Borrachera 2006 Marina Groshaus. Borrachera 2006 Marina Groshaus Director: Jayme Szwarcfiter Como organizar “ fiestitas ” usando teoría de grafos…… Somos.

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1 Borrachera 2006 Marina Groshaus

2 Borrachera 2006 Marina Groshaus Director: Jayme Szwarcfiter Como organizar “ fiestitas ” usando teoría de grafos…… Somos mucho ue dos

3 Borrachera 2006 Mini clase de anatomia: At racción: Definición universal: Fís. La que ejercen entre sí los cuerpos que componen el universo, principalmente los astros, y que depende de sus masas y distancias respectivas.

4 Borrachera 2006 Problema Había una vez, un grupo de personas. Llamaron a Cupido para armar parejas…

5 Borrachera 2006 Problema Había una vez, un grupo de personas. Llamaron a Cupido para armar parejas… Resulta que se equivocaron y enviaron a Diablido

6 Borrachera 2006 Maria gustaba de Juan y de Pepe, Pepe, quería estar con Maria, Josefa, y Anastasia Anastasia,… y si, le gustaban

7 Borrachera 2006 Maria gustaba de Juan y de Pepe, Pepe, quería estar con Maria, Josefa, y Anastasia Anastasia,… y si, le gustaban Y así es donde entra el tema que nos convoca hoy, “las partuzas”

8 Borrachera 2006 Maria gustaba de Juan y de Pepe, Pepe, quería estar con Maria, Josefa, y Anastasia Anastasia,… y si, le gustaban Y así es donde entra el tema que nos convoca hoy, “las fiestitas”

9 Borrachera 2006 Maria gustaba de Juan y de Pepe, Pepe, quería estar con Maria, Josefa, y Anastasia Anastasia,… y si, le gustaban Y así es donde entra el tema que nos convoca hoy, “los grafos”

10 Borrachera 2006 Lo modelamos con un grafo... Un grafo es un conjunto de puntos, o vértices, y un conjunto de aristas que unen algunos vértices. Podemos pensar a estas aristas como una “relación “ entre los vértices. Cuando dos vertices se relacionan, decimos que son adyacentes.

11 Borrachera 2006 Un grafo es un conjunto de puntos, o vértices, y una conjunto de aristas que unen algunos vértices. Podemos pensar a estas aristas como una “relación “ entre los vértices. Cuando dos vértices se relacionan, decimos que son adyacentes. * Para nuestro modelo, vamos a suponer por un momento, que tenemos un grupo heterosexual. * Vamos a suponer también, que vivimos en un mundo ideal, en el cual si Maria quiere estar con Juan, Juan quiere estar con Maria!!! Lo modelamos con un grafo...

12 Borrachera 2006 Modelo: bipartito =heterosexual

13 Borrachera 2006 Looser = vértice aislado No importa, Linux me quiere, he he

14 Borrachera 2006 … = vértice universal Pero yo busco el amor….

15 Borrachera 2006 Condiciones para una “FIESTITA” :

16 Borrachera 2006 Condiciones para una “FIESTITA” : Todos los participantes de distintos sexos “se gustan ”

17 Borrachera 2006 Condiciones para una “FIESTITA” : Todos los participantes de distintos sexos “se gustan ” Cuanto más gente pueda participar mejor !!!!!!!!!!!!!!

18 Borrachera 2006 “FIESTITA” = BICLIQUE Todos los participantes de distintos sexos “se gustan” Interpretado en el grafo Todos los vértices de distintas particiones “son adyacentes”, es decir, es bipartito completo

19 Borrachera 2006 “FIESTITA” = BICLIQUE Cuanto más gente pueda participar mejor !!!! Interpretado en el grafo Es un conjunto maximal, en el sentido que al agregar cualquier otro vértice no cumple la condición anterior

20 Borrachera 2006 “FIESTITA” = BICLIQUE Una biclique de un grafo es un subgrafo inducido bipartito completo maximal inducido bipartito completo maximal Bipartito Completo: Bipartito Completo: Todos los vértices de distintas particiones “son adyacentes” Maximal Maximal : Si se agrega otro vértice, no es completo

21 Borrachera 2006 Ejemplo: Grafo bipartito

22 Borrachera 2006 Bicliques: Ejemplo:

23 Borrachera 2006 Bicliques: Ejemplo:

24 Borrachera 2006 Bicliques: Ejemplo:

25 Borrachera 2006 Bicliques: Ejemplo:

26 Borrachera 2006 Ejemplo: Bicliques:

27 Borrachera 2006 Bicliques: Ejemplo:

28 Borrachera 2006 Bicliques: Ejemplo:

29 Borrachera 2006 Preguntas que podemos hacer :

30 Borrachera 2006 Preguntas que podemos hacer : * Cuántas “fiestitas” podemos organizar * Cual es la “fiestita” más grande que podemos organizar * A cuántas “fiestitas” va Pepe * Quién es el mas fiestero

31 Borrachera 2006 Preguntas que podemos hacer : * Número de bicliques contiene el grafo * Tamaño de la biclique máxima * Cantidad de bicliques a las que pertenece un vértice v: m b (v) * Máximo número de bicliques que tienen un vértice en común:M b (G)= max m b (v) v

32 Borrachera 2006 Ejemplo: Bicliques: Biclique máxima:

33 Borrachera 2006 Ejemplo: Bicliques: Biclique máxima: M b (G), Más fiestero:

34 Borrachera 2006 Ejemplo: Bicliques: Biclique máxima: M b (G), Más fiestero:

35 Borrachera 2006 Ejemplo: Bicliques: Biclique máxima: M b (G)=3, Más fiestero:

36 Borrachera 2006 Problemas en grafos: * Número de bicliques contiene el grafo Resultado bipartitos: 2 n/2 (Prisner, 2000) *Tamaño de la biclique máxima: Resultado, bipartitos: Polinomial caso general: NP-completo * Cantidad de bicliques a las que pertenece un vértice v: mb (v). (Polinomial en mb(v)) * Máximo número de bicliques que tienen un vértice en común :M b (G)= max m b (v) v

37 Borrachera 2006 Listo. Ahora, tenemos que llevar a cabo nuestro experimento: Cada fiestita se realiza durante todo un día (…sin comentarios…)

38 Borrachera 2006 Listo. Ahora, tenemos que llevar a cabo nuestro experimento: Cada fiestita se realiza durante todo un día (…sin comentarios…) Contratamos un lugar, que nos cobra por día

39 Borrachera 2006 Listo. Ahora, tenemos que llevar a cabo nuestro experimento: Cada fiestita se realiza durante todo un día (…sin comentarios…) Contratamos un lugar, que nos cobra por día El lugar dispone de muuuchos “salones”, es decir, ésta no es una restricción

40 Borrachera 2006 1) Cuántos días debemos contratar el lugar? (dos fiestitas que comparten una persona, no pueden desarrollarse a la vez) 2) Hay alguien que está “ocupado” durante TODO el experimento?

41 Borrachera 2006 1)Partición mínima de bicliques en conjuntos de bicliques independientes F b (G) 2)Siempre vale que M b (G)  ≤ F b (G). Es cierto que M b (G)  = F b (G) ? 1) Cuantas días debemos contratar el lugar? (dos fiestitas que comparten una persona, no pueden desarrollarse a la vez) 2) Hay alguien que está “ocupado” durante todo el experimento?

42 Borrachera 2006 Ejemplo

43 Borrachera 2006 Todas se intersecan, por lo tanto deben ir a conjuntos diferentes

44 Borrachera 2006 Todas se intersecan, por lo tanto deben ir a conjuntos diferentes Lunes Lunes Martes Martes Miércoles Miércoles Jueves Jueves Viernes Viernes F b=5, M b = 4

45 Borrachera 2006 Top Secret En una de estas reuniones, Pedro, uno de los participantes, cuenta un secreto propio.

46 Borrachera 2006 Top Secret En una de estas reuniones, Pedro, uno de los participantes, cuenta un secreto propio. Al cabo de unos días, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

47 Borrachera 2006 Top Secret En una de estas reuniones, Pedro, uno de los participantes, cuenta un secreto propio. Al cabo de unos días, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

48 Borrachera 2006 Top Secret En una de estas reuniones, Pedro, uno de los participantes, cuenta un secreto propio. Al cabo de unos días, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

49 Borrachera 2006 Top Secret En una de estas reuniones, Pedro, uno de los participantes, cuenta un secreto propio. Al cabo de unas días, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

50 Borrachera 2006 Top Secret En una de estas reuniones, Pedro, uno de los participantes, cuenta un secreto propio. Al cabo de unas horas, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…) Queremos que saber si hay soplones, o es el mismo Pedrito que lo anda contando en todas sus fiestitas.

51 Borrachera 2006 - Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedro?

52 Borrachera 2006 - Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedro ?

53 Borrachera 2006 - Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedro?

54 Borrachera 2006 - Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedro?

55 Borrachera 2006 - Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedrito? Esta propiedad, es la propiedad de Helly : Toda subfamilia de conjuntos que se interseca dos a dos, tiene intersección total no vacía.

56 Borrachera 2006 Pedrito Problema: Dado un grafo G, es G biclique- Helly? Polinomial - Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedrito?

57 Borrachera 2006 Grafo de intersección de fiestitas = Grafo Biclique Por cada biclique, ponemos un vértice, y decimos que dos bicliques se relacionan si las bicliques tienen un vértice en común: Esta construcción genera un grafo que contiene la información de cómo están relacionadas las bicliques, en este caso, las fiestitas, entonces, por ejemplo, podemos buscar “caminos” entre dos fiestitas, para pasar un mensaje:

58 Borrachera 2006 Grafo Biclique

59 Borrachera 2006 Grafo Biclique Shh, no se lo digas a nadie..

60 Borrachera 2006 Grafo Biclique Te lo digo a vos pero a nadie más

61 Borrachera 2006 Grafo Biclique Te lo cuento porque confío en vos, pero shh

62 Borrachera 2006 Grafo Biclique Quéeeeee!!!!

63 Borrachera 2006 No está buena?

64 Borrachera 2006 Mundo Bisexual

65 Borrachera 2006 Mundo Bisexual

66 Borrachera 2006 Mundo Bisexual

67 Borrachera 2006 Mundo Bisexual

68 Borrachera 2006 Mundo Bisexual

69 Borrachera 2006 Mundo Bisexual

70 Borrachera 2006 Las bicliques también aparecen en Teoría de autómatas Teoría de lenguajes Inteligencia artificial Biología. Nos olvidamos de las fiestas por un rato…

71 Borrachera 2006 Coloreo Partición de Cliques (Otra que “fiestita”) Matching (Armado de parejas) Camino mínimo Otros problemas en grafos: Grafos de interseción: - De intervalos, - de cliques, - de cuerdas en un círculo,

72 Borrachera 2006 Los nombres/personajes que aparecen en esta presentación son ficticios. Cualquier similitud con la realidad, es pura coincidencia

73 Borrachera 2006 Ventajas de trabajar en grafos…

74 Borrachera 2006 Mi lugar de trabajo