu casa falla en promedio 0.75 veces cada hora. Si planeas conectarte a internet durante 3 horas en la tarde, ¿cuál es la probabilidad de que te mantendrás conectado todo el tiempo? Asume que las fallas de conexión siguen una distribución de Poisson. Ejemplo: HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: x = 0,  (0.75)(3) = 2.25  0.1054 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.8 The Poisson Distribution

34 Un mecanógrafo comete en promedio 1 error tipográfico por párrafo. Si el documento tiene 4 párrafos, ¿cuál es la probabilidad de que existan menos de 5 errores? Ejemplo: HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: x < 5, = Esta vez tenemos que observar la probabilidad de que ocurran menos de 5 errores, lo que es P(X < 5). (4)(1) = 4 P(X < 5) = P(X ≤ 4)  0.6288 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.8 The Poisson Distribution

35 Un restaurante de comida rápida en promedio realiza dos órdenes incorrectas cada 4 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos 3 órdenes incorrectas en cualquier día entre 11 AM y 11PM? Asume que los errores siguen una distribución de Poisson. Ejemplo: HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: x ≥ 3, = Esta vez debemos analizar la probabilidad de que al menos tres órdenes incorrectas ocurran, lo que es P(X ≥ 3). (3)(2) = 6 P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – P(X ≤ 2)  0.9380 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.8 The Poisson Distribution

36 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Objetivos: Definir una variable aleatoria hipergeométrica. Calcular probabilidades utilizando distribuciones hipergeométricas. Calcular el valor esperado de una variable aleatoria hipergeométrica. Calcular la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution

37 Distribución hipergeométrica – una función de probabilidad especial discreta para problemas con un número fijo de ensayos dependientes y un número específicos de éxitos. HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definiciones: Al calcular la distribución hipergeométrica, redondea tus respuestas a 4 valores decimales. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution

38 1.Cada ensayo consiste en seleccionar uno de los N elementos en la población y resulta en un éxito o un fracaso. 2.El experimento consiste en n ensayos. 3.El número total de posibles éxitos en la población es A. 4.Los ensayos son dependientes. (i.e., las selecciones se realizan sin reemplazos) HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Pautas para Distribuciones Hipergeométricas: Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution

39 En el supermercado local hay 50 cajas de cereal en el estante, la mitad de las cuales contiene un premio. Supón que compras 4 cajas de cereal. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 cajas contengan un premio? Ejemplo: HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists A = 25, x = 3, N = 50, n = 4 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution Solución:

40 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Un distribuidor de productos ofrece 10 cajas de manzanas Granny Smith y 8 cajas de manzanas Golden Delicious. Si se entregan 6 cajas a un mercado local, seleccionadas de manera aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de las cajas contengan manzanas Golden Delicious? Ejemplo: Solución: A = 8, x ≥ 4, N = 18, n = 6 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution

41 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Fórmulas: El valor esperado hipergeométrico y la varianza pueden ser definidos con las siguientes fórmulas. Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution

42 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Ejemplo: Un distribuidor de productos ofrece 10 cajas de manzanas Granny Smith y 8 cajas de manzanas Golden Delicious. Si se entregan 6 cajas a un mercado local, elegidas aleatoriamente, ¿cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución? Solución: A = 8, N = 18, n = 6 Probability Distributions: Information about the Future Section 7.9 The Hypergeometric Distribution