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Publicada porEva MarΓa Espinoza PΓ‘ez Modificado hace 9 aΓ±os
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Vectores en R3 Producto escalar y vectorial
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Vectores en R3 Sea un vector A en R3 definido de la forma: π΄ =π π +π π +π π Donde i, j , k son los vectores unitarios de los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente.
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Vectores en R3 Las operaciones matemΓ‘ticas utilizadas en los vectores R2 vistas hasta ahora, funcionan de igual manera en R3, aunque para realizarlas se debe tener un poco mΓ‘s de βimaginaciΓ³n espacialβ. AdemΓ‘s, aunque si se puedan realizar en R2, en este capitulo se hablara del producto escalar y vectorial.
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DeterminaciΓ³n de un vector en el espacio
Sean dos puntos en el espacio P1 y P2, con coordenadas (x,y,z) cualesquiera. Si P1 y P2 definen un vector entre ellos, se puede decir que dicho vector A es: π΄ = π 2 β π 1 π + π 2 β π 1 π + π 2 β π 1 π Y su magnitud serΓa: π΄ = π 2 β π π 2 β π π 2 β π 1 2 (x2,y2,z2) π¨ (x1,y1,z1)
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Ejercicio 1: Defina los vectores y sus magnitudes, si estos comienzan en X1 y terminan en X2: π 1 = β2,3,0 ; π 2 = 1,β2,β2 π 1 = 0,1,0 ; π 2 = 2,3,1 π 1 = 1,2,3 ; π 2 = 2,1,0 π 1 = 2,1,0 ; π 2 = β1,0,β2
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ProyecciΓ³n de vectores
En R3
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Vectores unitarios Sea un vector unitario aquel vector cuya magnitud sea igual a la unidad. Dentro de los vectores unitarios en R3 existen 3 vectores fundamentales o tambiΓ©n llamados directores, estos son: π , π , π Estos se encuentran sobre cada eje coordenado, donde π corresponde al eje x, π corresponde al eje y π corresponde al eje z.
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Vectores unitarios Aunque se conocen los vectores directores π ,π, π sobre cada eje coordenado, se debe saber que: βtodo vector puede ser representado como la multiplicaciΓ³n de la magnitud del vector y el vector unitario en su direcciΓ³nβ Es decir que podemos establecer para cada vector un vector unitario que lo represente en la direcciΓ³n determinada. βSea π΄ = π΄ , π π΄ , se define como el vector unitario de A, π π΄ a: π π΄ = π΄ π΄ Donde π π΄ tiene la misma direcciΓ³n de π΄
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Vectores unitarios Y Z X 2 1 Sea el vector π΄ =2 π +2 π + π , defina el vector unitario de A, π π΄ . Se debe graficar el vector A, en 3 dimensiones se debe tratar de visualizar espacialmente dicho vector. Puede observar que el mismo vector se encuentra en una sola direcciΓ³n, Ua seria el vector unitario de dicha recta formada por el vector. π π΄ = π΄ π΄ = 2 π +2 π + π = 2 π +2 π + π = 2 π +2 π + π 3 = 2 3 π π π
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Ejercicios: Determine los vectores unitarios de los vectores:
π΄ =2 π +2 π + π π΄ =β3 π +3 π +2 π π΄ =3 π +2 π β π π΄ =β3 π β π + π
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Producto entre vectores
Producto punto y producto cruz
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Producto entre vectores
Se ha definido previamente que sucede cuando multiplicamos un vector por un escalar. Dentro de la multiplicaciΓ³n vectorial, es decir multiplicar dos vectores entre sΓ, tenemos dos opciones: Producto Escalar o Punto Producto Vectorial o Cruz.
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DefiniciΓ³n formal del producto escalar
Se define como producto escalar π΄ . π΅ a: π¨ . π© = π¨ π© cos π½ Donde π es el Γ‘ngulo entre los dos vectores. π¨ π© π½
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DefiniciΓ³n de operaciΓ³n βproducto escalarβ
AdemΓ‘s, si se cuenta con las coordenadas unitarias de los vectores: π΄ = π π₯ π + π π¦ π + π π§ π y π΅ = π π₯ π + π π¦ π + π π§ π , Donde π π₯ , π π¦ , π π§ , π π₯ , π π¦ , π π§ ββ Se define como producto punto π΄ . π΅ a la operaciΓ³n matemΓ‘tica de: π¨ . π© = π π π π + π π π π + π π π π Donde el resultado de la operaciΓ³n βproducto puntoβ es siempre UN ESCALAR.
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Producto escalar ΒΏY quΓ© sucede con los vectores unitarios directores? Al aplicar la definiciΓ³n formal: π¨ . π© = π¨ π© cos π½ Si multiplicamos los vectores unitarios entre sΓ: π . π = π π cos πΒ°= π π π =π π . π = π π cos πΒ°= π π π =π π . π = π π cos πΒ°= π π π =π Si multiplicamos los vectores unitarios entre ellos: π . π = π π cos ππΒ°= π π π =π π . π = π π cos ππΒ°= π π π =π π . π = π π cos ππΒ°= π π π =π Con esoβ¦
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ComprobaciΓ³n de definiciΓ³n matemΓ‘tica del producto escalar
Comprobaremos la definiciΓ³n matemΓ‘tica del producto escalar. Asumamos que multiplicamos tal cual nos enseΓ±aron a multiplicar polinomios: π΄ . π΅ = π π₯ π + π π¦ π + π π§ π . π π₯ π + π π¦ π + π π§ π Multiplicamos tΓ©rmino por tΓ©rmino: π΄ . π΅ = (π π₯ π π₯ )( π . π ) + (π π₯ π π¦ )( π . π ) + (π π₯ π π§ )( π . π ) +β¦ + (π π§ π π₯ )( π . π ) + (π π§ π π¦ )( π . π ) + (π π§ π π§ )( π . π ) Todos los tΓ©rminos con producto vectorial entre dos unitarios directores distintos serΓ‘n cero, mientras con los iguales serΓ‘n uno. La expresiΓ³n quedara: π¨ . π© = π π π π + π π π π + π π π π
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Ejercicio 1 Determine el producto escalar entre:
π΄ = π +2 π +3 π y π΅ =β π +2 π + π Resolviendo: π¨ . π© = π π π π + π π π π + π π π π π¨ . π© = π βπ + π π + π π π¨ . π© =βπ+π+π=π π
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Ejercicio 2: Uso comΓΊn del P. escalar
Determine el Γ‘ngulo formado entre los vectores: π΄ = π +2 π +3 π y π΅ =β π +2 π + π Resolviendo: π΄ . π΅ = π΄ π΅ cos π cos π = π΄ . π΅ π΄ π΅ = =0,65 ΞΈ=cos β1 0,65 =49Β°
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InterpretaciΓ³n geomΓ©trica de P. Escalar
La interpretaciΓ³n geomΓ©trica del producto escalar es la proyecciΓ³n de un vector sobre otro vector. π¨ . π© = π¨ π© cos π½ Es decir, es la proyecciΓ³n del vector A, con la direcciΓ³n del vector B. Se lee: βproyecciΓ³n de A sobre Bβ π¨ cos π½ = π¨ . π© π© π¨ π© π½ π¨ cos π½ = π¨ . π π΅ π·πππ π¨ π©= π¨ . π π΅ β΄ π¨ . π© = π© π·πππ π¨ π© π·πππ π¨ π©= π¨ . π© π© π¨ cos π½
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Ejercicio 3: Sean los vectores: π΄ = π +2 π +3 π y π΅ =β π +2 π + π Determine la proyecciΓ³n de A sobre B, sabiendo que el Γ‘ngulo entre ellos es 49Β°. ResoluciΓ³n: Se pide π·πππ π¨ π© por tanto: Proy A B= A . B B = 6 6 =2,45 Ojo: Aunque no se coloca el vector unitario de B, se debe recordar que el escalar estΓ‘ medido sobre la direcciΓ³n del vector B
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Propiedades del producto escalar
π¨ . π© = π© . π¨ π π¨ . π© =π π¨ . π© = π¨ .π π© , π ββ π¨ . π© + πͺ = π¨ . π© + π¨ . πͺ Se pide al estudiante que para cualquier par de vectores, compruebe las propiedades.
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Generalidades: P. Escalar
Se usa para hallar el Γ‘ngulo entre dos vectores, sea en R2 o en R3 (coplanares). Se usa para definir la proyecciΓ³n de un vector sobre otro. Si dos vectores son perpendiculares entre sΓ, el producto escalar entre ellos es 0.
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Producto Vectorial
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Producto vectorial A diferencia del producto escalar que puede ser utilizado en R2, el producto vectorial es EXCLUSIVO de R3. Se define al producto vectorial, tambiΓ©n llamado producto cruz, como: π¨ π π© = π¨ π© π¬π’π§ π½ El resultado del producto escalar SIEMPRE es un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores involucrados.
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Producto vectorial Si se cuenta con las coordenadas unitarias de los vectores: π΄ = π π₯ π + π π¦ π + π π§ π y π΅ = π π₯ π + π π¦ π + π π§ π , Donde π π₯ , π π¦ , π π§ , π π₯ , π π¦ , π π§ ββ Para determinar el producto vectorial o cruz π΄ π₯ π΅ se debe colocar los vectores de tal manera que se forme una matriz de la forma: π¨ π π© = π π π π π₯ π π¦ π π§ π π₯ π π¦ π π§ Donde el resultado de la operaciΓ³n βproducto cruzβ es siempre UN VECTOR perpendicular a los vectores A y B. Para resolver la matriz, se debe aplicar el determinante, utilizando como guΓa la fila que contenga los unitarios directores. π¨ π π© =+ π π¦ π π§ β π π¦ π π§ π β π π₯ π π§ β π π₯ π π§ π + π π₯ π π¦ β π π₯ π π¦ π
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InterpretaciΓ³n geomΓ©trica del producto vectorial
La magnitud del producto vectorial entre dos vectores, π΄ π₯ π΅ , es equivalente al valor del Γ‘rea del paralelogramo formado por ambos vectores. Eje Z Eje Y Eje X οͺ οΌAοΌsen οͺ A B
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Producto triple Se define como producto triple a la operaciΓ³n: π΄ π₯ π΅ . πΆ Donde los vectores A y B son coplanares entre sΓ y NECESARIAMENTE el vector C no debe compartir el mismo plano con A y B simultΓ‘neamente. Por obvias razones, al ejecutar el producto vectorial entre A y B se obtendrΓ‘ un vector, que al operar escalarmente con C, se obtendrΓ‘ un escalar. Es decir: El producto triple da como resultado un ESCALAR πͺ π© π¨
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Producto triple πͺ π© π¨ π΄ π₯ π΅ . πΆ =ππππ’πππ πππ πππππππππΓππππ
π΄ π₯ π΅ . πΆ =ππππ’πππ πππ πππππππππΓππππ Al aplicar conjuntamente el producto vectorial con el producto escalar en el producto triple se puede obtener el valor del volumen del paralelepΓpedo formado por la base (formada por los vectores en producto vectorial) y la altura (formado por el vector que aplica el producto escalar). πͺ π© π¨
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Fin Vectores
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