Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 M.D.M. Arturo Corona Pegueros División Económica-Administrativa Carrera de Administración UTEQ.

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1 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 M.D.M. Arturo Corona Pegueros División Económica-Administrativa Carrera de Administración UTEQ

2 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Un objetivo de la matemática es poder analizar fenómenos para su control o mejor aprovechamiento. Una de las técnicas más apreciadas es la optimización. Ésta se puede lograr aplicando cálculo diferencial (máximos y mínimos) o bien con álgebra lineal, en el segundo caso se encuentra la Optimización Lineal

3 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Una empresa que realiza reciclaje tiene algunos inconvenientes para la recolección de vidrio y plásticos: el vidrio requiere 10 dm 3 de espacio en almacenaje por kilogramo, mientras que el plástico requiere 2 dm 3 por kilogramo (se puede comprimir y el vidrio debe estar entero) y se dispone de contenedores de 200 litros (dm 3 ).

4 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Pero por otro lado los costos de limpieza de cada uno es diferente: para el vidrio es de $7 por kilogramo y para el plástico es de $14 por kilogramo, en total los costos no deben exceder $980.

5 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Finalmente las utilidades que generan tampoco son iguales: El vidrio produce $11 por kilogramo mientras que el plástico produce $12 por kilogramo.

6 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La empresa puede colectar tanto vidrio y plástico como quiera, de manera que desea que la colección sea la que produzca la mayor utilidad posible. ¿Cuánto debe ser la cantidad de cada material, vidrio y plástico para lograr la máxima utilidad?

7 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Resumiendo las condiciones del problema tenemos: Por kilogramo Vidrio Plástico Total Almacenaje (dm 3 ) Costo ($) Utilidad ($) 10711 21412 200980

8 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Primero ubicamos las incógnitas de nuestro problema. Sean El número de kilogramos de vidrio El número de kilogramos de plástico x:x:x:x: y:y:y:y:

9 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Ahora expresamos cada condición (restricción) en forma algebraica: Espacio: Costo: Naturales:

10 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Finalmente expresamos la condición que deseamos optimizar, a la cual llamamos (función objetivo) en forma algebraica:

11 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 De manera que el modelo matemático que expresa las condiciones y necesidades de nuestro ejercicio es el siguiente:

12 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Una forma de resolver el ejercicio es mediante la gráfica del sistema de inecuaciones:

13 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La región solución de cada desigualdad está sombreada:

14 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La región solución del sistema es la región verde. Los puntos rojos son los vértices de la región solución y uno de ellos es la combinación óptima.

15 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Notemos que cada vértice es la intersección de dos rectas, por tanto es la solución del sistema de ecuaciones correspondiente: v1 v2 v4 v3

16 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Podemos observar que el número de variables está dado por el número de materiales a reciclar, de manera que si tuviéramos dos materiales más, por ejemplo aluminio y cartón, el sistema de inecuaciones tendría cuatro variables, imposible de graficar en un plano. Para tales casos se utiliza un método algebraico denominado Método Simplex.

17 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Sabemos que la solución es una de las intersecciones entre dos ecuaciones (un vértice en la gráfica) de manera que debemos trabajar con ecuaciones.

18 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 El método va calculando el valor de la función objetivo en cada vértice de la región solución, pasando de una solución posible a una solución mejor, hasta encontrar la solución óptima. Para ello se requiere expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial y operar con ella.

19 Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La forma en que se realiza la gráfica así como la forma matricial para el método Simplex, son temas que puedes revisar en las siguientes ligas: ¿Cómo graficar una función lineal? Método simplex Aqui

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