ANUALIDADES DÍA 08 * 1º BAD CS

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1 ANUALIDADES DÍA 08 * 1º BAD CS

2 Capitalización ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
En un fondo, además de no recoger los beneficios, aportamos todos los periodos el mismo capital Co. Eso hará que el capital final se verá bastante aumentado. Año Capital final 0 Co 1 Co + Co.i = Co (1+ i) 2 [Co + Co (1 + i)] + [Co + Co (1 + i)].i = =Co +Co(1+i) + Co.i + Co.i. (1 + i) = =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i) = Co(1+i)+Co(1+i)2 3 [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2] + [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2].i = =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i)+ Co(1+i) .(1+i) = =Co(1+i) +Co(1+i)2 + Co(1+i)3 Nota: Donde pone i se debe leer r/100

3 … ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
Vemos que es una progresión geométrica de razón (1 + i) y cuyo primer término vale Co. (1 + i). an. r - a1 En una p.g. la suma de todos los términos vale S = r – 1 donde el número de términos, n, es el tiempo, t, en años transcurrido. Al cabo de n años tendremos un capital final de: t t+1 Co.(1+ i).(1+ i) - Co.(1 + i) Co.(1+i) Co.(1+i) Cf = = (1 + i) – i t +1 Co . [ (1+ r/100) (1 + r/100) ] Cf = r/100 Fórmula empleada en fondo de pensiones y similares.

4 CAPITALIZACIÓN Ingresamos a principio de cada año € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. Año Ingreso Capital Intereses Capital final , ,5 , , ,05 , , ,86 , , ,55 Hemos invertido € y obtenido más de €

5 EJEMPLO 1 CAPITALIZACIÓN
Ingresamos a principio de cada año € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) (1+i) ] Cf = i 7+1 5000 [ (1+ 0,1) (1+ 0,1) ] Cf = 0,1 5000 [ 2, ,1) ] Cf = = 5000 x 10, = ,44

6 EJEMPLO 2 CAPITALIZACIÓN
Dentro de 5 años queremos tener un capital de €. Para ello ingresamos Iuna cantidad fija todos los trimestres en un banco que nos ofrece un 4,8 % anual de intereses. ¿Qué cantidad aportar ingresar trimestralmente?. Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) (1+i) ] Cf = , sabiendo que ahora i = 4,8 / 400 = 0,012 i y que t = 5.4 = 20 trimestres 20+1 Co [ (1+ 0,012) (1+ 0,012) ] = 0,012 1200 = Co.(1, – 1,012 ] Co = 1200 / 0, = 4401 € Habremos aportado al banco = € para obtener €

7 EJEMPLO 3 CAPITALIZACIÓN
Todos los meses podemos aportar 100 € a un fondo de pensiones que tenemos a un interés del 3,6 % anual. ¿Qué tiempo debemos estar, suponiendo que no varíen las condiciones, para tener un capital de €?. Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) (1+i) ] Cf = , sabiendo que ahora i = 3,6 / 1200 = 0,003 i y que t vendrá en meses. 100 [ (1+ 0,003) (1+ 0,003) ] = 0,003 t t+1 300 = 100.(1, – 1,003 ]  ,003 = 1,003 Tomando logaritmos: log 4,003 = ( t+1).log 1,003 t+1 = log 4,003 / log 1,003 = 463 meses  t = 37 años y 7 meses

8 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
Para la amortización de un préstamo mediante varios pagos aplazados se tiene en cuenta que: 1.- Cada pago salda los intereses que produce la deuda en ese periodo y amortiza parte de la misma. 2.- El último pago salda los intereses que produce la deuda en el último periodo y amortiza lo que falta de la misma. 3.- Lo habitual es que la cantidad a pagar en cada periodo sea la misma. De esa cantidad, al principio se emplea la mayoría para cubrir los intereses, descendiendo progresivamente dicho porcentaje a favor de amortizar la deuda. 4.- Para que sea viable un préstamo, el pago de cada periodo debe cubrir, al menos, el importe de los intereses. 5.- Si el deudor se declara insolvente por ley no puede reclamar los intereses que haya abonado, pero sí la cantidad amortizada.

9 AMORTIZACIÓN Pedimos un préstamo personal de € que nos dejan a un interés fijo del 10% anual. Si podemos devolver € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente , , ,5 ,5 267, , ,45 ,45 194, , ,20 ,20 114, , ,40 , ,

10 AMORTIZACIÓN Pedimos un préstamo personal de € que nos dejan al 25% anual. Si podemos pagar ( amortizar ) € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente , , ,5 ,5 609, , ,9 ,9 511, , ,62 ,62 389, , ,27 ,27 237, , ,34 ,34 46, , , Nótese que la cantidad pagada es más del doble que el préstamo inicial.

11 Anualidades de amortización
Si pedimos un crédito a una entidad financiera, para montar un negocio, comprar un piso, un coche o cualquier otro bien, deberemos devolver lo pedido más los intereses. Para ello suponemos que podemos devolver todos los años un cierto capital , A, llamado anualidad, para pagar la deuda , D, contraída. Al comienzo debemos D Al año debemos D +D.i - A = D.(1+i) - A A los dos años debemos [D.(1+i) - A] + [D.(1+i) - A].i - A = =D.(1+i).(1+i) - A(1+i) – A = =D.(1+i)2 - A(1+i) – A

12 … ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
A los tres años debemos [D.(1+ i)2 - A(1+i) – A] + [D.(1+i)2 - A(1+i) – A].i - A = = D.(1+i)2. (1+i) - A(1+i).(1+i) - A(1+i) - A = = D.(1+i)3 - A(1+i)2 - A(1+i) - A Al cabo de “t” años habremos devuelto todo el capital prestado más los intereses producidos. Es decir, ya no deberemos nada; luego: t t t-2 D.(1+i) - A(1+i) - A(1+i) A = 0 t t t-2 D.(1+i) = A(1+i) A(1+i) A(1+i) + A En la ecuación anterior la parte de derecha es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1+r) y cuyo primer término vale A an.r - a1 En una p.g. la suma de todos los términos vale S = r - 1

13 … ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
Teníamos: t t t-2 D.(1+i) = A(1+i) A(1+i) A(1+i) + A t t t A.(1+i) - A A [ (1+i) ] D.(1+i) = = (1+i) i Que es la fórmula a emplear en las anualidades de amortización, como por ejemplo al pedir un crédito hipotecario, donde todos los años aportamos una cantidad fija (aunque normalmente esté dividida en letras o pagarés mensuales), A. O sea que si el pago es anual, i = r/100 Si el pago es mensual, i = r/1200 , t = número de meses y A es la mensualidad que debemos pagar. Evidentemente cuando el rédito es variable hay que recalcular todo. Importante: Para hallar la mensualidad a pagar, no vale dividir la anualidad entre 12. Hay que trabajar con i = r / 1200.

14 EJEMPLO_1_ DE ANUALIDAD
Pedimos un préstamo hipotecario de €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la anualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años. t t A [ (1+i) ] D.(1+i) = , donde D=200000, t = 20 y i = 6/100 i 20 A [ (1+ 0,06) ] (1+ 0,06) = 0,06 ,2071 = A [3,2071 – 1 ] / 0,06 = A.36,  A = / 36,5856 = ,91 € En total hemos pagado, por el préstamo de €: 17436,91x20 = € Nota: Habríamos pagado menos empleando mensualidades.

15 EJEMPLO_2_ DE ANUALIDAD CON PAGO MENSUAL
Pedimos un préstamo hipotecario de €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la mensualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años (240 meses). t t A [ (1+i) ] D.(1+i) = , donde D=200000, t = 240 y i = 6/1200 i 240 A [ (1+ 0,005) ] (1+ 0,005) = 0,005 ,3102 = A [3,3102 – 1 ] / 0,005 662040,89 = A . 462,  A = ,89 / 462,0409 = 1431,72 € En total hemos pagado, por el préstamo de €: 1431,72 x 12 x 20 = € Nota: Habríamos unos € menos que por anualidades.

16 EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD
Necesitamos urgentemente un préstamo personal de €, que nos ofrecen al 24% fijo anual. Si podemos devolver 1000 € al mes, ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. t t A [ (1+i) ] D.(1+i) = , donde D=30000, A= y i = 24/1200 i t [ (1+ 0,02) ] 30000.(1+ 0,02) = 0,02 ,02t . 0,02 = 1000 [1,02t – 1 ] 600. 1,02t = 1,02t – 1 1000

17 … EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD
0,6. 1,02t = 1,02t – 1 1 = 1,02t - 0,6.1,02t 1 = 0,4 . 1,02t 1 ----- = 1,02t  2,5 = 1,02t 0,4 Tomando logaritmos decimales: log 2,5 = t . log 1,02 t = log 2,5 / log 1,02 = 46,27 meses. Habremos pagado € por un préstamo de €