(como los que hemos visto) Grupos Modelo básico:.

Presentación del tema: "(como los que hemos visto) Grupos Modelo básico:."— Transcripción de la presentación:

1 (como los que hemos visto) Grupos Modelo básico:

2 Es decir, una función del plano en sí mismo es una isometría si preserva distancias. (las isometrías también son conocidas como movimientos rígidos del plano)

3 Ejemplos: Traslaciones Rotaciones Preservan orientación Invierten orientación Reflexiones Pasos (y estas son todas las isometrías) La identidad

4 En particular, si es una isometría, entonces tambien lo es. La composición de isometrías es isometría

5 contiene a la identidad tiene inversos es cerrado bajo composición Grupo:

6 (como los que hemos visto)

7 Teorema de Leonardo: Un grupo finito de isometrías es Cíclico (generado por una rotación de  /n), Diédrico (generado por dos reflexiones en espejos con ángulo  /n )  /n  /n

8 C5C5 C 10 D5D5

9 Demostración....

10 Grupos discretos D

11

12 Las simetías de todos los mosaicos de Escher que hemos visto son grupos discretos Los grupos finitos Ejemplos de grupos discretos:

13 Grupos Caleidoscópicos: a. Diédricos (discretos y generados por reflexiones) 1.Generados por dos reflexiones:...y

14 b. Diédrico infinito: “la peluquería” (grupo de isometrías de la línea)

15 2. Tres espejos *333

16 *236

17 *244

18 Teorema: Estos tres (*244;*236,*333) son los únicos grupos discretos generados por tres reflexiones. Los ángulos internos de un triángulo suman 

19 El Teorema de la Alahambra: Hay exactamente 17 grupos cristalográficos (i.e., discretos e infinitos de isometrías del plano).

20 Idea de una Demostración: Considerar el “orbifold” cociente. Clasificarlos como a las superficies. Con “costos” de los puntos singulares. Conway, 1998