Estefanía Sánchez Castañeda Cód. 20121025046 Sora Díaz José Santiago Cód. 20131025030 Cristian Serrano Sánchez Cód. 20121025032 ING. CASTRAL Y GEODESIA.

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1 Estefanía Sánchez Castañeda Cód. 20121025046 Sora Díaz José Santiago Cód. 20131025030 Cristian Serrano Sánchez Cód. 20121025032 ING. CASTRAL Y GEODESIA

2 Es un modelo de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales que modela el crecimiento de dos poblaciones(Depredador presa). ING. CASTRAL Y GEODESIA

3 * El matemático italiano Volterra, después de haberse interesado por la ecología matemática y haber sido estimulado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca había disminuido drásticamente, la proporción de los depredadores había aumentado. * Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primer teoría determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones. * Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de Volterra. ING. CASTRAL Y GEODESIA

4 * La especie depredadora se alimenta solo de la especie presa, mientras que ésta se nutre de un recurso que se encuentra en el hábitat en grandes cantidades. * Las dos poblaciones eran homogéneas, es decir, los parámetros de edad y sexo no cuentan. * Las características son las mismas en todo el hábitat. * La probabilidad de interacción entre ambas especies es la misma. * Por lo que solo existen dos variables: el tamaño poblacional de la especie depredadora y el de la especie presa, que dependen únicamente del tiempo. ING. CASTRAL Y GEODESIA

5 R ′ (t)=aR(t) (Presas sin Predadores) F ′ (t)= − bF(t) (Predadores sin Presas) ING. CASTRAL Y GEODESIA

6 R ′ (t)=aR(t) − [c ∗ interacción] F ′ (t)= − bF(t)+[d ∗ interacción] Ahora el problema se centra en encontrar los términos que aparecen entre los corchetes ING. CASTRAL Y GEODESIA

7 basándose en la hipótesis de que cuanto más se relacionen presas y depredadores, mayor será el perjuicio de unos y el beneficio de otros, queda expresado en la ecuación como: R ′ (t)=aR(t) − cR(t)F(t) F ′ (t)= − bF(t)+dR(t)F(t) Donde * a: es la tasa instantánea de aumento de conejos en ausencia de zorros * b: es la tasa instantánea de disminución de zorros en el caso de ausencia de conejos. * c: mide la susceptibilidad de los conejos a ser cazados. * d: mide la capacidad de depredación de los zorros ING. CASTRAL Y GEODESIA

8 * Suponga que el sistema de ecuaciones diferenciales describen un modelo particular del depredador (y) y de la presa(x).Determinar la solución y la gráfica: x ‘(t)=0.1x −0.00002 x y y ′ (t)=-0.04y +0.0001 x y * Debido a que solo podemos resolver las ecuaciones cuando x=0 y y=0, se desprecian los segundos términos de la ecuaciones, quedando las mismas: x’=0.1x y’=-0.04y * Acomodando las ecuaciones nos quedan dos ecuaciones homogéneas: ING. CASTRAL Y GEODESIA

9 * x’= 0.1x y’=-0.04y * x’-0.1=0 y’+0.04y=0 * x=e^(mt) y=e^(mt) * x’=me^(mt) y’=me^(mt) * me^(mt)-0.1e^(mt)=0 me^(mt)+0.04e^(mt)=0 * e^(mt)(m-0.1)=0 e^(mt)(m+0.04)=0 * m=0.1 m=-0.04 * x(t)=c1e^(0.1t) y(t)=c2e^(-0.04t) ING. CASTRAL Y GEODESIA

10 * Solución: * x(t)=c1e^(0.1t) * y(t)=c2e^(-0.04t) ING. CASTRAL Y GEODESIA