Tratabilidad y NP-Completitud

Presentación del tema: "Tratabilidad y NP-Completitud"— Transcripción de la presentación:

1 Tratabilidad y NP-Completitud

2 Antonio Fernández, GSyC
Clases de problemas Muchos problemas se resuelven con algoritmos polinómicos (O(nk)): problemas tratables Hay problemas que no se pueden resolver: problema de la parada. Hay problemas que no se pueden resolver en tiempo polinónico ((nk)): problemas intratables Curso Antonio Fernández, GSyC

3 Antonio Fernández, GSyC
Problema de la parada No existe ningún algoritmo que diga si un programa va a parar en tiempo finito con una entrada dada: Supongamos que hay una función H(P,I) que lo resuelve. Construimos D(P): If H(P,P) then loop forever else stop ¿Qué debe hacer D(D)? Curso Antonio Fernández, GSyC

4 Problemas NP-completos
Hay una clase de problemas que no se sabe si son tratables: problemas NP-completos Nadie ha encontrado algoritmos polinómicos para ninguno de ellos. Algunos muy parecidos a problemas tratables: Ciclos eulerianos y hamiltonianos. Satisfabilidad de 2-FNC y 3-FNC Curso Antonio Fernández, GSyC

5 Antonio Fernández, GSyC
Clases P, NP y NPC La clase P contiene todos los problemas tratables. La clase NP contiene todos los problemas que se pueden “verificar” en tiempo polinómico. Claramente PNP. La clase NPC contiene todos los problemas NP-completos Curso Antonio Fernández, GSyC

6 Antonio Fernández, GSyC
Definicion NPC Un problema es NP-Completo si: Pertenece a NP. Es tan “duro” como cualquier otro problema en NP (es NP-duro). Un problema es NP-duro si el que haya un algoritmo polimómico para él implica que lo hay para todos los problemas en NP. Curso Antonio Fernández, GSyC

7 Antonio Fernández, GSyC
P=NP? Observa que si hubiera un algoritmo polinómico para cualquier problema en NPC entonces P=NP. La hipótesis más aceptada es que P≠NP. En general, si os encontráis un problema NPC mejor buscáis alternativas (simplificaciones, aproximaciones, etc.). Curso Antonio Fernández, GSyC

8 Antonio Fernández, GSyC
Demostraciones de NPC Se suelen usar problemas de decisión, cuya respuesta en SI o NO. Se demuestra que el problema están en NP. Se “reduce” un problema que se sabe está en NPC a este problema. Curso Antonio Fernández, GSyC

9 Antonio Fernández, GSyC
Reducción polinómica Demuestra que un problema en NP-duro. Se parte de un problema p conocido en NPC. Se construye un algoritmo polinómico que transforma p en nuestro problema. Se concluye que si podemos resolver el nuestro en tiempo polinómico, p se resuelve en tiempo polinómico. Curso Antonio Fernández, GSyC

10 Antonio Fernández, GSyC
Consejo Si te encuentras con un problema que no eres capaz de resolver de manera eficiente, sospecha que puede ser NP-duro. Intenta demostrar que lo es. Si lo es, busca alternativas, porque mucha gente inteligente ha intentado diseñar algoritmos eficientes y no lo ha logrado. Curso Antonio Fernández, GSyC