Lógica Formal Roberto Moriyón.

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1 Lógica Formal Roberto Moriyón

2 Introducción El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios. Hay varios sistemas lógicos formales que son capaces de formalizar cualquier razonamiento válido. Un sistema lógico formal se puede ver como un sistema formal deductivo universal, en el mismo sentido que las máquinas de Turing universales.

3 Esbozo histórico En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó los distintos tipos de razonamiento. En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron la importancia de estudiar las ideas asociadas a cada afirmación lógica (su interpretación). También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitz destacaron los aspectos algebraicos de la manipulación formal de las fórmulas lógicas.

4 Esbozo histórico, II En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización de variables y cuantificadores para representar fórmulas lógicas; Peano dio la primera axiomatización de la aritmética, y Peirce introdujo la lógica de segundo orden. A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso un programa para demostrar la consistencia de las Matemáticas en base a una axiomatización de ellas. Posteriormente, Gödel demostró que esto era imposible.

5 Esbozo histórico, III A lo largo del siglo XX se han desarrollado particularmente lógicas especiales (modal, temporal, etc) y lógicas relacionadas con la teoría de la computación (Cálculo  con tipos, lenguajes de programación lógicos, etc)

6 Lógica proposicional Sistema formal deductivo que genera fórmulas proposicionales basadas en afirmaciones atómicas que pueden ser verdaderas o falsas. Alfabeto: Atomos: P, Q, R, P’, Q’, R’, P’’, … Operaciones lógicas: ^, v, , ~ Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadores especiales y obligatorios, < y >, para desambiguar la gramática] Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P, ~Q  (Q  P) 204

7 Operadores lógicos X Y X^Y XvY XY T F

8 Operadores lógicos: Significado de XY
En principio, el significado de XY es “si X es cierto, entonces Y también es cierto”. Por lo tanto su tabla de verdad será como sigue: X Y XY T F ?

9 Operadores lógicos: Significado de XY, II
Ejemplos con cuantificador universal: Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es par x,(impar(x)  par(x+1)) Para todos los números x, si x es impar, entonces x+x es par x,(impar(x)  par(x+x)) Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es impar x,(impar(x)  impar(x+x))

10 Operadores lógicos: Significado de XY, III
i(x) p(x+1) p(x+x) i(x+x) i(x)p(x+1) i(x)p(x+x) i(x)i(x+x) F T ? 1 2 3 4 5

11 Operadores lógicos: Significado de XY, IV
Para que los ejemplos anteriores tengan contestaciones razonables hay que interpretar que la implicación XY es cierta si “Si X es cierto, entonces Y también. Si X no es cierto, da lo mismo que se verifique Y o no”. (X ^ Y) v ~X Esta definición es consistente en general con la definición de implicaciones en la Lógica de Predicados.

12 Lógica proposicional: Interpretaciones
Una interpretación I de una fórmula F es una asignación de un valor lógico PI (True o False) a cada átomo P de F. La interpretación asigna un valor lógico a la fórmula utilizando las tablas de los distintos operadores. Una fórmula es cierta en una interpretación si le corresponde el valor True mediante ella. La tabla asociada a una fórmula tiene una interpretación en cada fila.

13 Interpretaciones en el mundo real
Normalmente las fórmulas lógicas se interpretan a un primer nivel haciendo corresponder a cada símbolo proposicio-nal una afirmación (por ejemplo, llueve o los eliomartos rusitan). La interpretación se completa mediante una imagen del universo en la que cada una de las afirmaciones asociadas a los símbolos proposicionales es cierta o falsa.

14 Lógica proposicional: Interpretaciones, II
~Q(QP) P Q ~Q QP ~Q(QP) T F

15 Lógica proposicional: Interpretaciones, III
Dada una asignación de valores booleanos a átomos, la función que a cada fórmula le hace corresponder su interpretación se puede definir de forma recursiva utilizando las reglas IntI[F^G]  IntI[F]^IntI[G] IntI[FvG]  IntI[F]vIntI[G] IntI[FG]  IntI[F]IntI[G] IntI[~F]  ~IntI[F] (morfismo entre fórmulas y valores booleanos)

16 Lógica proposicional: Interpretaciones, IV
Ejemplo: Si PI True y QIFalse, IntI[P^~QQ]  IntI[P^~Q]QI   (PI^~QI)QI  True

17 Fórmulas satisfactibles y tautologías
Una fórmula es satisfactible si es cierta en alguna interpretación. Ejemplos: QP, Q  (Q  P) Una fórmula es una tautología si es cierta en todas las interpretaciones. Ejemplos: Qv~Q, ~Q  (Q  P) Nota: En lo sucesivo, al igual que se suele hacer con las expresiones aritméticas, pondremos paréntesis cuando ello aclare o desambigüe la lectura de las fórmulas.

18 Fórmulas satisfactibles y tautologías en el mundo real
Cualquier fórmula lógica satisfactible, en cualquier universo de interpretación asociado, tiene una interpretación en la que es cierta. Pero puede que no sea la interpretación natural en ese universo. Cualquier tautología lógica, en cualquier universo de interpretación asociado, es cierta en todas sus interpretaciones.

19 Interpretaciones: Representación intuitiva
Es la función característica de un semianillo que contiene a todas las tautologías y contiene uno de los radios que lo limitan. No contiene a ninguna fórmula insatisfactible. M

20 Tautologías e insatisfactibilidad
Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-tible, es decir si no es cierta en ninguna interpre-tación. Ejemplos: Q^~Q (contradicción), ~(~Q  (Q  P)) En general, la negación de una tautología es una fórmula insatisfactible y viceversa. Tautologías Insatisfactibes Satisfactibles

21 Consecuencias de familias de fórmulas
Diremos que una fórmula F es consecuencia de un conjunto de fórmulas A (axiomas), y lo escribiremos AF, si toda interpretación que hace ciertas todas las fórmulas de A también hace cierta F. Ejemplo 1: si F es una tautología, entonces es consecuencia de cualquier conjunto de axiomas Ejemplo 2: La proposición ~FG es consecuencia del axioma F.

22 Consecuencias de familias de fórmulas, II
Los problemas típicos de razonamiento consisten en hallar las consecuencias de unos axiomas dados, o en demostrar que una fórmula concreta lo es.

23 Consecuencias: Representación intuitiva
Es la intersección de todos los semianillos que contienen a A asociados a interpretaciones.  A

24 Consecuencias: Representación intuitiva, II
Otro ejemplo: 

25 Consecuencias: Representación intuitiva, III
Un ejemplo más: Las consecuencias incluyen alguna fórmula insatisfactible 

26 Consecuencias: Representación intuitiva, IV
Si hay alguna fórmula insatisfactible entre las consecuencias de un conjunto de axiomas, entonces todas las fórmulas son consecuencia de ellos. Demostración: Todas las fórmulas son consecuencia de cualquier fórmula insatisfactible, pues no hay ninguna interpretación en la cual ésta sea cierta.

27 Consecuencias: Caso particular
Las fórmulas que son ciertas en una interpretación concreta forman un conjunto de axiomas cuyas consecuencias son ellas mismas. Estos conjuntos de fórmulas son conjuntos satisfactibles maximales.

28 Criterio para reconocer consecuencias
Para ver si una fórmula F es consecuencia de un conjunto finito A de axiomas se pueden emplear tres procedimientos: Formar una tabla con los valores lógicos de los axiomas y de F y examinar sus filas. Demostrar que A1^A2^…^ANF es una tautología. Demostrar que toda interpretación que hace ciertos los axiomas también hace cierta F. Los emplearemos para ver que ((~PvQ)R) es consecuencia de {P, QR}.

29 Consecuencias de familias de fórmulas, III
P Q R QR (~PVQ)R T F

30 Consecuencias de familias de fórmulas, IV
{F1, F2}  F  (F1 ^ F2)  F tautología (P ^ (QR))  ((~PvQ)R)  ~P v (Q^~R) v ((P ^ ~Q) v R)  ~P v (Q^~R) v ((P v R) ^ (~Q v R))  (~P v (Q^~R) v P v R) ^ (~P v (Q^~R) v (~Q v R)) es tautología, luego {P, QR}  ((~PvQ)R)

31 Consecuencias de familias de fórmulas, V
Suponemos que en la interpretación I, PI y QIRI son ciertas Es cierto que entonces (~PIvQI)RI? Primer caso: PI=True, QI=False. Entonces, ((~PIvQI)RI)=True, pues ~PIvQI=False. Segundo caso: PI=True, QI=True, RI=True. Entonces, ((~PIvQI)RI)=True, ya que RI=True.

32 Consecuencias de familias de fórmulas, VI
El conjunto de axiomas aceptados puede ser infinito. Entonces los dos primeros procedimien-tos no sirven. Ejemplos: A=(P)*Q es un conjunto infinito recursivo de fórmulas. AQ^(PQ). El patrón PP define otro conjunto infinito recursivo A’ de fórmulas. Todas ellas son tautologías. A’F si F es cualquier tautología.

33 Consecuencias de familias de fórmulas, VII
Una fórmula F es una tautología si y sólo si F. Una fórmula F es insatisfactible si y sólo si ~F.

34 Consecuencias de familias de fórmulas: Ejercicio obligatorio
[CONSPROC] Demostrar por cada uno de los procedimientos dados lo siguiente: F  (Yv~X)  Y es consecuencia de A={~Y, X} G  (~Y^X)  Y no es consecuencia de A={~Y, X}

35 Ejercicios opcionales
[PROGVER] Escribir un programa que comprueba la veracidad de fórmulas con respecto a una interpretación. [PROGSAT] Escribir un programa que determina si una fórmula es satisfactible y si es una tautología. [PROGCONS] Escribir un programa que determina si una fórmula proposicional es consecuencia de otras.

36 Ejercicio obligatorio
[CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al 3 dos están vacías y la otra no. Además, una de las afirmaciones “La primera caja está vacía”, “La segunda caja está vacía” y “La segunda caja está llena” es cierta y las otras dos no. Demostrar cuál de las tres cajas está llena y demostrar que las otras dos cajas no lo están.

37 Ejercicios opcionales
[AB] Demostrar que no se pueden colorear tres objetos A, B y C en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco [TT] Demostrar que el siguiente razonamien-to es correcto: Si la temperatura y la presión no cambian, no llueve. La temperatura no cambia. Como consecuencia de lo anterior, si llueve entonces la presión cambia.

38 Ejercicio opcional [FOTO] Deducir que la foto es de Juan como consecuencia de los siguientes axiomas: La foto es redonda o cuadrada La foto es en color o en blanco y negro Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro Si la foto es redonda, entonces es digital y en color Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es un retrato Si la foto es un retrato entonces es de Juan

39 Ejercicios opcionales
[UNIC] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio : Si es mítico, entonces es inmortal Si no es mítico, es un mamífero mortal Si es inmortal o mamífero, entonces tiene cuernos Si tiene cuernos es mágico Como consecuencia de todo ellos es mítico? Es mágico? Tiene cuernos?

40 Ejercicios opcionales
[GR1] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que: Alceo dice “los únicos que decimos la verdad aquí somos Cátulo y yo” Safo dice “Cátulo miente” Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo miente”

41 Ejercicios opcionales
[GR2] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que: Anaximandro dice “Heráclito miente” Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no mienten” Heráclito dice “Parménides no miente”

42 Razonamiento El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en encontrar las consecuencias de un conjunto de fórmulas.

43 Razonamiento, II Se puede razonar considerando todas las fórmulas y todas las interpretaciones y calculando los valores booleanos corres-pondientes para ver qué fórmulas son consecuencia de los axiomas, pero este algoritmo es inadecuado, especialmente si se incrementa la capacidad expresiva del lenguaje lógico y se permiten razonamientos sobre objetos (Lógica de Predicados) o si se utiliza un conjunto infinito de axiomas.

44 Razonamiento, III Es preferible dar un algoritmo que propor-cione directamente las fórmulas que son consecuencia de unos axiomas dados. Se hará mediante un sistema formal (un cálculo lógico) formado por reglas de inferencia o de deducción. En este sistema, una fórmula P se deduce de un conjunto A de axiomas si y sólo si es consecuencia de ellos (es decir, AP sii AP).

45 Deducción Una deducción es una sucesión de fórmulas, cada una de las cuales se obtiene a partir de las anteriores mediante una regla formal de deducción. En una regla de deducción XY, X e Y son fórmulas lógicas que verifican que X  Y. Eso hace que al generar cualquier fórmula X1X2…XN automáticamente se tenga que X1  XN.

46 Deducción, II Si las fórmulas iniciales (hipótesis o axiomas) de una deducción son ciertas en una interpretación I, entonces también lo son todas las fórmulas deducidas (consecuencias). El sistema formal de deducción que utilizaremos será completo en el sentido de que producirá todas las fórmulas que son consecuencia de un conjunto dado de axiomas.

47 Ejemplo de deducción Axiomas: - Si llueve está nublado.
- Si está nublado hace frío. - Llueve. Demostrar que hace frío.

48 Ejemplo de deducción, II
Los axiomas anteriores se pueden representar mediante fórmulas como sigue: L representa “llueve” N representa “está nublado” F representa “hace frío” Axiomas: A = { LN, NF, L }

49 Ejemplo de deducción, III
De L y LN se deduce N De N y NF se deduce F Observaciones: La deducción anterior aplica una única regla formal (modus ponens): ,   . La deducción anterior es correcta indepen-dientemente de la interpretación de L, N y F.

50 Ejemplo de deducción, IV
Observaciones: El modus ponens, ,    permite que las implicaciones se utilicen como reglas que se pueden aprender al razonar. Las variables con letras griegas son fórmulas

51 Agrupamiento de fórmulas deducidas
Agrupamiento conjuntivo: ,    ^  Disociación conjuntiva:  ^     ^    Conmutatividad conjuntiva:  ^    ^  (se podría haber evitado dejando las anteriores)

52 Ejemplo de deducción, V Axiomas: - Si llueve está nublado.
- Si está nublado hace frío. Demostrar que si llueve hace frío.

53 Ejemplo de deducción, VI
Suponemos por un momento que L es cierto. Entonces, según hemos visto, se deduce F. De lo anterior y de los axiomas se deduce que LF. La deducción anterior aplica una regla formal nueva (deducción de implicación): ,   () Esta regla permite construir reglas nuevas, de modo análogo a lo ya visto al estudiar los sistemas formales en general.

54 Ejemplo de deducción, VII
Axiomas: - Si llueve está nublado o hay arco iris. - Si está nublado hace frío. - Si hay arco iris está bonito. Demostrar que si llueve, o bien hace frío o está bonito. Símbolos nuevos de predicado: A (hay arco iris), B (está bonito).

55 Ejemplo de deducción, VIII
Suponemos por un momento que L es cierto. Como L(N v A), por Modus Ponens se deduce NvA. Suponemos por un momento que ~F^~B es cierto. Entonces ~F y ~B son ciertos. Además, como NF, ~F~N. Análogamente, ~B~A. De ~F y ~F~N se deduce ~N. De ~B y ~B~A, resulta ~A. De lo anterior se deduce que ~N^~A es cierto.

56 Ejemplo de deducción, IX
Por la regla de deducción de implicación, ~F^~B~N^~A De lo anterior se deduce que NvAFvB. Por el Modus Ponens, FvB es cierto. Por la regla de deducción de implicación, LFvB.

57 Ejemplo de deducción, X Se han utilizado cinco reglas nuevas:
  ~~ A~^~B  A~(v)B [A, B cualesquiera] A~~B  AB

58 Equivalencia Las implicaciones son reglas que se aplican a fórmulas completas, pero no a partes de ellas: XAY, AB  XBY no es una regla. Por ejemplo, de ~(A^C) y AB no se deduce ~(B^C), aunque de A y AB se deduce B. Caso particular: Aes de día, Ces de noche, Bse trabaja. Sin embargo, si P y Q son equivalentes, se pueden intercambiar dentro de cualquier fórmula. Ejemplo: No solamente ~~A  A, sino que X~~AY  XAY. Caso particular: el de antes, con Bhay luz.

59 Lógica proposicional: Reglas de inferencia
Agrupamiento conjuntivo: ,    ^  Disociación conjuntiva:  ^     ^    Conmutatividad disyuntiva (equivalencia): AvB  AvB Doble negación (equivalencia): A~~B  AB AB  A~~B [si bien form] Modus ponens (emulación universal): ,   

60 Lógica proposicional: Reglas de inferencia, II
Equivalencias de De Morgan: A~^~B  A~(v)B A~(v)B  A~^~B Equivalencia de implicaciones a disyunciones: A~vB  AB AB  A~vB Deducción de implicaciones a partir de inferencias: A,  A (recuérdese que en todo sistema formal se pueden incorporar reglas para la relación ). Esta regla permite la construcción dinámica de reglas de deducción. Ejemplo: Teoremas.

61 Lógica proposicional: Reglas de inferencia, III
El sistema se puede completar con más reglas para hacer más simple la generación de deducciones Por ejemplo,    v  Para ello hay que demostrar el patrón de teorema    v 

62 Lógica proposicional: Reglas de inferencia, IV
En general, si F y G son dos fórmulas y FG, entonces al añadir la regla FG a las reglas de nuestro sistema deductivo obtenemos otro sistema equivalente al inicial. En general, cada deducción de un patrón de teorema puede dar a una regla.

63 Lógica proposicional: Reglas de inferencia, V
Otro ejemplo:   ~~ (se ha utilizado en los ejemplos previos de deducciones) Veremos más adelante que es consecuencia de las reglas anteriores

64 Axiomas El sistema formal anterior no tiene axiomas
La regla de deducción de implicación a partir de inferencia nos da tautologías que se pueden ver como axiomas universales: ,   ^    ^ , ^      ^ , ~v      ~v() Se pueden construir a partir de deducciones cualesquiera

65 Ejemplos simples de deducción
~(P^Q)  ~(~~P^Q)  ~(~~P^~~Q)   ~~(~Pv~Q)  ~Pv~Q La forma habitual de escribirla es: ~(P^Q) ~(~~P^Q) [Doble negación 2] ~(~~P^~~Q) [Doble negación 2] ~~(~Pv~Q) [De Morgan 1] ~Pv~Q [Doble negación 1]

66 Ejemplos simples de deducción, II
Si ~(P^Q) es cierto, también lo es ~Pv~Q Observación: P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera. La regla ~(^)  ~ v~ se puede incluir como regla de deducción para completar el sistema utilizado.

67 Ejemplos simples de deducción, III
~Pv~Q ~~(~Pv~Q) [Doble negación 2] ~(~~P^~~Q) [De Morgan 2] ~(P^~~Q) [Doble negación 1] ~(P^Q) [Doble negación 1] ~Pv~Q  ~(P^Q) ~Pv~Q~(P^Q) es una tautología Observación: P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera. La regla ~v~  ~(^) se puede incluir como regla de deducción para completar el sistema utilizado.

68 Ejemplos simples de deducción, III
PQ ~PvQ [Equiv. Impl. Disy. 2] Qv~P [Conmut. Disy.] ~~Qv~P [Doble negación 2] ~Q~P [Equiv. Impl. Disy. 1] P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera.

69 Ejemplos simples de deducción, IV
P  P v Q P /***** Por reducción al absurdo: *****/ /***** ~(P v Q)  ~P ^ ~Q  ~P *****/ /***** Contradicción! *****/ ~(P v Q)~P [Deducc. Impl. Inferencia] PP v Q [Ejemplo anterior] P v Q [Modus ponens] En lugar de comentario se ponen corchetes P y Q se pueden sustituir … La regla    v  se puede incluir …

70 Deducción: Representación intuitiva, II
Contiene a todas las tautologías Forman un conjunto radial (si contiene un punto, contienen todo su radio) y conexo (si contiene dos radios, contiene todos los intermedios) Si contiene dos radios opuestos, contiene todas las fórmulas (consecuencia de que F^~F  G) Si contiene una fórmula insatisfactible, contiene todas las fórmulas (consecuencia de lo anterior)

71 Ejemplo de demostración
(p(qr))((pq)(pr)) Estrategia: demostrar implicación mediante deducción [ p(qr) p(qr) [ pq qr [ p r] pq pr] q (pq)(pr)] P y Q se pueden sustituir …

72 Ejemplo de demostración, II
(pq)((qr)(pr)) Demostrar implicación mediante deducción [ pq q [ qr qr pq r] [ p pr] pq (qr)(pr)] P y Q se pueden sustituir …

73 Ejemplo de demostración, III
(pq)v(rp) [ ~(pq) ~(~p v q) ~~p ^ ~q p^~q p … pv~r … rp] ~(pq)(rp) P y Q se pueden sustituir …

74 Ejemplo de demostración, IV
((PQ)^(~PQ))Q [ (PQ)^(~PQ) [ ~Q // red. abs. PQ P // (sim) ~PQ Q] // (sim) !!! ~Q~P ~QQ ~QP Q] // Ver prox ej. P y Q se pueden sustituir …

75 Ejemplo de demostración, V
P v P  P P v P ~~(P v P) ~(~P ^~P) [ ~P // Reducción al absurdo ~P^~P] // Contradicción ~P~P^~P ~(~P^~P)~~P ~~P P P se puede sustituir … La regla  v    se puede incluir …

76 Ejemplo de demostración, VI
P^~PQ P^~P P ~P [ ~Q // Reducción al absurdo ~P] // Contradicción ~Q~P PQ Q P y Q se pueden sustituir … La regla ^~  se puede añadir …

77 EJERCICIOS OBLIGATORIOS
1. [LL] Damos por válidos los siguientes hechos: Si hace calor y está húmedo, entonces está lloviendo Si está húmedo, entonces hace calor Está húmedo Deducir a partir de lo anterior que está lloviendo 2. Demostrar la validez de lo siguiente: [PR1] P v (P ^ Q)  P [PR2] ~(PQ)  (P^~Q) [PR3]((X^Y)Z)(X(YZ)) [PR4]((PQ)^(QR))(PR) [PR5] (P v Q) ^ (~Q v R)  (P v R)

78 Ejercicios Opcionales
[PROGD1] Escribir un programa que hace deducciones lógicas a partir de un conjunto de axiomas. [PROGD2] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas a partir de un conjunto de axiomas.

79 Ejercicio obligatorio
[OBJSD] Suponiendo que tres objetos A, B y C están coloreados en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco, deducir de ello una contradicción

80 Ejercicios obligatorios
[TD] Demostrar mediante una deducción que ((P  (Q v R)) ^ ~(Q v R))  ￢ P es una tautología [CD] Deducir una contradicción a partir de ((P v Q)  ~R) ^ (~R v (Q v P))

81 Ejercicio opcional [LLD] Deducir que si llueve entonces la presión cambia a partir de los axiomas siguientes: Si la temperatura y la presión no cambian, no llueve La temperatura no cambia

82 Ejercicio opcional [FOTOD] Deducir que la foto es de Juan a partir de los siguientes axiomas: La foto es redonda o cuadrada La foto es en color o en blanco y negro Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro Si la foto es redonda, entonces es digital y en color Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es un retrato Si la foto es un retrato entonces es de Juan

83 Ejercicio opcional [UNICD] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio : Si es mítico, entonces es inmortal Si no es mítico, es un mamífero mortal Si es inmortal o mamífero, entonces tiene cuernos Si tiene cuernos es mágico Se deduce de todo ello que es mítico? Que es mágico? Que tiene cuernos?

84 Ejercicio opcional [GRD1] Demostrar mediante una deducción quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que: Alceo dice “los únicos que decimos la verdad aquí somos Cátulo y yo” Safo dice “Cátulo miente” Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo miente”

85 Ejercicio opcional [GRD2] Demostrar mediante una deducción quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que: Anaximandro dice “Heráclito miente” Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no mienten” Heráclito dice “Parménides no miente”

86 Observaciones, I En general, en la Lógica Proposicional, en toda tautología se puede sustituir cualquier variable proposicional por una fórmula arbitraria, siempre y cuando la sustitución se haga en todas partes, y el resultado de la sustitución es otra tautología.

87 Observaciones, II En lo que queda de curso, constantemente haremos razonamientos informales acerca de la forma en que se hacen deducciones formales. Parte de estos razonamientos informales se podrán formalizar mediante deducciones, pero siempre habrá dos niveles de deducción presentes, uno de los cuales se refiere al otro.

88 Teorema de coherencia de la lógica proposicional
Teorema de coherencia: Si una fórmula F se deduce a partir de un conjunto A de axiomas, entonces es consecuencia de A. Demostración: Es una consecuencia obvia del hecho de que todas las reglas, que tienen la forma AF, verifican que AF.

89 Recordatorio: Consecuencias: Representación intuitiva


90 Teorema de coherencia: Representación intuitiva


91 Teorema de completitud de la Lógica Proposicional
Teorema de completitud: Si una fórmula F es consecuencia de un conjunto A de axiomas, entonces se deduce de A. La demostración se dará más adelante. Se demostrarán como pasos intermedios dos casos particulares.

92 Recordatorio: Consecuencias: Caso especial
Las consecuencias incluyen fórmulas insatisfactibles 

93 Calculo proposicional: Consistencia
Definición: Un conjunto de proposiciones es consistente si de él no se deduce ninguna proposición contradictoria de la forma F^~F. Por ejemplo, {PQ, P^~Q} es inconsistente. A es inconsistente si y sólo si todas las propo-siciones lógicas se deducen a partir de A. Demostración: Suponemos A  F^~F. Según el ejemplo VI de demostración que hemos visto, dada cualquier proposición G, F^~FG. Por lo tanto, AG.

94 Consistencia: Representación intuitiva
Caso en que las formulas deducidas no incluyen contradicciones 

95 Inconsistencia: Representación intuitiva
Caso en que las formulas deducidas incluyen contradicciones 

96 Caso particular obvio del Teorema de Completitud
Si un conjunto de axiomas es inconsistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él Demostración: Todas las fórmulas se deducen de él

97 Teorema De Completitud: Segundo caso a estudiar
Si un conjunto de axiomas es consistente maximal, entonces todas sus consecuencias se deducen de él. Demostración (pendiente): Es un conjunto satisfactible maximal, por lo que todas sus consecuencias pertenecen a él.

98 Teorema De Completitud: Segundo caso a estudiar, II
Todo conjunto de fórmulas consistente maximal es el conjunto de fórmulas ciertas en una interpretación Demostración: La interpretación tiene que ser I(F)  FA Tenemos que ver que I(~F)  ~I(F) I(F^G)  I(F)^I(G)

99 Teorema De Completitud: Segundo caso a estudiar, III
I(~F)=~I(F)  FA  ~FA Como A es consistente, FA  ~FA FA  A~F (si no, A no sería maximal)   A{~F} consistente  ~FA. I(F^G)=I(F)^J(G)  F^GA  FA ^ GA F^GA  FA (si no, A no sería maximal, pues F^GF) FA, GA  F^GA (si no, A no sería maximal, pues F, GF^G)

100 Teorema De Completitud: Caso general
Si un conjunto de axiomas es consistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él. Demostración: Si F no se deduce de A, A{~F} es consistente (pendiente de ver), por lo que A{~F} está contenido en un conjunto consistente maximal (pendiente de ver) y entonces hay una interpretación en la que todas las fórmulas de A son ciertas y F es falsa

101 Teorema De Completitud: Final de la demostración, I
Si la fórmula F no se deduce de un conjunto A de axiomas, entonces A{~F} es consistente Demostración: Si A{~F} fuera inconsistente, entonces A{~F}  Gv~G  F luego tendríamos que A  ~FF  F

102 Teorema De Completitud: Final de la demostración
Si A es consistente, entonces está contenido en un conjunto satisfactible maximal de proposiciones. Demostración: Si {Fj | j0} es una numeración de todas las proposiciones, se van añadiendo a A consecutivamente Fj o ~Fj si con ello sigue siendo consistente (con uno de ellos lo es por la consistencia del conjunto previo y por la consideración anterior). El conjunto resultante es consistente maximal.

103 Consecuencia: Teorema de satisfactibilidad
Teorema: Todo conjunto consistente de fórmulas A es satisfactible Demostración: Si A es un conjunto consistente maximal ya lo hemos demostrado. Si no lo es, está contenido en otro conjunto M que sí es consistente maximal. Entonces la interpretación que satisface M también satisface A.

104 Relación entre los Teoremas de completitud y satisfactibilidad
Enunciados equivalentes del Teorema de satisfactibilidad: Si A es insatisfactible, entonces es inconsistente Si A tiene como consecuencia alguna contradicción, ésta se deduce a partir de A

105 Hipótesis necesarias en el teorema de Completitud
Las propiedades del sistema formal de deducción utilizadas en la demostración del Teorema de Completitud son las siguientes: F^~F  G F, G  F^G; F^G  F; F^G  G ((A, F)  G)  (A  (FG)) (~FF)  F F v G  ~(~F^~G) F  F v G; G  F v G F, FG  G Cualquier sistema formal deductivo que cumpla estas condiciones puede sustituir al que hemos utilizado.

106 Lógica proposicional: Cálculo frente a satisfactibilidad
En la práctica, la determinación de teoremas en base a un cálculo lógico como el descrito es un problema de búsqueda en un árbol, por lo que puede ser más ineficiente que en base al cálculo directo de todas las interpretaciones posibles y la interpretación correspondiente del supuesto teorema. En la lógica de predicados no se pueden utilizar tablas de verdad y habrá que recurrir a un cálculo lógico del tipo del anterior.