Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO

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1 Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO
BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ CURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES ECONOMETRÍA Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO Profesora: Donita Rodríguez. Agosto 2011

2 ESQUEMA El MRLCK en Desviaciones Muestrales
Descomposición de la Suma de Cuadrados El Coeficiente de Determinación o R2 Algunas observaciones sobre el R2 Otros criterios de Bondad de Ajuste Aplicaciones

3 1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES
El MRLK en desviaciones, para la “t-ésima” observación, está dado por la siguiente expresión (minúsculas son desvíos): Dado que desaparece el término constante, este se obtiene de: Para expresar matricialmente el modelo en desviaciones, utilizamos la matriz de desvíos A:

4 1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES
La matriz A es simétrica (A’=A), idempotente (AA=A), Ae=e y Ai=0. Con A se obtiene el MRLK en desviaciones: Para obtener las ecuaciones normales en términos de desviaciones, multiplicamos el modelo por X*’ y obtenemos:

5 2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.
Para el caso del modelo de 2 variables: SCT = SCE SCR. donde: SCT = Suma total de los cuadrados de las desviaciones de la variable Y. SCE = Suma explicada de los cuadrados a partir de la regresión de Y sobre X. SCR = Suma residual o no explicada de los cuadrados a partir de la regresión de Y sobre X.

6 2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.
Las expresiones alternativas –en términos de desviaciones- para la descomposición son:

7 2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.
Para el MRLCK, es posible debido a que X’e=0. Se parte de , y se obtiene: En términos de desviaciones:

8 3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2
El R2 centrado (alrededor de la media) se define como: En términos vectoriales: Se demuestra que: En el MRLC2:

9 3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2
El R2 también se denomina coeficiente de determinación o bondad de ajuste. Mide el porcentaje de la variación total observada de la variable endógena explicada linealmente por la variación de las variables independientes del modelo estimado. Esta interpretación es válida bajo las siguientes condiciones: El estimador analizado debe ser MCO. La relación tiene que ser lineal. La relación lineal estimada debe incluir intercepto.

10 4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
Observaciones Importantes sobre el R2. (1) Lo único que se puede afirmar a partir del valor del R2 es si el grado de ajuste de los datos muestrales al modelo estimado es bueno o malo. (2) Solamente bajo el supuesto de que la muestra es representativa de los valores poblacionales (verdaderos), un buen (mal) ajuste de los datos al modelo será equivalente a que la relación estimada entre las variables involucradas es relevante (irrelevante).

11 4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
Si el modelo poblacional tiene intercepto y se estima sin intercepto, SCE y SCR pueden crecer mucho: El R2 puede tomar valores mayores que 1: R2 = SCE/SCT. El R2 puede tomar valores negativos: R2=1-(SCR/SCT).

12 4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2

13 4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
(4) El R2 es sensible al rango de variación de las variables independientes: Un mayor rango de variación generará mayor rango de variación para la dependiente, afectando el R2. No tiene sentido comparar el R2 de dos muestras diferentes: dos períodos diferentes o dos países. Tiene más sentido comparar estimados de varianza de la perturbación de diferentes muestras.

14 4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
(5) Los econometristas buscan obtener buenos estimados, lo cual no depende del R2, sino de la metodología y los supuestos del modelo probabilístico. Otras advertencias: No deben compararse los R2 de dos modelos con diferentes variables dependientes. Las variables dummy pueden “inflar” el R2.

15 6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
El R2 no es adecuado para comparar la bondad de ajuste de dos modelos (anidados) con distinto número de regresores. Sólo para comparar modelos (con la misma dependiente) con igual número de regresores. Cuando se añade al modelo un regresor, la SCR o la parte no explicada por el modelo nunca aumenta: se mantiene igual o disminuye. Se necesitan criterios alternativos: R2 ajustado, AIC, SC

16 6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
El R2 Ajustado Se define como: Puede expresarse alternativamente como: Penaliza la inclusión de regresores adicionales. La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más alto sea el valor del R2 ajustado.

17 6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
El Criterio de Schwarz (Swarchz Criterion o SC) El SC también penaliza el hecho de incluir regresores adicionales, contrarrestándolo con el nivel de información que esta variable incluye al modelo. Se define como: La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más bajo sea el valor del SC.

18 6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
El Criterio de Información de Akaike (Akaike Information Criterion o AIC). Es similar al SC. La única diferencia es en la manera de penalizar la inclusión de regresores adicionales al modelo. Se define como: La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más bajo sea el valor del SC.

19 7. APLICACIONES Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares
Date: 07/31/11 Time: 23:27 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C 0.0000 S R-squared     Mean dependent var Adjusted R-squared     S.D. dependent var S.E. of regression     Akaike info criterion Sum squared resid     Schwarz criterion Log likelihood     F-statistic Durbin-Watson stat     Prob(F-statistic)

20 7. APLICACIONES Age: edad Dependent Variable: EARNINGS
Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 23:27 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C 0.2965 S 0.0000 AGE 0.5302 R-squared     Mean dependent var Adjusted R-squared     S.D. dependent var S.E. of regression     Akaike info criterion Sum squared resid     Schwarz criterion Log likelihood     F-statistic Durbin-Watson stat     Prob(F-statistic) Age: edad

21 7. APLICACIONES Siblings: número de hermanos
Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 23:27 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C 0.0000 S SIBLINGS 0.1979 R-squared     Mean dependent var Adjusted R-squared     S.D. dependent var S.E. of regression     Akaike info criterion Sum squared resid     Schwarz criterion Log likelihood     F-statistic Durbin-Watson stat     Prob(F-statistic) Siblings: número de hermanos

22 7. APLICACIONES ¿Cuál de los dos modelos elegiría? ¿Por qué?

23 ESQUEMA El MRLCK en Desviaciones Muestrales
Descomposición de la Suma de Cuadrados El Coeficiente de Determinación o R2 Algunas observaciones sobre el R2 Otros criterios de Bondad de Ajuste Aplicaciones