Transformación w = f(z) = 1/z

Presentación del tema: "Transformación w = f(z) = 1/z"— Transcripción de la presentación:

1 Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x. Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.

2 f(z) = 1/z Esquema de color dependiente del argumento Dominio Rango Biyección "We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor

3 Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.

4 Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación
f(z) = 1/z? Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen. El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.

5 Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta
en el plano z en la forma: Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:

6 Se transforma bajo 1/z en:
a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro. (2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro. (3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro. (4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro. De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.

7 u = 1/a u = -1/b b = 0; u = -v b distinto de 0; en circunferencias. v = -ku circunf. u2 = -v3 /(1+v)

8 Transformaciones bilineales o de Möbius
La transformación inversa es también bilineal: August Ferdinand Möbius ( ) Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa. El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.

9 Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).
Cuando c  0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces: Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).

10 ¿Cómo transforma la bilineal?
De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z. Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.

11 b) Determinar la imagen de la región , al considerar la transformación:
Re(z) 2 4 Re(z') 2 4 6 8 Examen JUNIO 04/05: P-1

12 Recordemos cómo actúa la inversión:
Re(z'') 3/16 1/4 ...exterior del círculo...

13 Re(z''') 3/8 1/2 ...seguimos en el exterior del círculo...

14 Re(Z) -3/8 -1/2 Re(Z) 1/4 1/8

15 Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0.
Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal: Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos: De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen. z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo). La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.

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