Tema I Estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

Tema I Estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

Fuerzas Internas Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Las fuerzas internas, se pueden considerar como fuerzas de interacción entre las partículas de los materiales . Además se puede imaginar que estas fuerzas quedan expuestas al pasar diferentes planos cortantes a través del cuerpo.

Fuerzo resultante y momento resultante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Fuerzo resultante y momento resultante

Esfuerzo Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de un plano cortante se describen en función de una cantidad llamada “esfuerzo” que representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzas que actúan sobre un punto o una porción de área referido al plano de corte P

Esfuerzo Promedio Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzas interiores anteriormente mostrado, se define “esfuerzo promedio” sobre la sección, al cociente de la fuerza F sobre la sección A. Asimismo se debe considerar una porción ΔA sobre la cual actúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio el cociente de ΔF entre ΔA

Esfuerzo en un punto de la sección ΔA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo en un punto de la sección ΔA Si P es un punto perteneciente al área ΔA, se define el esfuerzo en este punto como el límite del cociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.

Esfuerzo Normal Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación La componente vectorial de F sobre la normal a la sección trazada por el centroide se representa por el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo promedio sobre toda la superficie como el cociente de N y A, igualmente se hace para una porción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN que es la componente vectorial de ΔF sobre la normal al plano.

Esfuerzo normal en un punto
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Sea P un punto perteneciente al área ΔA, el esfuerzo normal en dicho punto se define como:

Dirección normal al plano que pasa por el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Dirección normal al plano que pasa por el punto P

esfuerzo normal Como se vio anteriormente, la dirección normal al plano se representa de la siguiente manera: La componente escalar del esfuerzo normal medio sobre toda la superficie se define como: La componente escalar del esfuerzo normal en un punto se define como: Donde  es el ángulo entre σs y σn

esfuerzo normal La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy El esfuerzo normal es a tensión si tiene el mismo sentido de la normal (se considera positivo). El esfuerzo normal es a compresión si tiene sentido contrario al de la normal (se considera negativo).

Esfuerzo Tangencial Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación La componente vectorial de la fuerza F en dirección de la recta t a la sección trazada por el centroide se representa con el vector T. El esfuerzo tangencial promedio sobre la sección A se define como: El esfuerzo tangencial promedio sobre la porción de área ΔA

Esfuerzo Tangencial en un punto
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Sea P un punto perteneciente a la porción de área ΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho punto como:

esfuerzo tangencial La dirección tangente viene dada por: La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por: La componente vectorial del esfuerzo tangencial en dirección de la recta t se define como:

Componentes vectoriales del esfuerzo resultante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes vectoriales del esfuerzo resultante

Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normal
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normal

Componentes normal y tangencial del esfuerzo σs
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes normal y tangencial del esfuerzo σs El vector esfuerzo referido a la sección A, a la porción de área ΔA o al punto P tiene dos componentes escalares, una componente normal y otra tangencial. Como las direcciones normal y tangencial son perpendiculares entre si, podemos decir que:

Componentes escalares del esfuerzo σs si la sección es un plano coordenado Para determinar las componentes cartesianas del esfuerzo σs, es necesario definir un sistema de ejes cartesianos. De manera que el plano π corresponde a un plano coordenado, la normal a este plano que pasa por el origen es un eje coordenado;

Cortes del elemento de volumen paralelos a los planos coordenados
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Cortes del elemento de volumen paralelos a los planos coordenados

Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados Plano π Ox Oy Oz Identificación Oyz σxx xy xz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X Oxz yx σyy yz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje Y Oxy zx

Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados

Estado de esfuerzo Para establecer el estado de esfuerzo en un punto se ha de definir nueve cantidades, sin embargo es posible cierta simplificación, para esto se busca una relación entre los esfuerzos tangenciales que actúan en planos perpendiculares entre si colocados en un cuerpo en equilibrio el cual es un paralelepípedo con aristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje con las caras respectivas paralelas a los planos coordenados. A continuación se hace un ejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz, para los demas se sigue el mismo procedimiento

estado de esfuerzo Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy y yz ejercen su acción sobre las caras correspondientes del paralelepípedo, sus valores corresponden al producto del esfuerzo por el área de la cara. F1 = zyΔxΔy F2 = yzΔxΔz igualmente para F3 y F4

estado de esfuerzo El paralelepípedo es una porción del cuerpo en equilibrio, por lo que la sumatoria de fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser cero. F1 + F3 = F1 = -F3 F2 + F4 = F2 = - F4

zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación estado de esfuerzo Las fuerzas F1 y F3 forman un par, igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el paralelepípedo esté en equilibrio los dos pares deben producir momentos iguales y de signo contrario, la suma de ambos debe ser nula: zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0 de donde zy = yz

xy = yx xz = zx yz = zy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación estado de esfuerzo Se sigue el mismo procedimiento para los demás esfuerzos cortantes, entonces se afirma lo siguiente xy = yx xz = zx yz = zy El estado de esfuerzos para un punto cualquiera de un sólido sometido a cargas se define entonces con seis componentes σx, σy, σ z, xy, xz, yz

Convención de signos Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Planos: Se considera que un plano coordenado es positivo si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta en la dirección positiva de un eje coordenado. En caso contrario el plano será considerado negativo. Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.

convención de signos Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial es positivo si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. Por el contrario un esfuerzo tangencial será negativo si, actuando en un plano positivo ( o negativo), apunta en la dirección negativa (o positiva) de un eje coordenado.

Estado de esfuerzo en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a los planos coordenados que pasan por un punto interior P en un cuerpo en equilibrio se desea conocer el vector esfuerzo que actúa en ese punto, referido a un plano que es perpendicular a la dirección definida por el vector y que pasa por dicho punto:

Esfuerzo vectorial resultante en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo vectorial resultante en el punto P ABC BOC BOA AOC A A1 A2 A3

Cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo resultante sobre el punto P

Si las dimensiones del tetraedro fueran constantes y finitas, además de las fuerzas sobre las caras habría que considerar el peso del material encerrado en su volumen, sin embargo, en el límite, el peso del material es despreciable, por eso no aparece en el siguiente sistema de fuerzas equivalentes

b e o c a n e α α A A1 β β o a A2

Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto P

Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elemental
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elemental Cara Área Componentes de esfuerzo Componentes de fuerza ABC BOC BOA AOC Dirección A A1 A2 A3 Sx σxx yx zx Ox Sy xy σyy zy Oy Sz xz yz σzz Oz SxA - σxxA1 - yxA2 - zxA3 SyA - xyA1 - σyyA2 - zyA3 SzA - xzA1 - yzA2 - σzzA3

Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)

Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestión
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestión

Obtendríamos: Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de: Obtendríamos:

Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (vectorial)

Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (escalar)

Esfuerzos Principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Para cualquier estado de esfuerzos en un punto P de un cuerpo, existen tres planos que pasan por ese punto sobre los cuales los esfuerzos tangenciales o cortantes son nulos y los únicos esfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzos normales. Estos planos son los “planos principales” y los esfuerzos normales a esos planos se les llama “esfuerzos principales”

esfuerzos principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales El procedimiento es maximizar la ecuación del esfuerzo normal, haciendo uso del método de Lagrange donde la condición es: Solamente l y m pueden ser consideradas como variables independientes de tal manera que:

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales Los valores extremos sobre los ejes principales se designan como una condición estacionaria y esta dada por:

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales De lo anterior se obtiene la siguiente relación entre las componentes del esfuerzo resultante y los cosenos directores La proporcionalidad de la ecuación anterior genera el siguiente postulado: “cuando sobre un plano se tiene un valor extremo o principal del esfuerzo normal, sobre este plano (Plano Principal) el esfuerzo cortante es nulo”.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones La condición para que este sistema de ecuaciones lineales homogéneas no presente soluciones triviales, es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero

Ecuación característica
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ecuación característica El desarrollo del determinante proporciona una ecuación característica de tercer grado

Invariantes de esfuerzos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Invariantes de esfuerzos Como los esfuerzos principales son independientes de la orientación del sistema de referencia, los coeficientes de la expresión anterior tienen que ser también independientes de la orientación del sistema de referencia; las expresiones de éste tipo se denominan invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se denominan invariantes de los esfuerzos.

Invariantes de esfuerzo
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Invariantes de esfuerzo El término I3 es el resultado de resolver el determinante del tensor de esfuerzos

Según el teorema fundamental del álgebra la ecuación característica se puede escribir como el producto de las diferencias entre la incógnita y las raíces de la ecuación De lo anterior tendríamos que los invariantes de esfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma

Orden de los esfuerzos principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Orden de los esfuerzos principales Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que: σ1 > σ2> σ3 algebraicamente

Direcciones Principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Una vez determinados los esfuerzos principales se deben determinar los cosenos directores de los ejes principales (1), (2), (3), con respecto a los ejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, las tres direcciones principales se definen por medio de los vectores n1, n2, n3, dirigidos según la normal a cada unos de los planos principales. De esta forma se tiene:

Cosenos directores para el eje (1)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Cosenos directores para el eje (1)

n1 n2 n3 En resumen tendríamos:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación En resumen tendríamos: VECTOR EJE X Y Z n1 1 L1 M1 N1 n2 2 L2 M2 N2 n3 3 L3 M3 N3

X

Cálculo de las direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

calculo de las direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación calculo de las direcciones principales

calculo de las direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación calculo de las direcciones principales Se demuestra asimismo que para dos planos principales cualesquiera : lo cual significa que estos planos son perpendiculares entre si .

Direcciones principales referidas al sistema coordenado ortogonal 1,2,3

Esfuerzo resultante (vectorial y escalar) en el punto P en función de los esfuerzos principales

Esfuerzo normal (vectorial y escalar) en el punto P en función de los esfuerzos principales

Esfuerzo cortante (vectorial y escalar) en el punto P en función de los esfuerzos principales

Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico y esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico y esférico Si σ1, σ2, σ3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3 son únicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial). Si σ1 = σ2 ≠ σ3, por lo tanto n3 es único y cada dirección perpendicular a n3 es una dirección principal asociado con σ1 = σ2 (estado de esfuerzos cilíndrico). Si σ1= σ2 = σ3, por lo tanto cada dirección es una dirección principal (estado esférico).

Estados de esfuerzos triaxial, cilíndrico y esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Estados de esfuerzos triaxial, cilíndrico y esférico

Valores extremos del esfuerzo cortante o esfuerzos cortantes principales Poniendo la ecuación anterior en función de L y M solamente se obtiene:

esfuerzos cortantes principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos cortantes principales El objetivo es maximizar la ecuación anterior, esto se hace diferenciando con respecto a L y M e igualando a cero

Posibles soluciones del sistema anterior
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Posibles soluciones del sistema anterior Caso 1: L=±1 M= N=0 Caso 2: L= M= ±1 N=0 Caso 3: L= M= N= ±1 Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0 Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2 Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2

Esfuerzos cortantes máximos para los casos anteriores
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos cortantes máximos para los casos anteriores

Esfuerzos cortantes principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Si los cosenos directores de los tres últimos casos son sustituidos por turno en la ecuación Se obtienen los valores máximos del esfuerzo de corte

Si los valores de los cosenos directores para los planos sobre los cuales actúan los esfuerzos de corte principales son sustituidos en la ecuación del esfuerzo normal, se obtendrían los valores del esfuerzo normal sobre esos planos:

La ecuación que se presenta a continuación es muy importante en las teorías de falla, ya que esta muestra que cuando se alcanza la fluencia, el proceso de deformación plástica que prosigue es netamente de cizallamiento.

Forma general de las componentes escalares del esfuerzo resultante en un punto P sobre un plano cualquiera La normal en el punto P a la superficie plana de la sección y los dos ejes perpendiculares entre sí trazados en el plano π, forman un sistema de ejes cartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estos ejes cambian con la posición del punto P y con la inclinación del plano π.

Componentes del esfuerzo cortante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes del esfuerzo cortante La dirección y sentido de cada eje con relación a los ejes de referencia Ox, Oy, Oz están determinados respectivamente por los vectores unitarios

componentes del esfuerzo cortante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación componentes del esfuerzo cortante O también

Componentes del esfuerzo cortante

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación componentes del esfuerzo cortante El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntos de componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son las componentes con relación al sistema coordenado de referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, σn) son las componentes con relación al sistema variable Px1y1z1. Estas últimas se calculan usando las igualdades siguientes:

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación componentes del esfuerzo cortante En función de los elementos del tensor se tendría

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación componentes del esfuerzo cortante Escribiéndolo de forma matricial se tendría:

Transformación de ejes

transformación de ejes
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación transformación de ejes

Esfuerzos normales después de la transformación de ejes
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos normales después de la transformación de ejes Resolviendo lo anterior podemos encontrar los elementos del tensor para la nueva ubicación de los ejes:

Esfuerzos cortantes después de la transformación de ejes
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos cortantes después de la transformación de ejes

Esfuerzo normal octaédrico y esfuerzo de corte octaédrico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo normal octaédrico y esfuerzo de corte octaédrico

Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostático
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostático El estado de esfuerzo en un punto interior de un cuerpo, se puede dividir en dos componentes, un estado de esfuerzo que produce distorsión o cambio de forma (desviador de esfuerzo) y un estado de esfuerzo que produce variación de volumen (esfuerzo esférico o hidrostático).

Componentes del desviador de esfuerzos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes del desviador de esfuerzos

Dirección del desviador de esfuerzos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Dirección del desviador de esfuerzos La dirección del esfuerzo principal del desviador de esfuerzos es la misma que la del esfuerzo principal del esfuerzo total, es decir, σ1’’ tiene la misma dirección de σ1. Puesto que un cuerpo isotrópico incompresible no se deforma por la presión hidrostática, la deformación depende solamente del desviador de esfuerzo, sin la contribución del componente esférico

Desviadores de esfuerzo principal

Circulos de Mohr Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación La ecuación del que representa al círculo de Mohr es la ecuación de una circunferencia del tipo:

Centros y radios de los círculos de Mohr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Centros y radios de los círculos de Mohr

Relación entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzo
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Relación entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzo Observando las ecuaciones de centros y radios dadas anteriormente podemos afirmar que los centros de los círculos de Mohr equivalen a los esfuerzos normales, y los radios de dichos círculos equivalen a los esfuerzo cortantes.

Círculos de Mohr

Pasos para conseguir σn,σs, y t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores. Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por σ1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3. Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3

Se mide el ángulo =arc cos(N) a partir de una vertical trazada por σ3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2. Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son los esfuerzos buscados. Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).

Solución gráfica tt ss sn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Q2 S2 tt A Q3 ss a g S1 sn

Ecuaciones de equilibrio
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación En esta parte se van a obtener las ecuaciones que deben verificar las fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen en el interior de un cuerpo, de manera que este se encuentre en equilibrio. Para hacer este estudio se deben tomar un punto P y un punto Q ubicados en vértices opuestos del paralelepípedo elemental, como se muestra en la figura. A D B Q P F C E

Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto P

Esfuerzos que concurren en el punto Q
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos que concurren en el punto Q

Ecuaciones de equilibrio

Deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Si un sistema de fuerzas exteriores actúa sobre un cuerpo que está impedido de moverse por las restricciones que imponen las condiciones de borde, o si por un medio físico-químico cualquiera se altera su temperatura, bajo estas circunstancias el cuerpo sufre cambios en su geometría que se llaman comúnmente deformaciones.

deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación La teoría que se va a presentar sobre las deformaciones esta basada en un conjunto de suposiciones que caracterizan el modelo físico descrito a partir de los siguientes postulados: a) El cuerpo tiene una distribución continua de la materia (homogéneo). b) Cuando aparecen en los cálculos ángulos pequeños expresados en radianes, se pueden sustituir por el seno o la tangente trigonométrica respectiva.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación c) Las deformaciones son pequeñas. Los desarrollos de las relaciones donde intervienen se interrumpen en los términos de primer grado despreciándose todos los demás, desde aquellos en donde aparecen cuadrados o productos de las mismas deformaciones; la teoría basada en estas suposiciones se conoce como la teoría linealizada de la deformación.

deformaciones en tres dimensiones d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de la deformación quedan como tales después de la misma. e) La teoría es aplicable únicamente a regiones pequeñas dentro del cuerpo y el análisis de las deformaciones sólo se refiere a las cercanías inmediatas de un punto determinado.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación deformaciones en tres dimensiones

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación deformaciones en tres dimensiones Supongamos que A y B son dos puntos en un material cualquiera, la distancia entre ellos es lo, cuando no se han aplicado fuerzas externas al cuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, el mismo tomará una nueva posición (líneas punteadas), en la cual AB se movió a A’B’. La distancia AA’ ha sido el desplazamiento del punto A y similarmente BB’ es el desplazamiento de B.

deformaciones en tres dimensiones Si A’B’ es paralela e igual que AB el desplazamiento ha sido solamente de traslación; pero si no es paralela, entonces incluye rotación y traslación. Si la distancia l entre A’ y B’ no es igual a lo entonces ha existido desplazamiento relativo de B con respecto a A y por lo tanto ha sucedido un estado de deformación.

deformaciones en tres dimensiones La posición de cualquier punto y su desplazamiento pude ser especificada con respecto a cualquier sistema de coordenadas X, Y, Z. Así en tres dimensiones el punto A tiene coordenadas XA, YA, ZA de manera que el desplazamiento de A a A’ puede ser representado por ΔXA, ΔYA, ΔZA, proyectando el desplazamiento sobre los ejes X, Y, Z respectivamente.

deformaciones en tres dimensiones La notación que debe usarse es: ΔX=u ΔY=v ΔZ=w De manera que las cantidades u, v y w son usualmente referidas a “desplazamientos”

Para realizar el estudio de las deformaciones se va a considerar el siguiente elemento diferencial de volumen dx dy dy dx

Relación entre desplazamientos y deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Sea u = f(x,y,z) ; v = f’ (x,y,z) ; w = f’’ (x,y,z) X Existe traslación Existe deformación

Desplazamiento del punto 1 y el punto 2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Desplazamiento del punto 1 y el punto 2

Desplazamiento de los puntos 1 y 3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Desplazamiento de los puntos 1 y 3

Deformaciones en dirección de los ejes coordenados
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Deformaciones en dirección de los ejes coordenados Análogamente en la tercera dimensión se tiene: z = ∂w/∂z. Por lo tanto:

Lo que realmente ocurre es:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Lo que realmente ocurre es:

Desplazamiento de la arista 1-2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación =(∂v/∂x)dx

Desplazamiento de la arista 1-3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación (∂u/∂y)dy

(∂u/∂y)dy (∂u/∂y)dy v+(∂v/∂y)dy (∂v/∂x)dx dy+(∂v/∂y)dy (∂v/∂x)dx u+(∂u/∂x)dx dx+(∂u/∂x)dx

Deformación angular La deformación de corte xy sobre un punto es definido como el cambio en el valor del ángulo entre los dos elementos originalmente paralelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y 13), de manera que en nuestro caso.

Deformación angular

Deformaciones angulares
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Deformaciones angulares De manera similar se hace para yz y para xz entonces tendríamos:

El alargamiento Δu en la dirección X se dijo que era igual a (∂u/∂x)dx, pero esto sucede análogamente en tres dimensiones (∂w/∂x)dx (∂v/∂x)dx dx+(∂u/∂x)dx

Haciendo superposición en el plano XY, se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Haciendo superposición en el plano XY, se tiene:

Haciendo superposición en las tres dimensiones:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Haciendo superposición en las tres dimensiones:

Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matrices
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matrices

Matriz de los desplazamientos relativos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Matriz de los desplazamientos relativos

Se obtiene el siguiente resultado
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Aplicando la identidad matricial: Se obtiene el siguiente resultado

Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el tensor de rotación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación O también: Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el tensor de rotación

Tensor de deformación 

Tensor de deformación 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación O también

Tensor de rotación ω Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Deformación normal unitaria en cualquier dirección
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Deformación normal unitaria en cualquier dirección

Según Pitágoras, para tres dimensiones tenemos:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Según Pitágoras, para tres dimensiones tenemos:

Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la segunda de la primera) obtenemos: Dividiendo por 2r 2

Sabemos que:

Entonces la ecuación quedaría:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Entonces la ecuación quedaría: Despreciando términos cuadráticos por ser muy pequeños se tiene:

Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se tiene:

Sabiendo que:

Deformación normal Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Si comparamos esta ecuación con la ecuación del esfuerzo normal podemos observar la estrecha relación que guardan ambas ecuaciones y por consiguiente se da el siguiente diccionario.

Correspondencia entre esfuerzos y deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Correspondencia entre esfuerzos y deformaciones

Ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones Los desplazamientos de un punto en un cuerpo deformado están dados por las tres componentes u v y w, como funciones continuas de x, y, z y las deformaciones están definidas por seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si se tienen las tres componentes de los desplazamientos, todas las componentes de la deformación pueden ser determinadas mediante el siguiente procedimiento.

ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Las tres primeras ecuaciones se deducen de la siguiente manera: Se parte de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz. Se derivan cada una de ellas dos veces en relación a las variables que aparecen como subíndices. En los resultados se sustituyen las derivadas ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus respectivas expresiones x, y, z.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones Se parte también de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz. Se deriva cada una de ellas con respecto a la variable que no aparece en el subíndice. Se suman los resultados obtenidos. A esta suma se resta cada vez el doble de cada una de las derivadas, obteniéndose tres expresiones en donde aparecen en los segundos miembros las derivadas segundas de las componentes u, v y w.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones Se deriva cada una de estas tres igualdades respectivamente con respecto a la tercera variable x, y o z que no aparecen en las segundas derivadas. En los resultados se sustituyen las derivadas ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus expresiones x, y, z

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones

Deformaciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Para hallar las deformaciones principales se hace el mismo procedimiento que con los esfuerzos principales, esto es debido a la analogía de las ecuaciones.

deformaciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación deformaciones principales La condición para que el anterior sistema de ecuaciones lineales homogéneas presente soluciones no triviales es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero, es decir:

Ecuación característica
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Desarrollar el determinante anterior proporciona una ecuación característica de tercer grado.

Invariantes del tensor de las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Invariantes del tensor de las deformaciones

Invariantes del tensor de las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Invariantes del tensor de las deformaciones El invariante J3 es el determinante del tensor de deformación

Entonces los invariantes se escriben:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Como Entonces los invariantes se escriben:

Invariantes de las deformaciones en función de las deformaciones principales.

Direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Tomando las dos últimas ecuaciones del sistema lineal homogéneo y resolviendo se pueden hallar los cosenos directores:

direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación direcciones principales Si llamamos:

direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación direcciones principales Entonces los cosenos directores serían:

Estado de deformación en el punto P referido al sistema coordenado ortogonal El estado de deformación en el punto P viene dado por: Deformación resultante. Deformación normal. Deformación angular.

Deformación resultante en el punto P (vectorial y escalar)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Deformación resultante en el punto P (vectorial y escalar)

Deformación normal en el punto P (vectorial y escalar)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Deformación normal en el punto P (vectorial y escalar)

Deformación angular en el punto P (vectorial y escalar)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Deformación angular en el punto P (vectorial y escalar)

Deformaciones normales máximas

Deformaciones angulares máximas

Circulo de Mohr para deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Circulo de Mohr para deformaciones En el circulo de Mohr para el caso de deformaciones, las coordenadas del punto A corresponden a las componentes cartesianas ( , /2) del vector s. Estas componentes estan relacionadas con las deformaciones principales y con los cosenos directores del vector normal.

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:

Tomando, por ejemplo, la primera ecuación, podemos observar lo siguiente: como L2≥0 y (1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que: Análogamente se hace para las otras dos ecuaciones, obteniéndose lo siguiente:

Centros de los círculos de Mohr para deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Centros de los círculos de Mohr para deformaciones

Radios de los círculos de Mohr para deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Radios de los círculos de Mohr para deformaciones

Círculos de Mohr para deformaciones

Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores. Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3. Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Se mide el ángulo  = arc cos(N) a partir de una vertical trazada por 3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2. Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son las deformaciones buscadas.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).

Solución gráfica (g/2)t es en
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Solución gráfica Q2 S2 (g/2)t A Q3 es a g S1 en

Cambio unitario de volumen
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación El cambio unitario de volumen en un punto de un cuerpo sometido a un estado de esfuerzo triaxial se puede determinar considerando un elemento de volumen. El volumen original que tiene este elemento es Vo = dxdydz y el volumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfz donde:

cambio unitario de volumen
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación cambio unitario de volumen Las anteriores son las longitudes finales de cada arista, de esta forma el volumen final sería: Por lo tanto el cambio de volumen sería:

cambio unitario de volumen
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación cambio unitario de volumen El cambio unitario de volumen o deformación volumétrica sería: Despreciando el producto de cantidades pequeñas:

Relación de Poisson Cuando una pieza se somete a un esfuerzo normal de tensión en una dirección dada, en la dirección del esfuerzo se produce un alargamiento y en cada una de las direcciones perpendiculares aparece una contracción. Si la pieza se somete a un esfuerzo de compresión, sucede lo contrario, hay una contracción en dirección del esfuerzo y un alargamiento en cada una de las direcciones perpendiculares.

relación de Poisson A la dirección del esfuerzo se le llama axial, y a las direcciones perpendiculares se les llama transversales. Se le da el nombre de Relación de Poisson (u) al cociente de la deformación unitaria transversal y la deformación unitaria axial

relación de Poisson Esfuerzo a tracción en la dirección Ox
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación relación de Poisson Dando a los alargamientos el signo positivo y a las contracciones un signo negativo tendríamos: Esfuerzo a tracción en la dirección Ox Esfuerzo a compresión en la dirección Ox

Módulo de Elasticidad La relación entre el esfuerzo y la deformación en la región elástica es una relación lineal. Esta idealización amplia y su generalización aplicable a todos los materiales se conoce como Ley de Hooke (σ = E), que significa simplemente que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, donde la constante de proporcionalidad (E) es el módulo de elasticidad o módulo de Young.

módulo de elasticidad

Módulo de Rigidez Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Igualmente que para el módulo de elasticidad, se sabe que existe una relación lineal entre el esfuerzo tangencial o de corte y la deformación angular. Se llama Módulo de Rigidez al cociente del esfuerzo de corte y la deformación angular (G = /)

módulo de rigidez

Ley de Hooke en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Todo esfuerzo normal actuando en dos caras opuestas de un elemento cúbico produce una deformación longitudinal proporcional al esfuerzo aplicado y del mismo signo. Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismo tiempo una deformación transversal de signo opuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitud es una fracción de la deformación longitudinal. Si en dos caras contiguas de un elemento cúbico y en sus caras opuestas actúan esfuerzos tangenciales en equilibrio, se produce una deformación angular, proporcional al esfuerzo tangencial actuante.

Es decir:

A los alargamientos se les ha dado un signo positivo y al acortamiento un signo negativo, entonces se tiene Esfuerzo σx σy σz Ox σx/E -uσy/E -uσz/E Oy -uσx/E σy/E Oz σz/E

Ecuaciones de deformaciones en función de esfuerzos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ecuaciones de deformaciones en función de esfuerzos

Ecuaciones de esfuerzos en función de deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ecuaciones de esfuerzos en función de deformaciones

Otra forma de escribirlo sería:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Otra forma de escribirlo sería:

Esfuerzos cortantes

Esfuerzos principales en función de las deformaciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos principales en función de las deformaciones principales Para hallar los esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales se procede de la siguiente manera

Constante de Lame

Esfuerzos en función de la constante de Lame
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos en función de la constante de Lame

Esfuerzos principales en función de la constante de Lame
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos principales en función de la constante de Lame

Relación entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Relación entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohr

Rosetas Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación θb θa θc

Ecuaciones de rosetas Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Tema I Estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

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