Solucion de la ecuacion de estado

Presentación del tema: "Solucion de la ecuacion de estado"— Transcripción de la presentación:

1 Solucion de la ecuacion de estado
Sistemas dinamicos Solucion de la ecuacion de estado

2 Contenido Valores y vectores propios Solucion a un caso escalar
Solucion al caso homogeneo Solucion al caso general Respuesta impulsiva Solucion en el dominio de laplace Transformacion de coordenadas Similaridad y diagonalizabilidad

3 Valores y vectores propios

4 Valores y vectores propios
Valor propio Vector propio A：una matriz cuadrada ( nn ) ：un escalar x： un vector en Rn diferente de cero Interpretacion geometrica, l real

5 Interpretacion geometrica
direccion de v1 Direccion de v2

6 Espacio de un valor propio
Sea A una matriz nn con un valor propio  El conjunto de todos los vectores propios de  junto con el vector cero es un subespacio de Rn Este subespacio es denominado el espacio propio de  Es decir, es un vector propio de 

7 Polinomio caracteristico
Para un valor y su vector propio correspondiente, x pertenece al espacio nulo de (A – l I) tiene solucion no nula si y solo si Polinomio caracteristico de AMnn: Los valores propios son las raices del polinomio caracteristico de la matriz

8 Ecuacion caracteristica
Los valores propios son las raices del polinomio caracteristico de la matriz Del teorema fundamental del algebra implica que para una matriz nn hay exactamente n valores propios (pero pueden repetirse y ser complejos)

9 Espectro de una matriz Definicion: El espectro de A es el conjunto de todos los valores propios (distintos) de A Definicion: El radio espectral de A: (A) = {1, … , n} r (A) = max {|l|: l in l(A)}

10 Vectores de valores propios diferentes
Vectores propios v1, v2,…, vk que corresponden a valores propios distintos, todos diferentes, son linealmente independientes. Prueba: Asuma que son linealmente dependientes, pero que los primeros r son linealmente independientes Multiplicando por la izquierda por implica que, para todo i, ci = 0

11 Valores propios repetidos
Si k es un valor propio de la matriz A nn : El número de veces que ( – k) aparece como un factor en el polinomio característico es denominado la multiplicidad algebraica de k .

12 Multiplicidad geometrica
Si k es un valor propio de la matriz A nn : El número de las soluciones de es decir, el número de vectores propios independientes es denominada la multiplicidad geométrica de k La multiplicidad geométrica es menor o igual a la multiplicidad algebraica

13 Solucion a un caso escalar

14 Ejemplo: trayectoria de un sistema escalar
¿Cuál es la trayectoria del estado del sistema escalar mostrado? La solucion involucra un proceso de integracion

15 Ejemplo: trayectoria de un sistema escalar
Calculo de la respuesta usando series

16 Ejemplo: trayectoria de un sistema escalar
Calculo de la respuesta usando series Respuesta de entrada cero

17 Trayectoria de un sistema escalar
¿Cuál es la trayectoria del estado del sistema escalar mostrado? Premultiplicando por , despues de algunas manipulaciones se puede resolver

18 Trayectoria de un sistema escalar
Trayectoria del estado del sistema escalar Respuesta de estado cero Respuesta de entrada cero Este resultado era de esperarse ya que el sistema es lineal

19 Salida del sistema escalar
Si el sistema escalar tiene una salida escalar y(t) definida por la relacion algebraica Se obtiene,

20 Solucion al caso homogeneo

21 Respuesta de entrada cero
Consideremos inicialmente el sistema homogeneo Derivando la ecuacion de estado k veces

22 Respuesta de entrada cero
La solucion se puede expresar utilizando Taylor

23 La matriz exponencial Por analogia con el caso escalar, podemos definir la matriz exponencial

24 eAt en terminos de una serie finita
El teorema de Cayley-Hamilton establece que la matriz A satisface su propia ecuacion caracteristica Del teorema de Cayley-Hamilton, la serie infinita de la matriz exponencial se puede reducir a una serie finita, con , escalares

25 Respuesta de entrada cero
Finalmente, la trayectoria del estado, Matriz de transicion de estado

26 Ejemplo: A diagonal Considere la matriz diagonal n × n
Que satisface donde l es un valor propio de la matriz A

27 Ejemplo: A diagonal

28 Ejemplo: A diagonal Cada estado sigue una trayectoria independiente que solo depende del valor propio l correspondiente Ejercicio: Dibuje la respuesta para diferentes valores de l

29 Comportamiento del estado para valores de l
Valor propio correspondiente Tiende acero Permanece acotado Tiende a infinito Re(l) Im(l )

30 Algunas propiedades de eAt
La matriz exponencial es la unica matriz que satisface Para todo tiempo Ademas, es invertible

31 Algunas propiedades de eAt
La multiplicacion de A y eAt es conmutativa Tambien Ademas, si AB = BA, entonces

32 Ejemplo: una solucion particular para eAt
Del teorema de Cayley-Hamilton, la serie infinita de la matriz exponencial se puede reducir a una serie finita, con , escalares derivando

33 Ejemplo: una solucion particular para eAt
derivando Del teorema de Cayley-Hamilton

34 Ejemplo: una solucion particular para eAt
del resultado Igualando coeficientes

35 Ejemplo: una solucion particular para eAt
Usando eA·0 = I , obtenemos los valores iniciales α0(0) = 1 y α1(0) = … = αn-1(0) = 0. entonces La solución para esta ecuación de estado lineal homogénea con el estado inicial especificado, da como resultado las funciones de los coeficientes que establecen la representacion en la serie finita de potencias de la matriz exponencial

36 Solucion al caso general

37 La trayectoria del estado
u escalar (0, 0, 0) t = 0 t = 2 t = 3 t = 4 State variable 1 (x1) State variable 2 x2 State variable 3 x3 State vectors at different times State trajectory

38 Solucion al caso general
Para el caso general forzado Definamos, x n y p u m luego,

39 Solucion al caso general
Derivando z Aplicando el teorema fundamental del calculo

40 Solucion al caso general
Recobrando la solucion en x

41 Solucion al caso general
La solucion completa, es Respuesta de estado cero Respuesta de entrada cero Este resultado era de esperarse ya que el sistema es lineal

42 Solucion al caso general
La respuesta de salida es, Respuesta de estado cero Respuesta de entrada cero

43 Respuesta impulsiva

44 Respuesta impulsiva u m
Asumiendo, sin perdida de generalidad que t0 = 0, haciendo x(0) = 0, nos enfocamos en la respuesta de estado cero Particionando B y D como u m

45 Respuesta impulsiva Denotando, la base estandar en
Con una entrada impulsiva en la entrada i-esima Conduce a la respuesta

46 Respuesta impulsiva Aplicando linealidad, considerando las m entradas impulsivas, i = 1,2, … , m, La matriz de la respuesta impulsiva, es la matriz p × m, y p

47 La respuesta de estado cero
La respuesta de estado cero es Que en terminos de la respuesta impulsiva conduce la conocida integral de convolucion,

48 Solucion en el dominio de laplace

49 Transformada de la ecuacion de estado
Tomando la transformada de Laplace de la ecuacion de estado, asumiendo que t0 = 0, y x(0) = x0 Respuesta de estado cero

50 La transformada de Laplace de eAt
Observando el resultado en Laplace y comparando con la solucion en el tiempo, se ve que Forman un par para la transformada de Laplace Esta relacion sugiere una aproximacion para calcular la matriz exponencial

51 Solucion en el dominio de laplace: ejemplo
En el siguiente ejemplo, encontrar la trayectoria del estado usando Laplace

52 Solucion en el dominio de laplace: ejemplo
Para invertir una matriz 2x2: Intercambiar diagonales Cambiar de signo los elementos fuera de la diagonal Dividir por el determinante

53 Solucion en el dominio de laplace: ejemplo
Finalmente, la trayectoria del estado

54 Solucion para la salida en el dominio s
Consideramos ahora la relacion de entrada salida. Resolviendo para la salida, La funcion de transferencia del sistema, que relaciona la entrada con la salida, condiciones iniciales nulas:

55 Solucion para la salida en el dominio s
Resolviendo para la salida, con condiciones iniciales nulas Resultado acorde con la propiedad de la convolucion de la transformada de Laplace que indica que

56 Realizacion de una funcion de transferencia
En general, se dice que una realizacion en espacio de estado de la conducta de entrada-salida del sistema, satisface, dada por la relacion Y(s) = H(s)U(s) en el dominio de Laplace o por la ecuacion diferencial asociada que relaciona y(t) con u(t) en el dominio del tiempo (para condiciones iniciales cero), La conducta de entrada-salida de un sistema tiene multiples realizaciones en espacio de estado

57 Conversion entre tipos de modelos
La conducta de entrada-salida de un sistema tiene multiples realizaciones en espacio de estado Modelo en espacio de estado Modelo en funcion de transferencia Transformada de Laplace Realizacion multiples unica Se puede demostrar a partir de los resultados de la proxima seccion

58 Transformacion de coordenadas

59 Transformación de coordenadas
Cualquier matriz no singular T, n × n, define una transformación de coordenadas vía Matrices del sistema transformado

60 Transformacion de silimilaridad
Las ecuaciones del sistema transformado Matrices del sistema transformado El sistema original y el sistema “transformado” representan el mismo sistema dinamico. Las matrices de estado comparten algunas propiedades, por lo que trasformacion es denominada una transformacion de silimilaridad

61 Similaridad y diagonalizabilidad

62 Matrices similares Definition: Se dice que las matrices A,B ∈ Cn×n son similares si existe una matriz no singular T ∈ C, n×n, para la cual Si las matrices A y B son similares entonces tienen los mismos valores propios Una matriz diagonal necesariamente muestra sus valores propios en la diagonal principal

63 Propiedades de la similaridad
La similaridad tiene las siguientes propiedades: A es similar a A Si B es similar a A, entonces A similar a B Si A similar a B y B es similar a C, entonces A similar a C Es decir la similaridad es una relacion de equivalencia

64 Diagonalizabilidad Definicion: Se dice que una matriz es diagonalizable (o puede ser diagonalizada) si es similar a una matriz diagonal. Si A es una matriz n × n con n vectores propios linealmente independientes, entonces A es diagonalizable. La matriz A es diagonalizable si y solamente si la multiplicidad geometrica es igual a la multiplicidad algebraica para cada valor propio

65 Diagonalizabilidad Si i , con i = 1,..., k, son los valores propios distintos de la matriz A nn, con multiplicidad geometrica ni , entonces habra vectores propios independientes Si V es la matriz cuyas columas son los vectores propios independientes

66 Diagonalizabilidad En el evento de que
Las matrices V y L son ambas nn, , ademas V es no singular, en consecuencia, La matriz V n × n cuyas columas son los n vectores propios independientes de A es una transformacion de similaridad que diagonaliza a A

67 Propiedades de la transformacion
La transformación de coordenadas propuesta tiene las siguientes propiedades:

68 La forma canónica diagonal
Cualquier sistema en espacio de estado con una matriz A diagonalizable puede ser transformado a la forma canónica diagonal La forma canónica diagonal se caracteriza por una matriz A diagonal, donde los elementos de la diagonal son los valores propios λi asociados con los vectores propios vi, i = 1, 2, , n.

69 Bibliografia A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

70 FIN