P2. Septiembre 2007 1. Calcular la integral Re (z)‏ Im (z)‏ Indicación: Utilice el contorno de la figura y la determinación (-π/2, 3π/2) con Respuesta.

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1 P2. Septiembre 2007 1. Calcular la integral Re (z)‏ Im (z)‏ Indicación: Utilice el contorno de la figura y la determinación (-π/2, 3π/2) con Respuesta. Calculamos a lo largo del contorno dado Γ, la integral

2 para lo que buscamos los puntos singulares del integrando interiores a Γ. Como los puntos donde no es analítica no son interiores al contorno, basta con calcular los ceros del denominador que, en este caso son los puntos z = ±i. El único punto singular interior al contorno es z = i, de modo que El punto z = i es un polo simple de la función, pues ésta se puede expresar en la forma siendo analítica y no nula en z = i pues

3 con lo que y Comoentonces El límite

4 Por ser y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que

5 El segmento T 1 lo parametrizamos en la forma z = xe iπ, de modo que con lo que El segmento T 2 lo parametrizamos en la forma z = x, de modo que

6 con lo que Sumando todas las contribuciones y, tomando límites cuando R → ∞ y ε → 0 queda

7 Como la integral real se deduce que

8 2. Sea la función entera tal que: Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z). Respuesta. Por el teorema de Liouville: Por tanto

9 3. Obtener el número de ceros de la ecuación 3z 4 + 7z 3 – z + 2 = 0 en el interior del disco centrado en el origen y de radio unidad. Respuesta. Recurriendo al teorema de Rouché: f = 7z 3 |f|<7 g = 3z 4 – z + 2|g|<6 |f| > |g| → nº de ceros de f = 3, es igual al nº de ceros de f + g. Por ello, la ecuación tiene en el disco 3 ceros.