CURSO: FISICA I 2010 ELASTICIDAD

CURSO: FISICA I 2010 ELASTICIDAD
optaciano Vásquez UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I ELASTICIDAD AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 Optaciano Vasquez

I. OBJETIVOS Determinar esfuerzos normales de elementos estructurales.
Determinar deformaciones de elementos estructurales Estudiar las propiedades mecánicas de materiales Evaluar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales en el rango elástico. Resolver ejercicios y problemas sobre la unidad

II. INTRODUCCIÓN Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones. El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las construcciones.

II. INTRODUCCIÓN Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones (deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas. Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas.

II. INTRODUCCIÓN Al mismo tiempo, en muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la construcción. La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aquí que el segundo objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.

II. INTRODUCCIÓN El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las construcciones.

III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
Primera suposición: El material debe ser macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse la estructura atomística, discontinua de la materia. Segunda suposición: El elemento se considera homogéneo, es decir tiene propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento

Tercera suposición: El material debe ser isótropo, es decir sus propiedades en todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos materiales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, en el caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícita con cierta aproximación.

Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales son nulas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la misma, y en el concreto armado aparecen durante el fraguado.

Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio de superposición de cargas. Expresa que el efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple : Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las dimensiones del sólido. Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.

Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS
Las fuerzas pueden ser de contacto o fuerzas de cuerpo. Las fuerzas de contacto pueden ser concentradas y distribuidas. Las fuerzas de cuerpo son aquellas que se ejercen entre cuerpos sin existir constando entre cuerpos: Son ejemplos las fuerzas gravitacionales, eléctricas y las magnéticas

Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores (concentradas o distribuidas) tal como se muestra

Para obtener las fuerzas internas se usa el método de las secciones. Es decir se traza un corte imaginario a través de una región específica dentro del cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas y se separa una parte como se muestra

Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución,

Al hacerlo así, la fuerza observe que actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización del punto. De otro lado, si depende de la localización. En general puede escogerse al punto de aplicación de la resultante al centroide del área seccionada.

Las componentes de y según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura, indican la aplicación de cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:

Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.

Momento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra. Momento flexionante (M). Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.

V. ESFUERZO En esta sección se muestra la forma como determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un punto específico sobre el área seccionada Para resolver este problema es necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.

V. ESFUERZO Consideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas ΔA, tal como se muestra en la figura b. La fuerza finita muy pequeña que actúa sobre ΔA es F . Esta fuerza como todas las demás tendrá una dirección única, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos Fn y Ft las mismas que son normales y tangenciales al área respectiva como se ve en la figura c.

V. ESFUERZO Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza o sus componentes también tiende a cero. Sin embargo, el cociente entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.

V. ESFUERZO NORMAL Se define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad de área, actuando perpendicularmente a ΔA. Matemáticamente se escribe. Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la figura se llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” sobre ΔA se denomina esfuerzo de compresión.

V. ESFUERZO CORTANTE Se define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad de área, que actúa tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este esfuerzo se escribe. En la figura se ha descompuesto este esfuerzo en dos componentes una en dirección x y la otra en dirección y

V. COMPONENTES DEL ESFUERZO
Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, se descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son. Las demás componentes se encuentran graficadas en la figura inferior

V. COMPONENTES DEL ESFUERZO
Si se corta al cuerpo en otros planos como los que se muestra, aparecerán esfuerzos normales y cortantes perpendiculares y cortantes

V. Componentes del esfuerzo
xy El primer subíndice indica el que es perpendicular a la superficie y Caso 3D x y z yx El segundo subindice indica la dirección positiva del esfuerzo de corte yz xy z zx zy x xz xy = yx zy = yz zx = xz

COMPONENTES DEL ESFUERZO

VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE
En la figura, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas de tensión P, colineales con el eje centroidal de la barra. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales. Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección transversal a-a, se puede dibujar el DCL de la mitad derecha de la barra como se muestra en la figura. El equilibrio nos indica que en la sección hay una distribución de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza externa P y tiene una línea de acción que es colineal con P. Esta fuerza da origen a un esfuerzo normal

La intensidad media de la fuerza interna por unidad de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como En este capitulo se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un signo positivo si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresión.

Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza la misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura En estas condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación

En general el valor obtenido para el esfuerzo en un punto dado de una sección transversal es diferente al obtenido mediante la ecuación y se encuentra que el esfuerzo varía en la sección. La figura muestra a una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión P y P’, estas variaciones son pequeñas en puntos alejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.

Ejemplo 01 La barra de la figura tiene un ancho y espesor constantes de 35 mm y 10 mm, respectivamente. Determine el esfuerzo normal medio máximo en la barra cuando se le somete a las cargas mostradas

Solución ejemplo 01 En primer lugar se determina las fuerzas internas para ello se usa el método de las secciones y se aplica las ecuaciones de equilibrio como se muestra

Solución ejemplo 01 De la grafica fuerza – distancia se observa que la máxima fuerza que aparece en la barra es de 30 kN El esfuerzo normal medio máximo será Gráficamente el esfuerzo es igual al volumen de las fuerzas distribuidas

Ejemplo 02 La lámpara de 80 kg es soportada por dos barras como se muestra en la figura. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene un diámetro de 8 mm. Determine el esfuerzo normal medio en cada barra

Ejemplo 02 En primer lugar se determina las fuerzas internas en cada una de las barras para ello se traza el DCL del nudo B y se aplica las ecuaciones de equilibrio

Solución del ejemplo 02 Los esfuerzos normales medios en cada barra serán El esfuerzo normal medio en la barra AB se muestra en la figura

Ejemplo 03 El cilindro mostrado en la figura es hecho de acero cuyo peso específico es  = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo de compresión medio actuando en los puntos A y B

Ejemplo 03 En la figura se muestra el DCL de una porción del cilindro cuya sección de corte pasa por A y B. El peso de esta porción es W =  V. Por tanto la fuerza interna en esta sección será

Ejemplo 03 El esfuerzo de compresión medio será

VII. ESFUERZO CORTANTE SIMPLE
Considere un elemento sometido a una carga P como se muestra en la figura. Si los soporte B y D se consideran rígidos y P es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material falle a lo largo de los planos AB y CD. El DCL del segmento central no apoyado mostrado en la indica que una fuerza cortante V = P/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. El esfuerzo cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por

VII. ESFUERZO CORTANTE simple
Las placas unidas por un perno así como las placas pegadas mostradas, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo cortante viene expresado

VII. ESFUERZO CORTANTE simple

VII. ESFUERZO CORTANTE DOBLE
Las placas unidas por un perno, cuya vista transversal se da en la figura, y las placas pegadas mostradas en la 1ig figuras, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V = P/2 y el esfuerzo es .

VII. ESFUERZO CORTANTE DOBLE

VIII. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
El esfuerzo de aplastamiento se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos Interactuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura. El remache ejerce sobre la platina A una fuerza igual y opuesta a la fuerza que ejerce la platina sobre el remache véase figura. En este gráfico es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro d y longitud t igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio para el esfuerzo de aplastamiento σb, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza y el área proyectada del remache en la platina Debido a que esta área es igual a td, donde t es el espesor de la platina y d el diámetro del remache, se tiene.

ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO
Trace un plano que pasa a través del elemento formando un ángulo θ con la normal De las condiciones de equilibrio, las fuerzas distribuidas (esfuerzos) sobre el plano pude ser equivalente a la fuerza P Descomponiendo ala fuerza P en componentes normal y tangencial al plano oblicuo El esfuerzo normal y cortante medios sobre el plano son

Esfuerzos máximos Los esfuerzos normal y cortante sobre el plano olicuo son El esfuerzo normal es máximo cuando el plano de referencia es perpendicular al eje El esfuerzo cortante es máximo cuando el plano forma un ángulo de + 45° con respecto al eje

Esfuerzo último y esfuerzo admisible
El conocimiento de los esfuerzos, el ingeniero lo usa para: El análisis de las estructuras y máquinas existentes, para predecir su comportamiento en condiciones de carga especificado. Diseño de nuevas estructuras y máquinas que cumplirán su función de una manera segura y económica.

Para poder realizar las acciones anteriores debe saber como se comporta el material cuando se le somete a cargas conocidas. Para ello se realiza ensayos de caracterización del material, por ejemplo ensayos de tracción De esta manera se determina la carga última o de rotura (Pu). El esfuerzo último será

De igual forma se pueden realizar ensayos para determinar el esfuerzo cortante último del material, obteniéndose. Un elemento esructural debe dieñarse de tal manera que la carga última sea mucho mayor que la carga de trabajo (carga admisible) o de diseño. Así sólo se utilizará una fracción de la carga última El remanente se deja en reserva para un desempeño seguro

La razó entre la carga última y la carga admisible se le denomina FACTOR DE SEGURIDAD La escogencia de un buen factor de seguridad depende de un buen juicio del ingeniero. Entre otras tenemos: Variaciones en las propiedades de los materiales: composición, resistencia y dimensiones de los elementos. Número de ciclos de trabajo Tipos de cargas que se considera en el disño Tipos de fallas que pueden ocurrir

Incertidumbre debido al método de analisis Deterioro que puede ocurrir en el futuro Importancia del elemento conrespecto a la seguridad

Ejemplo La barra mostrada en la figura tiene una sección transversal cuadrada cuyo ancho y espesor es 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje centroidal de la barra: determine el esfuerzo normal medio y el esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el material en (a) el plano a-a y (b) el plano b-b

Solución La barra se secciona como se muestra en la figura (b) obteniéndose la carga axial igual a P = 800N El esfuerzo normal medio y cortante medio serán La distribución de esfuerzos se muestra en la figura (c).

Solución En la figura se muestra el DCL del elemento seccionado en b-b. Aquí actúan las fuerzas N y V. Aplicando las ecuaciones de equilibrio

Solución O en forma simplificada Resolviendo estas ecuaciones

Solución En este caso el área seccionada tiene un espesor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/sen60°= mm, respectivamente. El esfuerzo normal y cortante serán

Ejemplo 02 El puntal de madera mostrado en la figura se encuentra suspendido de una barra de acero de diámetro de 10 mm, empotrada en la pared. Si el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planos sombreados sobre el puntal, uno de los cuales es abcd.

Solución 02 El perno en su unión a la pared experimenta una fuerza cortante V = 5 kN como se muestra el DCL. El DCL del segmento seccionado del puntal muestra que a través del área actúan dos fuerzas cada una de V = 2,5 kN m

Solución 02 El esfuerzo cortante medio en la barra será.
El esfuerzo cortante del puntal será Los diagramas de los esfuerzos en la barra y en el puntal se muestran en las figuras m

Ejemplo 03 El miembro inclinado en la figura está sometido a una fuerza de compresión de 3000 N. Determine el esfuerzo de compresión medio a lo largo de las áreas de contacto definidas por AB y BC así como el esfuerzo cortante medio a lo largo del plano horizontal definido por EDB

Ejemplo 03 En la figura se muestra el DCL el miembro inclinado mostrado en la figura. Aplicando las ecuaciones de equilibrio Aplicando las ecuaciones de equilibrio al otro diagrama resulta

Solucion 03 Los esfuerzos promedios de compresión a lo largo de los planos horizontal y vertical del elemento inclinado son El esfuerzo cortante que actúa a lo largo del plano horizontal EDB

EJEMPLO Una viga AB se sostiene mediante un puntal CD y soporta una carga P = 3000 lb, como se muestra en la figura. El puntal que consta de dos miembros, se une a una viga mediante un tornillo que atraviesa ambos miembros en la junta C. Si el esfuerzo cortante medio permisible en el tornillo es de psi, ¿Qué diámetro mínimo se requiere para el tornillo?.

Ejemplo El área de la sección transversal de todos los elementos de la armadura que se muestra en la figura es de 500 mm2, mientras que el diámetro de todos los pernos es de 20 mm. Determine: (a) Los esfuerzos axiales en los miembros BC y DE y (b) el esfuerzo cortante en el perno A, suponiendo que está en cortante doble

Ejemplo El dispositivo mostrado en la figura sirve para determinar la resistencia de la madera al esfuerzo cortante. Las dimensiones de la madera son 6 pulg x 8 pulg x 1,5 pulg. Si la fuerza requerida para partirlo es de 12 kips, determine la resistencia promedio de la madera al esfuerzo cortante

Ejemplo La sección transversal del punzón y la matriz de la figura es un círculo de una pulgada de diámetro. Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el espesor d la placa es t = 1/8 pulg. Determine el esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de la trayectoria del punzón

Ejemplo Dos tubos de hierro de fundición se unen con adhesivo en una longitud de 200 mm. El diámetro externo de cada tubo es de 50 mm y 70mm, y el espesor de su pared es de 10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de 100 kN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio en el adhesivo justo antes de la separación?.

Ejemplo Un cilindro está sostenido por una barra y un cable, tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene una masa de 100 kg y un radio de 100 mm. Determine: (a) El esfuerzo axial medio en el cable de acero CD de 5 mm de diámetro; (b) El diámetro mínimo requerido para el seguro A si el esfuerzo cortante en el seguro debe limitarse a 15 MPa. El seguro A está a cortante doble.

Ejemplo La viga está soportada por un pasador A y un eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador B que tiene un diámetro de 20 mm y está sometido a cortante doble.

Ejemplo Un empalme en madera se fabrica con adhesivo como se muestra en la figura. La longitud de la región pegada es L = 4 pulg y el espesor de la madera es de 3/8 pulg. Determine el esfuerzo de corte promedio en el adhesivo.

Ejemplo Un empalme en madera se fabrica con adhesivo como se muestra en la figura. La unión transmite una fuerza P = 20kips y tiene las siguientes dimensiones L = 3 pulg, a = 8 pulg y h = 2 pulg. Determine el máximo esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante en el adhesivo.

Ejemplo Calcule el esfuerzo de compresión en la biela mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P = 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la línea de acción de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras dimensiones ilustradas se miden perpendicularmente a la línea de acción de la fuerza P.

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