LA PROBABILIDAD DE PASCAL A LAPLACE

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1 LA PROBABILIDAD DE PASCAL A LAPLACE
25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Lo cotidiano que resulta el pasar de los días en la vida del hombre, en ocasiones, le impide reflexionar el porque ocurrió un determinado suceso y no ocurrió otra cosa. Cuando se intenta explicar algún acontecimiento se opta por tomar vías deterministas y en otras ocasiones tratar de buscar esta explicación bajo un marco racional, que permita dar una repuesta acorde a los conocimientos actuales del hombre. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Desde tiempos antiguos, el hombre ante los acontecimientos que se le sucedían no encontraba otra explicación más que la existencia de seres superiores que regían la vida del hombre, y que bastaba con lograr un “comunicación” u obtener señales de ellos para saber que sucedería en el futuro, como por ejemplo el obtener buenas cosechas, lluvias, el alivio de una enfermedad, etc. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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La caída del imperio Romano en el año de 476 D. C:, marca el inicio de la Edad Media en Europa, que si se compara con los avances anteriores de la cultura griega y la cultura árabe en el área de las matemáticas, no fue tan notable, se debe señalar que en ese periodo Europa se vio azotada por la llamada “Peste Negra”; que mermó en gran número la población (en un tercio la mundial y la mitad de los habitantes de Europa) en ese tiempo y que causó una gran conmoción tanto física como espiritual. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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La Edad Media termina históricamente en el año 1453, con la caída Constantinopla y es cuando da inicio la etapa conocida como el Renacimiento. Esta etapa se caracterizo por el estudio de la antigüedad clásica grecolatina en los países de Europa, principalmente en Italia, Francia, España y Alemania. También en esa época se fabrica la primera Imprenta que serviría para lograr una mayor difusión del conocimiento en todas sus áreas. A partir de esta etapa el avance de las ciencias ha sido en forma constante. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Pero todo esto que se menciona, ¿que tiene que ver con la probabilidad?, la relación se da a partir de que en esta etapa histórica (Renacimiento) se comienza a tratar de dar una explicación racional a la posibilidad de que sucedieran ciertos eventos, se parte de preguntas que van desde simples cuestiones de juegos de azar hasta preguntas mas complejas. A partir del siglo XVII se dan los primeros intentos por explicar por que X y no Y cosa sucede, es decir, porque es mas probable que suceda X y no Y, pero ahora tratando de dar una explicación analítica. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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alrededor del año 1650 y sugerido por los juegos de azar (de dados, de cartas y del lanzamiento de monedas), se plantea la cuestión de determinar la probabilidad de ganar una partida o juego. Blas Pascal y Pierre de Fermat esquematizaron sobre estas cuestiones y dieron en 1654 una de las primera definiciones de probabilidad 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Blas Pascal ( ), nació en Francia y fue un gran matemático que abandono esta ciencia por la teología, fue un niño prodigio de las matemáticas, el padre de Blas Pascal había mostrado ya una fuerte vocación matemática y de hecho el caracol de Pascal, es una curva llamada así en honor al padre de Pascal, Etienne. A los doce años Blas Pascal mostró un alto grado de inteligencia en el área de la geometría. A los 18 años cambió de tema de estudio y se dedico a diseñar una maquina calculadora; que en pocos años construyó y vendió una cincuenta maquinas. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Una de las diversas áreas de estudio de interés para Pascal, fue la probabilidad, mientras se encontraba trabajando en su “Cónicas” en 1654, Su amigo el caballero de Méré le planteo lo siguiente: En ocho lanzamientos sucesivos de un dato intenta obtener un uno, pero el juego se interrumpe después de tres intentos fallidos. ¿En que proporción ha de ser compensado el jugador? 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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A partir de esta simple pregunta Pascal escribió a Fermat ( ) sobre este problema y la correspondencia intercambiada constituyó un verdadero punto de partida para la teoría de las probabilidades. Aunque Fermat fue un abogado francés, encontró tiempo para dedicarse al área de las matemáticas, es famoso por su último gran teorema en el que menciona que no existe ningún cubo que pueda descomponerse en dos cubos, 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Formulando la proposición general de que para n>2 no hay números enteros positivos x y z tales que Y escribió que ya había descubierto la demostración, demostración que por más que se le buscó no se encontró, si no hasta el año de 1993, y con esto se terminó los 300 años de espera que significo el encontrar la demostración a este teorema. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Aunque Pascal y Fermat no expusieron sus resultados por escrito, Christiaan Huygens, físico y matemático holandés ( ), publicó en 1657 un breve tratado titulado De ratiociniss in ludo aleae (Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados) inspirado en la correspondencia de estos dos matemáticos franceses, para esto Pascal había relacionado el estudio de la probabilidades con el triángulo aritmético. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

14 El triángulo aritmético es el siguiente:
1 2 3 4 5 6 10 20 15 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Aquí se puede observar que la relación que le dio Pascal a la teoría de probabilidades con el triángulo aritmético, fue el de una distribución de probabilidades. La definición de probabilidad en un inicio, se consideraba un cierto número de casos posibles, número que variaba de un experimento a otro, y se admitía que los diversos casos posibles fueran todos equiprobables e independientes de la voluntad del lanzador, y la probabilidad se admitía como el cociente de casos favorables entre casos posibles. Es decir P= n/N N Casos posibles n Casos favorables. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad, destacan en 1713 el Teorema de Bernuolli y la distribución binomial, el teorema se debe su nombre al de la celebre familia de los Bernoulli cuyos miembros lograron destacar tanto en matemáticas y física. Uno de ello Jacques Bernoulli ( ), realizó estudios sobre la teoría de la probabilidad y escribió un tratado ya clásico, titulado Arte de la Conjetura, publicado 1713, ocho años después de la muerte del autor.   25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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es considerado como el primer volumen importante sobre la teoría de las probabilidades. Este tratado consta de cuatro partes, la primera es una reproducción del tratado de Huygens junto con el comentario correspondiente de Bernoulli, en la segunda parte incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones que viene facilitada por el teorema binomial y multinomial, aquí hace la primera demostración correcta del teorema binomial para exponentes enteros. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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La tercera y cuarta parte del Ars Conjectandi aborda principalmente problemas que ilustran la teoría de probabilidades. En particular en la cuarta contiene el teorema que lleva el nombre del autor y sobre el cual mantuvieron correspondencia Bernoulli y Leibniz, la llamada “Ley de los Grandes Números”. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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La teoría de probabilidades contó con una gran cantidad de personas que se dedicaron a su estudio, durante los comienzos del siglo XVIII, entre los cuales uno de los mas importantes fue Abraham De Moivre, matemático francés ( ), salió de Francia ante la revocación del Edicto de Nantes, viajo a Inglaterra e hizo amistad con Newton y Halley, además de dedicarse a dar clases particulares, en 1711 público la Philosophical Transactions, una larga memoria sobre las leyes del azar, que posteriormente amplio en otra publicación del año 1718 llamada Doctrine of Chances. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Tanto el libro y la memoria contienen numerosas cuestiones sobre los dados, extracción de bolas de diversos colores de una bolsa y otros juegos. Todo parece indicar que De Moivre fue el primero que utilizo la formula de las probabilidades , resultado que aparece publicado en 1733, bajo el titulo de Approximation ad summan terminorun binomii in seriem expansi, en esta obra se representa la curva de la normal a partir de una expresión matemática 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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En 1809 Gauss inicio el estudio de la teoría de errores, Carl Friedrich Gauss ( ), fue un matemático alemán que nunca viajo fuera de Alemania ni siquiera de visita, fue un niño prodigio de las matemáticas, un día el maestro de Gauss por mantener al grupo atareado los puso a que sumaran los números del 1 al 100 y colocaran la pizarra con el resultado en el escritorio del maestro, casi inmediatamente Gauss coloco su pizarra sobre la mesa, diciendo “ya está”. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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el maestro lo miro desdeñosamente, mientras los demás trabajan con ahínco, después de que todos terminaron el maestro reviso todas las pizarras, encontrando, que en donde aparecía el resultado de 5050 era en la pizarra de Gauss, sin realizar ningún calculo accesorio, todo lo hizo mental. Realizó en su vida grandes aportes a la matemática y la astronomía, cabe mencionar que en la astronomía fue donde desarrollo el método que permitía describir la órbita de los cuerpos celestes a partir de pocas observaciones, este método se conoce como el de mínimos cuadros. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Exactamente el primer día del siglo XIX se descubrió un nuevo planeta o asteroide al que se le puso el nombre de Ceres y que al cabo de unas semanas se perdió de vista, debido a su pequeño tamaño. Gauss gozaba de una facilidad excepcional para el cálculo numérico, a lo que se unía su ventaja de su método de mínimos cuadrados, y con esto se enfrento a calcular a partir de pocas observaciones la órbita que recorrería en su movimiento. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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El resultado de sus cálculos fue un éxito resonante, a fínales de año volvió a encontrarse el asteroide casi en la misma posición que indicaban dichos cálculos. Fue uno de los primeros en usar la curva de Distribución Normal, también llamada distribución Gaussiana, y que le fue de mucha ayuda para analizar los errores en las observaciones astronómicas. Gauss disfrutaba ayudando a unos pocos discípulos brillantes y entusiastas, pero la enseñanza rutinaria y elemental de la clase al parecer no era de su agrado. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Laplace fue uno de los varios matemáticos franceses que tuvieron su mejor etapa en la era Napoleónica, ocupo pequeños puestos administrativos en la misma, pero entre sus aportes matemáticos la teoría de probabilidades debe más a Laplace que ningún otro matemático, desde 1774 escribió muchos artículos sobre el tema, y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su libro clásico Théorie analitique des probabilities de Laplace consideró la teoría de probabilidades desde todos los puntos de vista y a todos los niveles y su Essai philosophique des probabilitis de 1814, 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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En una exposición introductoria del tema para lectores no especializados. Laplace escribía que “en el fondo la teoría de probabilidades es solo sentido común expresado con números”. Laplace fue uno de los primeros que demostró que el área bajo la curva de las probabilidades, de la función es igual a , también desarrolló integrales que incluyen funciones beta y gamma. 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez

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Laplace rescató también del olvido la obra del Rev. Thomas Bayes (1761), un clérigo ingles, que se conoce como la teoría de las probabilidades inversas. Laplace decía al respecto “ La teoría del azar consiste en la reducción de todos los sucesos de la misma clase a un cierto numero de casos igualmente posibles, que son casos tales en que estamos igualmente indecisos sobre sus existencia y en determinar el numero de casos que son favorables al suceso cuya probabilidad buscamos” . 25/10/2001 Facultad de Matematicas M. en A. Leopoldo Trueba Vázquez