Las funciones trigonométricas se definieron en base a una circunferencia unitaria x 2 + y 2 = l, de manera semejante las funciones hiperbólicas se definen.

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3 Las funciones trigonométricas se definieron en base a una circunferencia unitaria x 2 + y 2 = l, de manera semejante las funciones hiperbólicas se definen en base a una hipérbola x 2 - y 2 = l. Las funciones trionométricas sen(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunf erencia unitaria centrada en el origen, donde es t el án ulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades: x( t) = cost { y( t) - sin t

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5 x 2 - y2 = 1 siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades: x ( t) - cosh t { y( t) = sinh t e X De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas,como las coordenadas cartesi a nas (x,y) de un punto P de la hipér bola equ1láte:ra, centrada en el origen, cuya ecuaciónes

6 Por lo que las coordenadas del punto p serán (cosht, senht). se pueden representar mediante funciones exponenciales, de la { a:(t) = cosh t - y( t) =y( t) = sinh t = Donde cosht y senhtsenht siguiente manera:a:

7 e l'. -e -l'. senh(x) =---senh(x) =--- 2

8 tanh(x) = senh(x) = e% -e-r cosh(x)e% +e-% coth(x) = cosh(x) = e% +e-z senh( x) ex _ e-xex _ e-x -%e-x-%e-x sec h(x) = l_ cosh(x) - e 2r+e2r+e ese h(x) = l = senh(x)e 2 x _

9 (1(1 J =.ih =-- 1

10 .L(" 't.... '(l¡\'(l¡\ 2 o lt l l '*1 1/ 1 1Rt r/t!llJ 1

11 ' '1' '1 ' thr. -" t ' e' e

12 \ - ctgln -- t' r ' -,r ',r ' l>i') lt. ju)

13 ...t....

14 1 ' th t' _,.. 1t 1··

15 .,.111....

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17 De1nostrar que cosh 1 x -senh 1 x= 1. cosh 1 x -senli2x = 1,/ - 2e'e- +e- 2 ' ------- =] 4 -2e'e-'-2e'e-' ---= l 4 4 2 -+-= l4 4 - = l 4 z,,. 1

18 cosh 2 x - senh2x = 1 sech2x + tgh 2 x = 1 cotgh 2 x - cosch 2 x = 1 senh (x t y) = senh x cosh y ± cosh x senh y cosh (x t y) = cosh x cosh y ± senh x senh y senh(2x) = 2 senh x cosh x cosh {2x) = cosh 2 h + senh2x senh a + senh b = 2 senh cosh a + cosh b = 2 cosh 2senh 2 = cosh x - 1 2cosh 2 = cosh x + 1 (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx),(Fórmula de Molvre)

19 - d senh( x) = d (e'-e-') = e'+e- = cosh(x) dx 2 dd ( e'+e-' )e'-e- 2 -cosh(x) =- == senh(x) dxdx 2 => !!_senh(u) = du cosh(u)dx => cosh{u) = senh{u) !!_ tanh( x)= !!_( senhx ) = cosh x -senh x = 1 I co.sh 1 x =sech'x=sech'x dxdx co.sh x cosh 2 x => !!_ tanJ,l,u) = du sec h 1 (u) dx

20 !!_coth{x)=!!_ ( cosh x) = senh x-cosh x = 1 - J_senh'x- J_senh'x =-csc h 1 x dxdxsenhx senh 1 x ::;;> !!.._ coth(u) =- du ese h(u) dxdx -dsec h(x) = d (-dsec h(x) = d ( /) = -senhx : {senhx X 1 ) :-tanhxsec hx dx dx cosh xcosh x cosh xcoshx !!.._ sec h( u)= - du tanh(u)sec h(u)dx -d csc h(x) = d (-d csc h(x) = d ( 1) -cosh x = {'ºshxx I ) = -cochxcschx dx dx senhxsenh 2 x senhicsen/u: ::;;> !!.._ ese h(u) = - du coth(u )ese h( u)dx

21 J senh(u)du =cosh(u) + e J cosh(u )du =senh(u) +e J sec h¡(u')du = tanl/..u)+ c J csch 2 (u)du = -coth(u)+ e J sec h(u)tanh(u}iu = -sec h(rt)+ e J csch(u)coth(u')du =- csch(u)+ c

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23 Las funciones trigonométricas hiperbólicas tienen funciones inversas que, comúnmente, se denotan como senh- 1 o bien como arcsenh donde la función recibe el nombre de seno hiperbólico inverso. Dado que las funciones están definidas en términos de exponenciales, es de esperarse que sus inversas incluyan logaritmos naturales. Se ueden definir como parax > 1 para lxl < 1 para 0 < xl

24 FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS grales de estas funciones se resuelven igual que las funciones rsas Obtener la fórmula para la deri\·ada de la función y = senh- 1 (x). Dado que no se conoce la dern·ada del seno hiperbólico im·erso pero si la del seno hiperbólico, se pueden utilizar el concepto de la función inversa y la deri·ada implícita para hallar la fónnula en cuestión.. y =senh- 1 (x) senh( y) =x y' cosJr(y) = 1 y. -ly. -l =---,. cosh(y) Se sabe que c<Mh 2 y -senh 1 y = j, por lo tanto, cosh 1 y = senJi'y +l senhy =x, entonces, cosh y = f x 1 + 1. Al sustiruir se obtiene y la función y.1y.1 - - Jxi +!. Las derivadas e inte trigonométricas inve

25 d du/ dxsenh-J u =/ dx.Ju 2 + l d du%du% - dx cosh -J U =.J u 2 d _ x 1 u > J ddt -tanh-J dxdx dx u; = l : u.. : ' 2 lul< 1lul< 1 : d !. x _ sec h-1 duldul u = -ldxu = -ldx u,J1- u.2 'u,J1- u.2 ' O < ll < 1

26 J..J 1 du = senh- 1 (!!..) +e, 0 1 +uza J..) 1 du = cosh- 1 ( u) +c, u1 - a2u1 - a2 a r..J J du =- J tanh -1( U) +e,a.ª 2 -u2 J:u"f a+u2J:u"f a+u2 du =-!...sec h- 1 ( lul) +c,a a > Oa > O u >a > O a > O, lul <a

27 y y "" S!?nl"I ', C · '" sonh y) 1 -·-·