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NOCIONES DE PROBABILIDAD

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Presentación del tema: "NOCIONES DE PROBABILIDAD"— Transcripción de la presentación:

1 NOCIONES DE PROBABILIDAD
Ricardo Aravena Cuevas Depto. de Estadística, Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile Enero 2000

2 Nociones de Probabilidad
Contenidos Juegos de Azar; representación y análisis de resultados. Comentarios históricos sobre el estudio de la Probabilidad La Probabilidad como proporción del número de casos favorables y el número total de resultados posibles. Diagramas de árbol. Iteración de experimentos sencillos. Enero 2000

3 Nociones de Probabilidad
Introducción La probabilidad se asocia con lo incierto, es decir aquello que se sitúa entre lo seguro y lo imposible. Imposible -> Incierto -> Seguro Para expresar esta certeza (o incerteza) utilizamos un lenguaje bastante ambiguo: Es probable que; es posible que; se espera que; estamos casi seguro que; hay alguna posibilidad que; etc. Enero 2000

4 Nociones de Probabilidad
Introducción Las expresiones anteriores son referidas a situaciones que denominaremos: Sucesos. Necesito un informe completo sobre el sistema electrico. Enero 2000

5 Nociones de Probabilidad
Cuantificación de la Certeza Un problema fundamental es como saber cual de dos sucesos es más probable En lanzamientos sucesivos de una moneda que salgan (i) tres caras en tres lanzamientos, o (ii) dos caras en dos lanzamientos. Se reparte un naipe de 52 cartas entre 4 jugadores (i) a Mario le tocó un “as” o (ii) a cada jugador le tocó un “as”. Enero 2000

6 Nociones de Probabilidad
Cuantificación de la Certeza El problema central es reflejar un grado de certeza cualitativo en una escala numérica. Imposible ____ Incierto _____Seguro entre 0 y 0% entre 0% y 100% % Prob(Ocurra)+Prob(no ocurra)= 1 La probabilidad existe, aunque no seamos capaces de calcularla. -> Estimación. Enero 2000

7 Nociones de Probabilidad
Cuantificación de la Certeza Actividad - ordene de menos probable a más probable (puede incluir empates). El campeón de Futbol del año 2000 será: U de Chile; Colo-Colo; U Católica; Cobreloa; otro equipo El “Chino” Rios: Volverá a ser Nº1; se mantendrá entre los Top Ten; se casa y se retira del tenis! Enero 2000

8 Nociones de Probabilidad
Cuantificación de la Certeza En dos hospitales se anota el número de nacimientos, es posible que el porcentaje de mujeres exceda el 60%. En que hospital se espera que ocurra con mayor frecuencia En un hospital grande; En un hospital pequeño Se lanzan tres dados: sale 1,1,1; sale 2,2,3; sale 5,2,4 Enero 2000

9 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Ley de los Grandes Números Repetición indefinida de un experimento Bajo las mismas condiciones sin que haya interacción entre las distintas repeticiones. La probabilidad de un suceso es el límite al que converge la proporción de repeticiones en que el suceso tiene lugar. Enero 2000

10 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Se anota un 1 si aparece el cinco y un 0 en caso contrario. Para 5 lanzamientos: Lanz Cara ¿Cinco? Prop. de 5 Lo anterior se conoce como Ley de los Promedios y es un ejemplo de la regularidad estadística Enero 2000

11 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Usando el SIMPUC - se solicitan 4 muestras de tamaño 100 del lanzamiento de un dado. En Excel© , a través de un IF (condicional) contamos los “5” para cada muestra y obtenemos las proporciones: Muestra 1 - 0,15 Muestra 2 - 0,13 Muestra 2 - 0,14 Muestra 4 - 0,15 Total: 0,1425 versus 0,1667 Enero 2000

12 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Probabilidad y Resultados Favorables Si queremos calcular Prob ( A ), decimos que A es el suceso de interés. Con respecto a este suceso, decimos que un resultado es favorable si él asegura que el suceso de interés se cumpla. La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los resultados favorables. Enero 2000

13 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Estrategia Identificar el suceso de interés con el conjunto A de resultados favorables. Buscar la probabilidad de cada resultado favorable Sumar las probabilidades anteriores * Programa SIMPUC - se puede bajar del Internet de: Enero 2000

14 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Ejemplo: Lanzamiento de un dado y obtener un número par Suceso de interés: Obtener par Resultados favorables:{2,4,6} Se tiene Prob{2}=Prob{4}=Prob{6}=1/6 Por lo tanto Prob{Par}=P{2} + P{4} + P{6} = 1/6+1/6+1/6 = 1/2 Enero 2000

15 Nociones de Probabilidad
Interpretación Frecuentista Son sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia de los otros. Regla Aditiva. Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes, entonces P ( A ó B ) = P(A) + P(B) Enero 2000

16 Nociones de Probabilidad
Equiprobabilidad Cuando todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad, se dice que ellos son equiprobables. ¿Cuándo sospechar equiprobab? Usualmente esto ocurre cuando hay un alto grado de simetría, como ocurre con monedas, naipes, monedas, etc. En caso de experimentos repetibles, tenemos la ventaja de confirmar la hipótesis de equiprobabilidad Enero 2000

17 Nociones de Probabilidad
Equiprobabilidad Modelo de Urna Un mecanismo más flexible , que permite tener N resultados equiprobables, donde N es un número arbitrario es el modelo de urna. Es este modelo, se elige al azar 1 ficha de una urna que contiene N fichas. Si cada ficha tiene una etiqueta que identifica a un elemento, la extracción proporciona un metodo para elegir al azar los elementos de este conjunto. Enero 2000

18 Nociones de Probabilidad
Equiprobabilidad Regla de Laplace Cuando los resultados posibles son equiprobables, la probabilidad de un suceso es el número de resultados favorables dividido por el número de resultados posibles. En libros antiguos de Algebra esta regla aparece como definición de probabilidad, reemplazando la palabra resultado por caso. Enero 2000

19 Nociones de Probabilidad
Equiprobabilidad Una consecuencia inmediata de la regla de Laplace es la igualdad numérica entre probabilidades y proporciones poblacionales, cuando se elige un elemento al azar de una determinada población. Enero 2000

20 Nociones de Probabilidad
Ley Multiplicativa Ejemplo Se tienen dos urnas con fichas rojas y negras. La urna 1 tiene un 60% de fichas rojas y la urna 2 contiene un 30% de fichas rojas. Se elige una urna al azar lanzando una moneda (cara -> urna 1; sello -> urna 2). Finalmente se extrae una ficha de la urna elegida Determine la probabilidad de obtener una ficha negra. Enero 2000

21 Nociones de Probabilidad
Ley Multiplicativa ¿Qué pasa si repetimos 1 millón de veces el experimento? Se espera cerca de 500 mil caras -> urna 1 es la elegida, en cuyo caso un 40% de las veces se obtendrá una ficha negra, es decir, cerca de 200 mil veces. De igual forma, se obtendrán cerca de 500 mil sellos -> urna 2, donde se obtendrá un 70% de las veces fichas negras, por lo tanto, en total 350 mil veces. En forma análoga, se tiene describiendo los resultados: Enero 2000

22 Nociones de Probabilidad
Ley Multiplicativa P{Urna 1 y ficha negra}=20% P{Urna 1 y ficha roja} =30% P{Urna 2 y ficha negra}=35% P{Urna 2 y ficha roja} =15% 40% 20% Urna 1 30% Cara 1/2 60% $ 35% 70% Sello Urna 2 1/2 30% 15% La suma de los cuatro porcentajes debe ser 100% Enero 2000

23 Nociones de Probabilidad
Ley Multiplicativa Tabular: Color de la Ficha Negra Roja Suma Urna 1 20% 30% % Urna 2 35% 15% % Suma 55% 45% % Se puede apreciar que la probabilidad de obtener una ficha negra es 55%. Las sumas por filas (o columnas) dan las probabilidades marginales Enero 2000

24 Nociones de Probabilidad
Ley Multiplicativa Experimento en dos etapas x el resultado de la primera etapa, ocurre con probabilidad p(x). Dado x, la probabilidad de obtener el resultado y es p(y/x). La probabilidad de obtener x en la 1era etapa e y en la 2da etapa la denotamos por p(x,y) Entonces p(x,y)= p(x)p(y/x), y Ley de las Probabilidades Totales P(y) = suma sobre x de p(x) p(y/x) * es un promedio ponderado de las p(y/x) Enero 2000

25 Nociones de Probabilidad
Independencia Cuando el resultado de una etapa no se ve afectado por los resultados de las etapas anteriores estamos frente a sucesos independietes. Otra forma equivale a que las probabilidades condicionales coinciden con las marginales, es decir, P( A / B ) = P(A) Ejemplo: se lanza un dado 3 veces P({2,6,5}) = P(2) x P(6) x P(5) = 1/6x1/6x1/6 = 1/216 * Sucesos mutuamente excluyentes NO son independientes Enero 2000

26 Nociones de Probabilidad
Probabilidad Condicional El concepto de probabilidad condicional permite formalizar la idea que la probabilidad depende de la información. Notación P{A / B} = P{A y B} P{B} (leemos como “probabilidad que ocurra el evento A dado que ha ocurrido B = Prob. que ocurran A y B dividido por Prob. que ocurra B”) Enero 2000

27 Nociones de Probabilidad
Probabilidad Condicional Ejemplo de las 3 cartas: Se dispone de tres cartas, Roja-Roja, Negra-Negra y Roja-Negra. Se elige una carta al azar y luego se pone sobre la mesa. Si la cara mostrada es Negra, ¿cuál es la probabilidad que la otra cara seaNegra? Solución: Marcamos las caras, por lo cual hay 6 resultados posibles: 1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b que son equiprobables. La información de una cara negra indica la ocurrencia del suceso {2a,2b,3b}, mientras que el suceso de interés es {2a,2b} por lo tanto: P{2a,2b}/P{2a,2b,3b} = (2/6)/(3/6) Enero 2000

28 Nociones de Probabilidad
Tablas Versus Arboles Los resultados de un experimento en dos etapas pueden identificarse con las ramas o nodos terminales de un árbol, o bien las celdas de una tabla. La primera representación es útil cuando se dispone de probabilidades condicionales, mientras que la segunda cuando se especifican las conjuntas Pongamosle color... 1 2 3 p(x,y) p(x,y) 5 4 Enero 2000

29 Nociones de Probabilidad
Se extraen dos fichas sucesivamente, cual es la probabilidad de obtener: a) b) c) d) Con reemplazo a) Enero 2000

30 Nociones de Probabilidad
Tablas Versus Arboles Probabilidades: Sin Reemplazo Enero 2000

31 Nociones de Probabilidad
Ejemplos Plan Familiar Una pareja acuerda tener hijos hasta lograr un varón, o bien tres preciosas niñas (lo que ocurra primero). ¿Cuál es la probabilidad de tener un varón? … simular … ej: Lanzar una Moneda, si sale Cara=varón, Sello=niña Enero 2000

32 Nociones de Probabilidad
Ejemplos Plan Familiar.. Continuación Grupo Repeticiones # veces con ñiño _______ _______ 2 _______ _______ .. …. …. K _______ _______ ..TOTAL _______ _______ Probab. pedida = / = La probabilidad teórica es : 0,875 Enero 2000

33 Nociones de Probabilidad
Ejemplos Problema de las 3 puertas Sabado Gigante - Don Francisco ¿? A B C Enero 2000

34 Nociones de Probabilidad
Ejemplos Problema de las 3 puertas Hay tres puertas, detrás de una de ellas hay un auto, en las otras dos un premio de consuelo. Un concursante ha seleccionado una puerta y el animador le muestra lo que hay una de las otras, y le ofrece una de las siguientes dos alternativas: a) permanecer con la puerta seleccionada, b) cambiarse de puerta. ¿Qué le recomienda Ud? ¿Cuál es la probabilidad de ganar el auto si escoge a), si escoge b)? Enero 2000

35 Nociones de Probabilidad
Ejemplos Problema de las 3 puertas Simular 20 veces cada pareja Permanece Se cambia Enero 2000

36 Nociones de Probabilidad
Ejemplos Problema de las 3 puertas Resumen: Prob(Ganar si permanece) = Prob(Ganar si se cambia) = La mejor estrategia es: _____ mirando la solución… Puerta seleccionada Orden A Auto Flor Flor B Flor Auto Flor C Flor Flor Auto Enero 2000

37 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Suceso El Azar (de aquí la palabra aleatorio) es conocido desde hace mucho tiempo a través de los llamados “Juegos de azar”. Hoy en día, por ejemplo, se juega a la ruleta, a las cartas y Loto o Kino. Los antiguos usaban astrágalos, y luego, dados. Los astrágalos son pequeños huesos del talón de ciertos animales. Estos elementos han sido encontrados en excavaciones que datan de la prehistorua, entre los pueblos babilónicos, egipcios, griegos,etc. Enero 2000

38 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Suceso Algunas evidencias, como pinturas en los vasos griegos, indican que el juego con astrágalos es muy antiguo y difundido también entre los niños. Hay registros que muestran su uso en egipto durante la primera dinastía (3500 a. de C.). Los juegos se hicieron populares en ciertas situaciones históricas, como la hambruna de Lydia (1.500 a. de C.) o el sitio de Troya (duró 10 años). Enero 2000

39 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Suceso También los dados pertenecen a épocas remotas y uno de los más antiguos que se ha encontrado, hecho de arcilla bien cocida, data del año a. de C. Los Juegos de azar con éstos y otros elementos han sido repetidamente prohibidos, especialmente durante la Edad Media. Enero 2000

40 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Suceso En la era cristiana se utilizaban dados, astrágalos, palitos y otros elementos para jugar o para adivinar, ya sea el futuro o lo que deseen revelar los dioses. Sin embargo, no se habla de probabilidad ni se tiene el concepto de número que utilizamos hoy en día. Digamos de paso que los juegos y/o adivinaciones con cartas sólo se han usados en estos últimos tres mil años. Enero 2000

41 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Probabilidades La idea de azar es muy antigua. Pero, ¿por qué demoró tanto el surgimiento de las probabilidades? Sólo podemos especular en el por qué de la demora. Una posibilidad sólida la encontramos en la necesidad de un sistema numérico de cálculo y notación (el actual data del año 1500, y es adecuado al calculo de probabilidades) Debemos a los griegos el desarrollo de la lógica científica, ideas que influyen y desarrollaron Enero 2000

42 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Probabilidades la enumeración de sucesos, pero las probabilidades son meras ideas pasajeras. Tambien se encuentra en los matemátics griegos y romanos la idea de que los dioses controlaban la caída de los dados en los juegos de azar. Todo hace pensar que en el mundo antiguo existían las bases para definir el concepto, empero, los filósofos -Platón y Aristóteles, centraban sus preocupaciones en la regularidad, orden y repetición. Enero 2000

43 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Inicios La segunda mitad del primer milenio nos encuentra con un cristianismo en expansión y una Roma en decadencia. La influencia indú se extiende a occidente A fines del primer milenio, se desarrollan los números arábicos y las primeras ideas contemporáneas de las combinaciones y probabilidades. Enero 2000

44 Nociones de Probabilidad
Hechos Históricos - Inicios Surge el comercio de Florencia, pero las ideas probabilísticas no iniciaron su desarrollo hasta que Leonardo da Vinci ( ) la popularizara, y su gran amigo Fra Luca Pacido publicará ideas sobre álgebra, aritmética y geometría. Estas dieron ímpetu a Cardano y Tartaglia a escribir sus propias versiones, que incluyen cálculo de probabilidades. En síntesis, podemos decir que la teoría de la probabilidad se inicio en la mesa de juegos Enero 2000

45 Nociones de Probabilidad
Juegos de Azar Enero 2000


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