Relaciones de recurrencia

Presentación del tema: "Relaciones de recurrencia"— Transcripción de la presentación:

1 Relaciones de recurrencia
Matemática Discreta y Autómatas Ingeniería en Sistemas Clase 4

2 Definición de sucesión
F: N A/ f(n)= an siendo n  N A los elementos a1, a2, a3, ……..se denominan términos de la sucesión {an } nN es el termino general de la sucesión … n n+1 ….. a1 a2 a3 a4 an an+1 f

3 Relación de Recurrencia
Una relación de recurrencia para una sucesión {an}n N es una ecuación la cual establece el término an en función de los términos anteriores a0 a1 a2 … La sucesión en sí es la solución de la relación de recurrencia si sus términos cumplen la relación para todo entero positivo n. Las relaciones de recurrencia tienen su gran utilización en la solución de problemas de conteo y en problemas de análisis de algoritmos, para medir su complejidad o tiempo de ejecución de éstos.

4 Ejemplos Dadas las siguientes progresiones geométricas, determinar la expresión general que las define. a) 5, 15, 45, 135,…… b)7, 21, 63, 189,….. an = 3 an-1 an = 3 an-1 Las condiciones Iniciales o Fronteras determinan la unicidad de la Relación de recurrencia.

5 Función generatriz 5, 15, 45, 135,…… 7, 21, 63, 189,…..
an = 7an-1 donde n 1 y a2 =98 an - nan-1 =0 siendo a0=1, n 1 Determinar a12 si a2n+1= 5a2n donde an0 y a0=2

6 Clasificación de relaciones de recurrencias
Ecuación de recurrencia lineal con coeficientes constantes cn an + cn-1 an-1+ … +cn-k an-k = bn n≥𝑘 orden k {cn, cn-1 ,….,cn-k } constantes Cn ≠0, cn-k ≠0, {bn }sucesión conocida Si bn = 0 RRLH Si bn ≠0 RRL no H El ORDEN de una relación de recurrencia es la cantidad de términos anteriores que intervienen

7 Relación de Recurrencia Lineal Homogénea
Orden 1: cn an + cn-1 an-1 = 0 condición inicial a0 =  Ejemplos dados: a) an = 5.3n, b) an = 2.7n, c) bn = 5.4n nN Solución general. an=  cn nN, n1 Ejemplos: an = 3 an-1 nN, n1 an+1 = an nN

8 Material de clase Actividad 1. Indique el orden de cada una de las siguientes recurrencias.  an = an-1.an-2   an= 3 an-2   an = an   an+1=10 an-2/an      an+1 = an – an-1     an = – an-1– 2 an-3    an+2 = an – an+1 + n   an = (1+n) an-1 – an-4    an+1 =  an – 2n an-1+ 3n Actividad 2: Resolver las relaciones de recurrencia a. an-2/3 an-1 = 0, n1; a0 = -1 b. 2 an+1-3 an = 0, n0; a0 = 1 c. 2 an+1-3 an = 0, n0; a0 = -2

9 Suponga que una persona posee una deuda en una entidad bancaria
Suponga que una persona posee una deuda en una entidad bancaria. Si no paga el monto del préstamo al final de cada mes, la entidad le cobra un interés de un 5 % sobre el monto adeudado. Si se asume un préstamo de US $300 dólares, ¿cuanto dinero deberá al cabo de un año si no ha pagado ninguna de las cuotas?

10 https://youtu.be/g1XprJDE17Q 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 an = an-1 + an-2 n2
Orden 2: cn an + cn-1 an-1+ cn-2 an-2 =0 n2 condiciones iniciales a0 =  , a1= ¿Cómo determinamos la solución general ? P(x) = cn x2 + cn-1 x+ cn-2 =0

11 Relación de recurrencia de orden ≥ 2
Ingeniería en Sistemas Matemática Discreta y Autómatas Clase 5

12 cn an + cn-1 an-1 + cn-2 an-2 = 0 orden 2 cn ≠ 0, cn-2 ≠ 0 an = α (s1 )n + β (s2 )n ∀n∈𝑁
Polinomio característico que determina las soluciones de la RRLH orden ≥ 2 P(x) = cn x2 + cn-1 x + cn-2 = 0 Si r1 ≠ r 2 y r1, r2 ∈ R , an = α (s1 )n + β (s2 )n siendo α, β ≡𝑐𝑜𝑛𝑑. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 Si r1 = r 2 y r1, r2 ∈ R , an = α (s)n + βn (s)n siendo α, β ≡𝑐𝑜𝑛𝑑. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 Si r1 ≠ r 2 y r1, r2 ∈ C , an = α (s1 )n + β (s2 )n

13 Ejemplo 1: an +an-1 -6 an-2 = 0 a0 = 1, a1 = 2 n N, n≥2 Ejemplo 2: an -6 an-1 +9 an-2 = 0 a0 = 5, a1 = 12 n N, n≥2 Ejemplo 3: 2an+3 = an+2 +2 an+1 – an a0 = 1, a1 = 2 , a3 = 3 n N Ejemplo 4: an -3 an-1 +3 an-2 – an-3 = 0 a0 = 1, a1 = 2 , a3 = 3 n N≥3 Ejemplo 5: an =5 an-1 - 8an-2 +4 an-3 = 0 Sucesión de Fibonacci

14 Halla una relación de recurrencia para el número de formas en que una persona puede subir n escalones si puede subir uno o dos escalones en cada paso. Hay dos maneras de empezar a subir los n escalones: subiendo un peldaño o subiendo dos peldaños en el primer paso Si empezamos subiendo un peldaño, quedaran n − 1 peldaños por subir, subiendo uno o dos peldaños en cada paso. Si empezamos subiendo dos escalones, quedaran n − 2 escalones por subir, subiendo uno o dos escalones en cada paso.

15 an = an-1 + an-2 n2 ¿Cuáles son las condiciones iniciales?
a1 = 1 (existe una única manera de subir 1 escalón), a2 = 2 (existen dos maneras de subir dos escalones , dando dos pasos de un peldaño o dando un paso de dos peldaños). a0 ?