Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales Inaccesibles y Problema de la Medida Luz Victoria De La Pava Castro Universidad del Cauca.

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1 Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales Inaccesibles y Problema de la Medida Luz Victoria De La Pava Castro Universidad del Cauca

2 Ordinales Una extensión de los números naturales

3 Un ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por la relación de pertenencia ∈. Un conjunto A es transitivo si cada elemento de A es un subconjunto de A. El orden en los ordinales es:

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6 CARDINALES Ejemplos  es un cardinal.  + 1 no es un cardinal. no es un cardinal.

7 LOS ALEPHS

8 Hipótesis del Continuo (HC). Conjetura de Cantor EL TAMAÑO DEL CONTINUO

9 HC es independiente de ZFC. Es decir, si ZFC es consistente, ZFC + HC y ZFC + ¬HC son consistentes. Kurt Gödel, en 1938, construyó un modelo de ZFC, la clase de los conjuntos constructibles, L, de tal manera que L ⊧ HC. Paul Cohen, en 1963,con la técnica del forcing, construyó un modelo en el que vale ¬HC. Existen modelos de la teoría de conjuntos en los que

10 Cardinales Límites Cofinalidad

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12 Ejemplo

13 Un cardinal débilmente inaccesible o simplemente inaccesible es un cardinal no numerable y regular. En ZFC no se puede demostrar la proposición: existe un cardinal inaccesible Cardinales Inaccesibles

14 MEDIDA

15 Una medida (σ-aditiva probabilística no trivial) sobre un conjunto no vacío S es función μ : ℘ (S) → [0,1] que satisface las siguientes propiedades :

16 Una medida sobre una  -álgebra S de conjuntos es una función  de valor real, con dominio S, que satisface las 4 propiedades anteriores. Una medida sobre S es una medida sobre ℘ (S ) Ejemplo: La Medida de Lebesgue sobre el intervalo [0,1]

17 La Medida de Lebesgue Satisface :

18 Bajo AC se prueba que: No todos los conjuntos de números reales son Lebesgue medibles Problema de la medida ¿Existe alguna medida σ-aditiva sobre [0,1] que extienda la medida de Lebesgue?

19 Respuesta parcial: (Bajo AC) No existe una medida σ -aditiva sobre ℝ que extienda la medida de Lebesgue y que satisfaga la propiedad de invariancia bajo traslaciones.

20 El continuo: ¿más que inaccesible? Si existe una medida σ-aditiva sobre ℝ que extienda la medida de Lebesgue entonces existe un cardinal débilmente inaccesible κ tal que

21 Cardinales Grandes Cardinales Supercompactos Cardinales medibles Cardinales Mahlo Cardinales fuertemente compactos