UNIDAD I Modelado de Sistemas en MatLab Objetivo

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1 UNIDAD I Modelado de Sistemas en MatLab Objetivo
Describir las propiedades de modelos físicos mediante el uso de técnicas matemáticas para observar su comportamiento en espacios orto normales.

2 UNIDAD I Modelado de Sistemas en MatLab TEMA No. 1
Fundamentos del modelado Matemático

3 Fundamentos del modelado matemático
Que es un modelo? Un Modelo es una abstracción de la realidad que se hace para interpretarla. Ejemplos: lenguaje, escritura, artes, matemáticas, etc. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

4 Fundamentos del modelado matemático
Que es un modelo? UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

5 Fundamentos del modelado matemático
Que es el modelado matemático? El modelado es la habilidad para describir una situación problemática que confronta un analista. Genéricamente la modelación implica crear una representación explícita de la idea que una persona tiene sobre una situación. El modelado matemático es una descripción en lenguaje matemático de un objeto que existe en un universo no matemático. Un buen modelado matemática involucra el establecimiento de relaciones entre el mundo real y el mundo matemático y la habilidad para moverse entre cada uno de ellos. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

6 Fundamentos del modelado matemático
Existen tres formas de modelados: - Icónico: Versión a escala del objeto real y con sus propiedades relevantes más o menos representadas. - Analógico: Modelo con apariencia física distinta al original, pero con comportamiento representativo. - Analítico: Relaciones matemáticas o lógicas que representen leyes físicas que se cree gobiernan el comportamiento de la situación bajo investigación. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

7 Fundamentos del modelado matemático
El modelo matemático Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas. El éxito o fracaso de un modelo matemático depende de la precisión con la que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y el efecto de variables relacionadas entre sí. Ejemplos: - Las previsiones del tiempo Los pronósticos económicos Los movimientos de un robot UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

8 Fundamentos del modelado matemático
Básicamente, en un modelo matemático advertimos 3 fases: Construcción del modelo. Proceso mediante el cual se convierte el objeto no-matemático a lenguaje matemático. Análisis. Estudio del modelo matemático confeccionado. Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

9 Fundamentos del modelado matemático
Factores que permiten optimizar un modelo matemático. Exactitud de los datos iniciales. b) Considerar el tipo de fenómeno a estudiar. c) Exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno. d) Aproximar las ecuaciones. e) Evolución del modelado. Puede ocurrir que durante los cálculos los errores que se producen se vayan transmitiendo o acumulando. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

10 Fundamentos del modelado matemático
Ventajas y desventajas del modelado como método lógico Ventajas 1. El proceso de modelado es en si una experiencia de aprendizaje. 2.- La rapidez del proceso de modelado permite considerar un mayor número de alternativas 3.- Los modelos proporcionan una capacidad de predicción. 4.- La aplicación de un modelo permite evitar costos por experimentación de ensayo y error. Desventajas 1.- Podrían no tenerse contempladas todas las influencias sobre el objeto del estudio. 2.- Se requiere un alto grado de habilidad matemática para crear modelos más complejos e interpretar correctamente las salidas 0. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

11 Suponiendo que r=10cm y dr=0.5cm
Fundamentos del modelado matemático Ejemplo 1: Desarrolle un modelo matemático para determinar el incremento de volumen de gas en un globo esférico a partir del incremento de su radio. Volumen de la esfera de referencia: 𝑉=( )𝜋 𝑟 3 = 𝜋 𝑟 2 𝑑𝑉/𝑑𝑟=4𝜋 𝑟 2 Suponiendo que r=10cm y dr=0.5cm dV = (4)(3.1416) 10𝑐𝑚 2 (0.5cm) 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏= 628 𝒄𝒎 𝟑 UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

12 Fundamentos del modelado matemático
Tarea: Desarrolle un modelo matemático que muestre un fenómeno físico y que permita determinar la forma en que varía una variable dependiente respecto a una variable independiente. Describa el fenómeno. Determine la ecuación que describe matemáticamente al fenómeno seleccionado. Ingrese el modelos matemático a Matlab y muestre gráficamente la dependencia entre una de las variables independientes respecto a la variable dependiente. Anexe el programa en Lenguaje M. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

13 UNIDAD I Modelado de Sistemas en MatLab TEMA No. 2
Matemáticas avanzadas para la localización espacial

14 Matemáticas avanzadas para la localización espacial
Que es MatLab? MATLAB (MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de software matemático que ofrece un IDE (Entorno de Desarrollo Integrado) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Hoy en día, MatLab es un programa muy potente, con un entorno agradable, que incluye herramientas de cálculo científico y técnico y de visualización gráfica, así como un lenguaje de programación de alto nivel. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

15 Matemáticas avanzadas para la localización espacial
Matlab es un programa command-driven, es decir, que se introducen las órdenes escribiéndolas una a una a continuación del símbolo » (prompt) que aparece en una interfaz de usuario. Ejemplo: »2+2 ans = 4 » x=2+3 x = 5 » x »clc  [Limpiar pantalla] »quit  [Salir] UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

16 Comandos de MatLab Operadores aritméticos: x + y Suma x - y Resta
x * y Multiplicación x / y División x \ y División inversa x^n Potencia exp(x ) Exponencial (e) log(x) Logaritmo natural base e sqrt(x) Raíz cuadrada UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

17 Comandos de MatLab Operadores relacionales Operadores booleanos
> Mayor que < Menor que == Igual a ~= Diferente a >= Mayor o igual <= Menor o igual Operadores booleanos | Or & And UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

18 Comandos de MatLab Programación Condicion if r = 2;
if r==2, volumen=(4/3)*pi*r^3; end >> if r ~= 3, volumen=(4/3)*pi*r^3; a=3,b=3,c=8; if a<5 & c>5, b=10; b UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

19 Comandos de MatLab Programación Condicion if r=2; If r >3 b=1;
elseif r==3 b=2; else b=0; end UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

20 Matemáticas avanzadas para la localización espacial
Ejemplo: Ingresando una función en MatLab Abrir MatLab e ingresar a la ventana de commandos (Command Window) >> radio=0.5;  ENTER >> volumen=(4/3)*pi*radio^3;  ENTER >> volumen  ENTER volumen = >> 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏= 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑 , 𝒓=𝟎.𝟓 UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

21 Modelado mediante Gráficas
Estilos de gráficas UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

22 Matemáticas avanzadas para la localización espacial
Gráficas en MatLab 𝐲=𝐬𝐢𝐧⁡(𝒙)𝒆 −𝟎.𝟒𝒙 >>x=0:0.05:10; % crear una serie de datos de 0 a 10 con incrementos de 0.05 >>y=sin(x).*exp(-0.4*x); >> plot(x,y) >> UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

23 Matemáticas avanzadas para la localización espacial
Gráficas en MatLab y = sen(x) %Grafica de una función simple %Función Seno x=linspace(0,2*pi,200); y=sin(x); grid on hold on plot(x,y,'r') UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

24 Matemáticas avanzadas para la localización espacial
Gráficas en MatLab 𝐲=𝐜𝐨 𝐬 𝟒𝒙 /𝒆 (𝟏−𝟎.𝟓𝒙) %Grafica de un producto de funciones %RESORTE x=linspace(0,2*pi,500); y=cos(4*x)./exp(1-x/2); grid on hold on plot(x,y,'b','linewidth',4) title('ESPIRAL','fontsize',18) xlabel('eje OX','fontsize',14) ylabel('eje OY','fontsize',14) UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

25 Gráficas 3D Ejemplo. Grafica de una espiral 3D x = tCos(t),
y = tSin(t) z = t clf t=linspace(0,8*pi,200); plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t,'r-','linewidth',2) grid on %dibujo de la rejilla title('Curva espiral') xlabel('eje OX','fontsize',14) ylabel('eje OY','fontsize',14) zlabel('eje OZ','fontsize',14) UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

26 Modelado para la localización espacial
Ejemplo. Localización espacial y representación de vectores % PRIMERO SE ESTABLECE UN MARCO DE REFERNCIA FIJO (X, Y, Z). XO=[-10,10]; XYO=[0,0]; XZO=[0,0]; YO=[-10,10]; YXO=[0,0]; YZO=[0,0]; ZXO=[0,0]; ZYO=[0,0]; ZO=[-10,10]; axis([-10,10,-10,10,-10,10]) grid on hold on %% comando para mantener xlabel('X') ylabel('Y') zlabel('Z') plot3(XO,XYO,XZO,'b') plot3(ZXO,ZYO,ZO,'b') plot3(YXO,YO,YZO,'b') UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

27 Modelado para la localización espacial
Ejemplo. Localización espacial y representación de vectores % PROCEDIMIENTO PARA GENERAR UN VECTOR, CON COORDENADAS INICIALES EN EL % ORIGEN % Se determinan las coordenadas iniciales y finales del % vector, respecto a cada uno de sus ejes. CROX=[0,5]; CROY=[0,6]; CROZ=[0,3]; % Se grafica de la siguiente manera plot3(CROX,CROY,CROZ,'r') UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

28 UNIDAD I Modelado de Sistemas en MatLab TEMA No. 3 Análisis cinemático

29 Análisis cinemático Problema cinemático directo de un robot
El problema cinemático directo consiste en determinar la posición y orientación final del extremo de un robot a partir de las articulaciones y parámetros geométricos del robot. MatLab es una herramienta apropiada para el análisis y simulación de problemas en robótica. Un manipulador RR plano es un mecanismo articulado formado por una base fija, que representamos por un punto O, y dos segmentos rectos, de longitudes L1 y L2, respectivamente, cada uno de los cuales tiene en su origen un motor de tipo rotacional. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

30 Cinemática Directa Ejemplo 1: L1 =50; L2 =50; teta1 =30; teta2 =60;
Determine la posición del efector final de un brazo robótico del tipo RR, con enlaces de longitud L1=L2= 50cm cuando los ángulos de sus articulaciones θ1 y θ2 son de 30 y 60 grados respectivamente. L1 =50; L2 =50; teta1 =30; teta2 =60; th1 =teta1*pi/180; th2 =teta2*pi/180; px =L1*cos(th1)+L2*cos(th1+th2); py =L1*sin(th1)+L2*sin(th1+th2); plot(px,py,’ro’) xlabel('eje X','fontsize',12) ylabel('eje Y','fontsize',12) UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

31 Modelado para la localización espacial
Ejemplo 2: Muestre la trayectoria que siguen los eslabones de un manipulador robótico RR cuyas longitudes son L1=L2= 50cm, y cuyas articulaciones tienen ángulos de θ1=30 y θ2=60. L1=50; L2=50; t1=linspace(0,(pi/3),200); t2=linspace(0,(pi/6),200); px=L1*cos(t1)+L2*cos(t1+t2); py=L1*sin(t1)+L2*sin(t1+t2); xf=L1*cos(pi/3)+L2*cos(pi/3+pi/6); yf=L1*sin(pi/3)+L2*sin(pi/3+pi/6); grid on hold on plot(px,py) plot(xf,yf,'ro') xlabel('eje X','fontsize',12) ylabel('eje Y','fontsize',12) UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

32 Análisis cinemático UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab
PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

33 Cinemática Directa Graficar los vectores y las coordenadas de la posición final de un manipulador RR con L1=L2=50, 1=30 y 2=60. %Graficar vectores v1x=[0,L1*cos(th1)]; v1y=[0,L1*sin(th1)]; plot(v1x,v1y,'g','linewidth',2); v2x=[L1*cos(th1),L1*cos(th1)+L2*cos(th1+th2)]; v2y=[L1*sin(th1),L1*sin(th1)+L2*sin(th1+th2)]; plot(v2x,v2y,'g','linewidth',2); %Asignar valores a las variable L1=50; L2=50; teta1=30; teta2=60; %Convertir grados a radianes th1=teta1*pi/180; th2=teta2*pi/180; %Declarar formulas px=L1*cos(th1)+L2*cos(th1+th2); py=L1*sin(th1)+L2*sin(th1+th2); hold on grid on %Graficar punto plot(px,py,'r.') xlabel('eje X', 'fontsize',12); ylabel('eje Y', 'fontsize',12); UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

34 Cinemática Directa UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab
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35 Análisis cinemático Practica No. 2:
a) Defina la trayectoria que recorre el Efector Final de un manipulador RRR con 3GDL formados por los enlaces: L1=50cm, L2=40cm y L3=30cm. Las variables rotacionales son θ1, θ2 y θ3, las cuales varían uniformemente de 0 a 60 grados . b) Determine y grafique la trayectoria que sigue el efector final al moverse los tres motores simultáneamente. c) Grafique los vectores correspondientes a los tres eslabones y el vector resultante cuando todos los motores alcanzan su ángulo máximo. d) Incorpora un cuarto motor que haga girar la base en el plano z desde 0 hasta 60 grados y grafique la nueva trayectoria. UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

36 UNIDAD I Modelado de Sistemas en MatLab TEMA No. 4 Análisis dinámico

37 Análisis dinámico UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab
% Dinamica de un manipulador RR con dos grados de libertad teta=60; L1=100; L2=100; title('Curva del manipulador','fontsize',14) xlabel('Eje OX') ylabel('eje OY') axis([-40 (L1+L2)*1.1 0 L1+L2]) for j=0:0.5:teta hold on; grid on %Grafica de vector L1 v1x=[0,L1*cosd(j)]; v1y=[0,L1*sind(j)]; plot(v1x,v1y,'b','linewidth',2); %Grafica devector L2 v2x=[L1*cosd(j),L1*cosd(j)+L2*cosd(j+j)]; v2y=[L1*sind(j),L1*sind(j)+L2*sind(j+j)]; plot(v2x,v2y,'g','linewidth',2); %Grafica de articulacion que une L1 y L2 px1=L1*cosd(j); py1=L1*sind(j); plot(px1,py1,'ro') %Grafica de Efector Final px2=L1*cosd(j)+L2*cosd(j+j); py2=L1*sind(j)+L2*sind(j+j); plot(px2,py2,'ro') pause(0.01) end UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

38 Análisis dinámico UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab
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