ANUALIDADES Se llama serie uniforme o anualidad a un conjunto de pagos iguales y periódicos. Aquí el término de pagos hace referencia tanto a ingresos.

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1 ANUALIDADES Se llama serie uniforme o anualidad a un conjunto de pagos iguales y periódicos. Aquí el término de pagos hace referencia tanto a ingresos como egresos. De la misma manera, el término anualidad se utiliza para indicar que los pagos son periódicos y no necesariamente cada año. Los períodos pueden ser el día, la semana, la quincena, etc. Tipos de Anualidades: Vencidas Anticipadas Diferidas Perpetuas Anualidades Vencidas : Se llama anualidad vencida a aquella en donde el pago se hace al final del período de pago.

2 Ejemplo de Anualidades vencidas: El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la adquisición de un vehículo o de electrodoméstico por el sistema de financiación, etc. F 0 123 Anualidad P n Valor Futuro: A = Anualidad

3 Ejemplo 1: Durante un año y medio se hacen depósitos por mes vencidos de $12.000 cada uno en una institución de ahorro que paga un interés de 3% mensual. Calcule la suma total acumulada en las cuenta de ahorro al final de este período. F 0 123 $12.000 1 año y medio

4 Ejemplo 2: El curso de administración de empresa decide depositar en una cuenta de ahorro durante 16 meses por un valor equivalente a $45.250 cada fin de mes para realizar una despedida a los alumnos egresados. Si la entidad financiera paga por los depósitos 12 % de interés efectivo trimestral. Cuanto dinero se reúne al final del período. A= 45.250 i= 12 % efe_trim n = 16 meses F 0 123 Anualidad n

5 Valor Presente de una Anualidad Vencida: El valor presente de una anualidad está expresado por la ecuación: Ejemplo: Hallar el valor contado de un artículo que a crédito se adquiere con 18 cuotas de $20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un interés del 2,5% mensual. Calcular el valor presente. 0 123 $20.000 P 18 P = ?

6 Cálculo de Anualidad Vencida con respecto al Futuro: De acuerdo a la ecuación que determina el valor futuro con respecto a la anualidad, despejando la anualidad tenemos: Ejemplo: Se debe reunir $850.000 dentro de dos años. Con tal fin se decide hacer depósitos iguales por mes vencidos en una institución que paga 2,65% mensual. Hallar el valor de los depósitos. Resultado: A = $ 25.792

7 Cálculo de Anualidad Vencida con respecto al Valor Presente: Ejemplo 1: Un televisor tiene un precio al contado de $63.500. Se desea adquirir a crédito así: una cuota inicial de $15.000 y el resto financiar en 18 meses o cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es de 3% mensual, hallar el valor de las cuotas. Resultado A = $3.526,37 Ejercicio 2: Calcular la anualidad sabiendo que el valor futuro es de $ 1.250.000 por un depósito que paga 3.85% mensual durante 4 años y medio. A= $ 7.193

8 Ejercicios Propuestos: 1.- El municipio de Puerto Montt Solicitó un crédito al BID de cinco millones de dólares al 1,6% de interés anual para realizar obras de mejoramiento comunal. Si se compromete a pagar con anualidades durante un período de 10 años. Cuánto corresponde pagar por cada anualidad vencida. Resultado: A = $ 545.047 dólares. 2.- Si a Juan Pérez le calcularon que pagará finalmente un crédito solicitado la cantidad de 400.000 pesos a una tasa de interés mensual de 3,5% y con anualidades vencida durante 12 meses. Calcular cuánto sale cada cuota. Resultado: A = $ 27.393 pesos. 3.- Una persona deposita $2.000 al final de cada año durante 25 años en una cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago. Resultado: F = $ 146.212 4.- Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $100.000 y 16 cuotas mensuales de 50.000. Si se carga el 1,5 % mensual. Hallar el valor total a pagar por el artículo. Resultado: P = $ 806.563

9 Anualidades Anticipadas : En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada período ( Anualidad Anticipada ); tal es el caso de la renta de terrenos, edificios, oficinas y cuyo alquiler se paga al principio de cada período. Otros ejemplos son: seguros de bienes en general, seguros de vida, etc. 0 1 2 3 A. Anticipadas A. Vencidas12 n-2n-1n n …………………

10 Observe que al agregar un último pago A se obtiene el valor futuro de una anualidad vencida A, por período, pagadera durante n+1 períodos. Restando el último pago A, el cual se había agregado, se obtiene el valor futuro de una anualidad anticipada A, pagadero durante n período; ( ( F/A, i%, n + 1) – 1 ). A A A A A 012 n-2 n n-1... A F Valor Futuro de una Anualidad Anticipada: Despejando A, podemos encontrar el valor de la anualidad a partir del valor futuro.

11 Ejercicio: Una compañía deposita al principio de cada año $20.000 dólares en una cuenta de ahorros que abona 7% de intereses anual. A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? Dibujar diagrama de flujo de caja. 0 1 23 $20.000 5 2 F

12 Valor Presente de una Anualidad Anticipada: 1 A A 2 ……. AA F n n-1 0 P A Despejando A, podemos encontrar el valor de la anualidad a partir del valor presente.

13 Ejercicio: Una compañía alquila un terreno en $4.000 dólares mensuales y propone al propietario pagar el alquiler anual, al principio de cada año con una tasa del 12% convertible en mensuales. Hallar el valor del alquiler. Resultado: P= 45.470,51 Ejercicios Propuestos El dueño de una propiedad cobra por su alquiler $5.000, por mes anticipado. Hallar la pérdida que le significa en dos años, si el arrendatario le pagó por mes vencido ( tasa nominal 12% con capitalización mensual ). F. Vencido = 134.867,32; F. Anticipado = 136.216; diferencia = 1.348,48

14 Un comerciante vende equipos de sonido por un precio de 175.000 al contado. Promueve su venta a plazos, en 18 meses, sin cuota inicial, con un recargo del 24% nominal capitalizable mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. Se entrega el equipo contra pago dela primera cuota. A=11.444 Un comerciante estima que puede aumentar sus ventas ofreciendo equipos de sonido que valen $126.000 de contado, en cuotas mensuales de $9.000 cada una, sin cuota inicial. Hallar el número de cuotas, si se carga un 18% de interés, convertible mensualmente. Al retirar el producto se paga la primera cuota. n = 15,56905

15 Anualidades Diferidas En los negocios, es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que los primeros períodos de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir, la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago. En estos casos, se dice que la anualidad es diferida. Para el cálculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas fórmulas. Para desarrollar este tipo de problemas es necesario analizar los problemas utilizando diagramas que le permita determinar, cuidadosamente, el tiempo diferido y el tiempo de pago, para luego plantear las ecuaciones de equivalencia que conducen a la correcta solución.

16 A A A 0 12k+1k+n k+2... P Tiempo Diferido Tiempo de anualidad k 1.- ( F/P, i%, k )2.- ( P/A, i%,n ) Igualando 1 = 2 tenemos:

17 P * ( 1 + i ) k Despejando P tenemos: P * ( 1 + i ) -k Otra forma de cálculo: P = A* [ ( P/A, i%, k + n) - ( P/A, i%, k ) ]

18 Calcular el valor actual de una renta de $5.000 semestrales, si el primer pago debe recibirse dentro de 2 años, y el último dentro de seis años, si la tasa de interés es de 8% nominal capitalizable semestralmente. P = 33.049,91

19 Anualidades Perpetuas En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos, se paguen indefinidamente. Entre muchas otras, las rentas que se pagan a perpetuidad son renta de un terreno, los legados por instituciones de beneficencias, los dividendos sobre acciones preferentes, las sumas que es necesario reservar cada año para proveer la reposición de un puente, etc. Definición: Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene fin. 0 1 23 Anualidades períodos 4 P

20 Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad p que, en un período, produce como intereses la suma A, o sea: A = P * i; de donde El factor 1/i = (P/A, i%, ∞ ), es el valor presente de una renta perpetua vencida de una unidad monetaria por período, a la tasa i por período.

21 Valor presente de las rentas perpetuas simple anticipada: Cuando el pago de la renta es inmediato, al trazar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en el primer pago que debe efectuarse de inmediato. 0 1 23 Anualidades períodos 4 P Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W distinto de A, se tiene, para el valor actual:

22 Ejercicios En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se invertirán de modo que el hospital de anciano reciba, a perpetuidad, una renta de $1.000.000 cada fin de año. Si en la localidad la tasa de interés es de 8%, hallar el valor actual de la donación. P = 12.500.000 Al fallecer, una persona deja un legado a su sanatorio, estipulado así: $600.000 para la adquisición de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 8%. P = $10.600.000