Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.

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1 Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.

2 Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.
ÍNDICE. Inecuaciones Inecuaciones de primer grado con una incógnita Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Sistema de inecuaciones Inecuaciones en valor absoluto

3 Desigualdades algebraicas
Una DESIGUALDAD ALGEBRAICA está formada por expresiones algebraicas y un símbolo de desigualdad (< , > , ≤ , ≥ ). En el caso particular de que las expresiones algebraicas sean números, decimos que es una DESIGUALDAD NUMÉRICA. Si la desigualdad algebraica, se cumple para todos los valores de las variables, decimos que se trata de una DESIGUALDAD ABSOLUTA, y en otro caso denominamos INECUACIÓN. Ejemplos:

4 Compatibilidad. Inecuaciones equivalentes
Una INECUACIÓN ALGEBRAICA es COMPATIBLE si tiene solución, e INCOMPATIBLE si no la tiene. Ejemplo: Dos INECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las misma solución. Ejemplo: Para resolver INECUACIONES algebraicas, utilizamos INECUACIONES EQUIVALENTES lo mas sencillas posibles.

5 Reglas de transformación de inecuaciones
Para simplificar una desigualdad algebraica: Ejemplo: 2(x - y) – 1 < 2 x + 2 quitamos paréntesis y denominadores si los hubiese Ejemplo: 2x - 2y – 1 < 2 x + 2 y utilizamos las siguientes reglas: 1.- Si sumamos o restamos a ambos miembros de la desigualdad una expresión algebraica, obtenemos una desigualdad algebraica equivalente: Ejemplo (sumando - 2x + 1): - 2y < 3 2.- Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por un número positivo, obtenemos una desigualdad algebraica equivalente. 3.- Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, invirtiendo la desigualdad de sentido obtenemos una desigualdad algebraica equivalente : Ejemplo (multiplicando por (- ½ ) ) : y > - 3/2

6 Inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Una INECUACIÓN es lineal (o de primer grado) con una incógnita, cuando podemos obtener una equivalente a una de estas cuatro : a . x + b < 0; a . x + b > 0; a . x + b ≤ 0; a . x + b ≥ 0; a  0. Si a > 0, estas inecuaciones tienen por solución x < - b / a ; x > - b / a ; x ≤ - b / a ; x ≥ - b / a ; Si a < 0, estas inecuaciones tienen por solución x > - b / a ; x < - b / a ; x ≥ - b / a ; x ≤ - b / a ; Ejemplo: Representación de la solución en la recta real 1

7 Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Una INECUACIÓN con una incógnita es cuadrática, cuando podemos obtener una equivalente a alguna de las siguientes: Si la ecuación 1º) no tiene raíces reales, la solución será ℝ ó  2º) tiene solamente una raíz doble r, la solución será ℝ ó ℝ - {r} ó {r} ó . 3º) tiene raíces r y s (suponemos r < s), la solución estará en algunos de los intervalos (-∞,r > ó < r,s > ó < s,+∞) Donde < corresponde a ( ó [ y > corresponde a ) ó ], depende del signo de la desigualdad

8 Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Ejemplos: 1.- Resolver x 2 + x – 6 < 0. Como las raíces de la ecuación P(x) = x 2 + x – 6 = 0 son -3 y 2, Habrá que estudiar el signo de la expresión algebraica en cada uno de los intervalos ( - ∞ , -3 ) ó ( -3 , 2 ) ó ( 2 , + ∞ ) probando con algún valor intermedio por ejemplo x=-4 , x=0 y x=3, se obtiene que P(-4) > 0, P(0) < 0 y P(3) >0. Se obtiene como solución el intervalo (-3,2) - 3 2 2.- Resolver 2 x 2  5 x - 3. Como equivale 2x2 - 5x + 3  0 y las raíces de la ecuación P(x) = 2x2 - 5x + 3 = 0 son 1 y 3/2, Habrá que estudiar el signo de la expresión algebraica en ( - ∞ , 1 ) ó ( 1 , 3/2 ) ó ( 3/2 , + ∞ ) que probando con algún valor intermedio por ejemplo x=0 , x=2 y x=4, se obtiene que P(0) > 0, P(2) < 0 y P(4) >0. Se obtiene como solución (-∞,1]  [3/2 ,+∞) 1 3/2

9 Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Para resolver una INECUACIÓN cuadrática, de la forma: Si r, y s son las raíces de la ecuación Resolver la inecuación cuadrática, es equivalente a resolver la inecuación: Que se puede resolver mediante un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita, que se explica en Sistema de inecuaciones Ejemplo:

10 Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente.
Para resolver un una INECUACIONES con una incógnita en forma de cociente de la forma: Debemos resolver dos sistemas de dos ecuaciones de la forma Que se puede resolver mediante un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita, que se explica en Sistema de inecuaciones Ejemplo:

11 Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Una INECUACIÓN LINEAL con dos incógnitas x e y, es aquella que se puede reducir a otra de la forma: a x + b y < c; a x + b y > c; a x + b y ≤ c; a x + b y ≥ c; a, b, c   Para representar gráficamente en el plano la inecuación, representamos en el plano la recta: a x + b y = c Y su representación gráfica en el plano es la región superior (si es > o ≥) o inferior (si es < o ≤) limitada por dicha recta, que dependiendo de la DESIGUALDAD, puede o no incluir a dicha recta. 2 Ejemplo: Representar la inecuación x + y > 2. Los valores de la región que están por debajo de la recta x + y – 2 = 0, no cumplirán la ecuación, pero si lo cumplirán los valores (x, y) por encima de dicha recta

12 Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Para resolver un SISTEMA de INECUACIONES lineal con una incógnita, resolvemos cada una de las ecuaciones lineales, y la solución, será aquella que se cumpla para todas las ecuaciones: Ejemplo: Resolver una inecuación de un producto o un cociente de polinomios de 1º grado, equivale a resolver dos inecuaciones poniendo los símbolos de desigualdad adecuados para que se cumpla el producto o el cociente: Ejemplo:

13 Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Para resolver un SISTEMA de INECUACIONES lineal con dos incógnitas, resolvemos cada una de las ecuaciones lineales, y la solución, será aquella que se cumpla para todas las ecuaciones: Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones x – y  2 2 x + y  4 Teniendo en cuenta que la solución de la primera inecuación son aquellos valores de la región del plano que están por encima de la recta x-y-2 = 0, y la solución de la segunda inecuación son aquellos valores de la región del plano que están por encima de la recta 2 x +y – 4 = 0, la solución gráfica será 2 - 2 4

14 Inecuaciones de valores absolutos.
Para resolver un una INECUACIONES con valores absolutos, resolvemos las ecuaciones sin valor absoluto necesarias para que se cumpla la desigualdad Ejemplo: Para resolver la inecuación | x + 2 |  1 como es equivalente a resolver la siguiente expresión - 1  x + 2  1 Tendremos que resolver el sistema de inecuaciones x + 2  - 1 x + 2  1 Cuya solución es el intervalo [ -3 , - 1 ]

15 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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