@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 Estudio de funciones Tema 11 * 4º ESO Opc B.

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2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 Estudio de funciones Tema 11 * 4º ESO Opc B

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B2 Funciones lineales Tema 11.1 * 4º ESO Opc B

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B3 FUNCIONES LINEALES Sea la ecuación y = x, y = 2.x, y = 3.x, y = x / 2, etc... Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x donde m es un número real y se llama pendiente. Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = m.x reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES, porque su gráfica es una línea recta. Se llaman también de primer grado porque su polinomio característico es de primer grado: f (x) = Polinomio de primer grado. 0 a b x y=f(x) f (b) f (a) α El ángulo α es la inclinación de la recta. La pendiente es: m = tg α m = [f(b)-f(a)]/(b-a) = f(a) / a

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B4 FUNCIONES AFINES Sean las ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 3, y = 2x - 4 Todas tienen la forma: y = m.x + n donde m, la pendiente, es la misma. Representadas gráficamente vemos que nos dan rectas PARALELAS. La diferencia entre ellas es el valor de n, llamada ordenada en el origen, por ser el valor que toma y cuando x=0 f (0) = n Todas las funciones que se pueden expresar de la forma: f (x) = m.x + n Reciben el nombre de FUNCIONES AFINES 0 a x y=f(x) f (a) α α α m = tg α = f(a) / a FUNCIONES AFINES

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B5 PENDIENTE Sabemos que la pendiente de una recta es: m= tag α Siendo α el ángulo que forma con el eje de abscisas. Si conocemos dos puntos por donde pasa la recta: tag α = (y 2 - y 1 )/(x 2 - x 1 ) O sea: m = (y 2 - y 1 ) / (x 2 - x 1 ) 0 x 1 x 2 x y=f(x) α P(x 1, y 1 ) Q(x 2, y 2 ) y2y2 y1y1 y 2, - y 1 x 2, - x 1 PENDIENTE

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B6 PASO DE TABLA A EXPRESIÓN Ejemplo: Una función lineal viene dada, entre otros, por dos puntos: P 1 =(4, 3), P 2 =(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n 3=m.4 +n -7=m.5+n Por Reducción: -7-3 = 5m+n – 4m –n - 10 = m,, m= -10  n = 3-4m = 3+40=43 Luego: f(x) = -10.x + 43 Tabla de valores x y 4 3 5 -7 Expresión f (x) = -10.x + 43

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B7 PASO DE GRÁFICO A EXPRESIÓN El mismo ejemplo anterior: Una función lineal viene representada en un gráfico, en el cual detectamos claramente dos puntos del mismo: P 1 =(4, 3), P 2 =(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n Calculamos la pendiente: m=(y 2 – y 1 / (x 2 – x 1 )=(– 7 – 3) / (5 – 4)=– 10 Por la expresión Punto-pendiente: y – y 1 = m. (x – x 1 ) y – 3 = – 10.(x – 4) y= – 10.x + 40 +3 Luego: f(x) = -10.x + 43 Gráfico x y (4,3) (5,-7) Expresión f (x) = -10.x + 43

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B8 PASO DE TABLA A EXPRESIÓN Ejemplo: Nos dan tres puntos por los cuales pasa una función: P 1 =(4, 3), P 2 =(6, 5), P 3 =(8, 5) ¿Es una función lineal?. Obtener su expresión. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n Calculamos la pendiente entre P 1 y P 2 : m 1 =(5 – 3) / (6 – 4) = 2 / 2 = 1 Calculamos la pendiente entre P 2 y P 3 : m 2 =(5 – 5) / (8 – 6) = 0 / 2 = 0 Las pendientes no son iguales. Los tres puntos no están alineados, en la misma línea. Por tanto la función que pase por los tres: a) No es una función lineal. b) Es una función troceada que se compone de dos funciones lineales. Tabla de valores x y 4 3 6 5 Expresión No es lineal 8 5

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B9 PASO DE TABLA A EXPRESIÓN El mismo ejemplo anterior: Nos dan tres puntos por los cuales pasa una función: P 1 =(4, 3), P 2 =(6, 5), P 3 =(8, 5) ¿Es una función lineal?. Obtener su expresión. Resolución gráfica Para que tres o más puntos pertenezcan a una misma función lineal deben estar gráficamente alineados. Si sólo conocemos tres puntos y no están alineados, la mejor suposición, es considerar que la función es cuadrática. m=2 m=0

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B10 CASUÍSTICA Todas las funciones que se pueden expresar como y = mx + n son líneas rectas. Particularidades: 1.-Si m= 0 y = n  Función constante. Recta paralela al eje de abscisas. 2.-Si n=0 y m = 1 y = x  Bisectriz del primer cuadrante. 3.-Si n=0 y m = -1 y = - x  Bisectriz del segundo cuadrante. 4.-Si es de la forma x = k Recta paralela al eje de ordenadas. x = k NO es una función. 0 x y=f(x) y = 5 y = x y = - x x = 4 CASUÍSTICA