Movimientos en el plano google. com. co/books

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1 Movimientos en el plano http://books. google. com. co/books

2 Llamaremos transformación geométrica a una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro único punto del mismo plano Definición M.1:

3 Si a un punto M de un plano 𝛼, de coordenadas 𝑥,𝑦 , se le hace corresponder cierto punto Μ′, de coordenadas 𝑥′,𝑦′ , del mismo plano, se dice que en el plano 𝛼 se ha dado una transformación geométrica de puntos; el punto Μ′ se llamará la imagen del punto M. Definición M.1:

4 Se llama transformación geométrica del plano a toda aplicación biyectiva
𝑇: ℝ 2 → ℝ 2 que asocia a cada punto P de ℝ 2 otro punto P ′ =𝑇(𝑃)∈ ℝ 2 , llamado el homólogo de P

5 Axiomas Axioma M.1: Si P es un punto considerado en una posición inicial (primera), entonces le corresponde un punto, y sólo uno, en la posición final (segunda) llamado transformado u homólogo del primero y viceversa. Axioma M.2: Todo movimiento conserva las relaciones de incidencia y de orden. Axioma M.3: Ningún movimiento puede transformar un segmento, un ángulo o cualquier objeto geométrico en partes del mismo.

6 Un movimiento en el plano 𝛼 es una biyección φ:𝛼→𝛼, que conserva las distancias, las relaciones de incidencia y las relaciones de orden entre puntos del plano. Definición M.2:

7 Axiomas Axioma M.4: La transformación resultante de aplicar dos movimientos sucesivos (uno tras el otro) es otro movimiento y se denomina Producto o composición de movimientos. Axioma M.5: La transformación inversa de todo movimiento es otro movimiento. Es decir, si existe un movimiento que transforma el plano 𝛼 en 𝛼′, existe otro movimiento recíproco que transforma 𝛼 en 𝛼 ′ . Axioma M.6: Existe un movimiento y sólo uno que transforma una semirrecta 𝑂𝐴 en otra semirrecta 𝑂𝐴′ , y un semiplano 𝛼 limitado por la recta 𝑂𝐴 en un semiplano 𝛼′ determinado por la segunda. Si los dos semiplanos que definen el movimiento caen a un mismo lado de las semirrectas respectivas, el movimiento se llama movimiento directo en caso contrario se llama movimiento inverso.

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9 Definición M.3 : Dos figuras 𝐹 1 y 𝐹 2 del mismo plano son congruentes si existe un movimiento 𝑀 del plano tal que 𝑀 𝐹 1 = 𝐹 2 . Si 𝐹 1 y 𝐹 2 son congruentes escribimos 𝐹 1 ≅ 𝐹 2 .

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11 Movimientos Simetría central

12 Definición M.4 Sean 𝑂 un punto del plano 𝛼, 𝑂𝐴 una semirrecta contenida en 𝛼, 𝛼 1 y 𝛼 2 los semiplanos limitados por 𝑂𝐴 . La simetría central, con respecto a O, denotada por 𝑆𝑖𝑚 𝜊 es el movimiento directo del plano 𝛼 que envía la semirrecta 𝑂𝐴 en su opuesta 𝑂𝐴′ y al plano 𝛼 1 en el plano 𝛼 2 . Si 𝑂𝐴′ es el simétrico de 𝑂𝐴 respecto al centro O, escribimos: 𝑆𝑖𝑚 𝜊 ( 𝑂𝐴 )≅ 𝑂𝐴′

13 Definición M.5: Sea O un punto fijo y A un punto cualquiera; decimos que el punto es el simétrico de A con respecto a O si O es el punto medio del segmento 𝐴𝐴′ .

14 Ejercicio No 1

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Simetría axial

17 Definición M.6: Sean un plano, 𝑂𝐴 una semirrecta contenida en 𝛼, 𝛼 1 y 𝛼 2 los semiplanos limitados por la recta 𝑂𝐴 . La simetría axial con eje en la recta 𝑂𝐴 denotada por 𝑆𝑖𝑚 𝑂𝐴 es el movimiento inverso, del plano que conserva 𝑂𝐴 y transforma el semiplano 𝛼 1 en su opuesto 𝛼 2 . Si 𝐴 ′ es el simétrico de 𝐴 con respecto a la recta 𝓁, escribimos 𝑆𝑖𝑚 𝓁 𝐴 =𝐴′.

18 Definición M.7 Dos puntos 𝐴 y 𝐴′ son simétricos respecto a una recta 𝓁 cuando ésta es perpendicular al segmento 𝐴𝐴′ en su punto medio. Si M es el punto medio de 𝐴𝐴′ , entonces 𝑀𝐴 ≅ 𝑀𝐴′ , es el simétrico del punto A respecto a la recta 𝓁. La recta 𝓁 se llama eje de simetría.

19 Definición M.8 DefiniciónM.9
Toda perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento se llama mediatriz del mismo. : Si una figura geométrica contiene todos los puntos que cumplen determinada propiedad y recíprocamente, sólo contiene los puntos que la cumplen, se dice que es el lugar geométrico de dichos puntos.

20 Bisectriz de un ángulo El lugar geométrico, de todos los puntos interiores de un ángulo que equidistan de sus lados, es la bisectriz del ángulo.

21 Propiedades de la perpendicularidad
Dos rectas que se cortan son perpendiculares, si los cuatro ángulos que forman en el punto de corte son congruentes. Por un punto de una recta no pasa más que una perpendicular a ella. En consecuencia, la mediatriz es única. Toda perpendicular, a una recta, por un punto A exterior a ella pasa por su simétrico , que es único. Todos los ángulos congruentes con un ángulo recto son rectos, y recíprocamente todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.

22 Construcciones Para trazar una bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario con centro en el vértice. Este arco corta a los lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la mediatriz de la cuerda MN.

23 Construcciones

24 Movimientos Traslación

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26 Un vector geométrico Es un segmento dirigido, es decir, un segmento con dirección, sentido y longitud o magnitud. La dirección del vector es la de la recta que lo contiene, el sentido está relacionado con la relación de precedencia que se establece del origen al extremo y la magnitud es la longitud del segmento.

27 Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, sentido y magnitud.

28 Los vectores 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴 tienen la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

29 Si A, B y C son tres puntos colineales del plano 𝛼, tales que , la traslación AB es el movimiento directo del plano que envía la semirrecta 𝐴𝐵 en la semirrecta 𝐵𝐶 , dejando invariantes los semiplanos que determinan la recta 𝐴𝐵 . traslación AB la simbolizamos por 𝑇 𝐴𝐵 . La recta 𝐴𝐵 . se llama directriz de la traslación 𝑇 𝐴𝐵 y 𝐴𝐵 es el vector traslación.

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31 Movimientos Rotación

32 Rotación Sea O un punto fijo de un plano 𝛼. Una rotación, con centro de giro un punto O y un ángulo 𝜽, denotada por 𝑅 (𝑂,𝜃) , es el movimiento directo del plano 𝛼 que envía un punto de 𝛼 en otro punto que deja a O invariante y donde, 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐴′ y ∡𝐴𝑂𝐴′≅𝜃

33 Al ángulo 𝜃 se le llama ángulo de giro o ángulo de rotación, el cual tiene una orientación positiva si el giro se hace en sentido antihorario y negativa si se hace en sentido horario.

34 La rotación R con centro en O transforma 𝑂𝐴 en 𝑂𝐴′ , a los semiplanos S y T limitados por 𝑂𝐴 , en S´ y T’ respectivamente.

35 PROPIEDADES: Dos puntos homólogos A y A' en una rotación equidistan del centro. El centro de rotación está en la mediatriz del segmento definido por todo par de puntos homólogos

36 Ejercicios En los siguientes caso se ha efectuado una rotación, se pide hallar el centro de rotación De un segmento y su transformado . De dos semirrectas homólogas cuyas opuestas se cortan en un punto P, que equidista de sus puntos iniciales. De dos semirrectas homólogas cuyas opuestas no se cortan en un punto P, que equidista de sus puntos iniciales.

37 Dado un triángulo ABC isósceles, aplicar una rotación de 120°
Rotar un segmento 45° en sentido positivo, respecto a su punto medio, Hallar el transformado del punto A de la siguiente figura

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