PAOLO GOMEZ. PAOLO GOMEZ Pag ) En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años.

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2 PAOLO GOMEZ

3 Pag.199 31) En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.80, y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.20. a) ¿cuál es la probabilidad de que a un adulto mayor de 40 años se le diagnostique cáncer? P(A1) =0.05 = con Cáncer P(A2) =0.95 = sin Cáncer P(B/A1) =0.80 = diagnóstico correcto P(B/A2)=0.20=diagnóstico incorrecto El procedimiento: P(B)=P(A1). P(B/A1) + P(A2). P(B/A2) = (0.05*0.80) + (0.95*0.20) = 0.23 b) Si se le diagnostica cáncer, tenga realmente la enfermedad. (P(A1). P(B/A1))/(P(A1). P(B/A1) + P(A2). P(B/A2) )=0,4/0.23=1.739

4 A) En este caso es una combinación simple, por lo tanto sería:
Pag.154 12) Un vendedor de automóviles acaba de recibir un embarque de 15, de los cuales 10 son del modelo A y 5 del modelo B. ¿De cuántas maneras puede vender 4 de los automóviles, a) Si los 4 son del mismo modelo?. b) Si dos son del modelo A?. c) Si al menos uno es del modelo B?. A) En este caso es una combinación simple, por lo tanto sería: B) similar a la anterior: C)

5 2) Si A, B y C son 3 sucesos cualesquiera, entonces:
Pag.170 2) Si A, B y C son 3 sucesos cualesquiera, entonces: P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C) Demostración: Haciendo P(AUBUC) = P((AUB)UC) P((AUB)UC)=P(AUB)+P(C)-P((AUB) ∩C) Por teorema P(AUBUC)=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-P((AUB) ∩C) Como: P((AUB) ∩C)=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C) Reemplazando:

6 PIERO DIAZ

7 Pag.197 17) Pruebe que: a) Si el evento B es independiente del evento A, entonces, A es independiente de B b) A y B son eventos independientes, si y sólo sí 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 =𝑷 𝑨 𝑷(𝑩) c) Si A y B son eventos independientes, entonces, 𝑷 𝑩 𝑨 =𝑷( 𝑩 𝑨 𝑪 ) Solución: a) 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐵) 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 𝑃 𝐴 =𝑃 𝐵 𝑃 𝐵∩𝐴 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐵∩𝐴 𝑃 𝐵 =𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵

8 𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
b) 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 =𝑃 𝐴 𝐵 𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 c) 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵∩ 𝐴 𝐶 𝑃 𝐴 𝐶 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐵 𝐴 𝐶

9 Pag.174 27) Una urna contiene 3 bolas numeradas de 1 a 3. Las bolas se sacan al azar una a una sin reposición. Si se considera un éxito cuando la bola k sale en la extracción k, k=1,2,3. a) describa el espacio muestral b) calcule la probabilidad de obtener al menos un éxito. Solución: a) 1,2, ,3, ,3, ,2, ,1, ,1,3 Ω= E E E E F F F F F F E F F F F F F E b) 𝑃 𝐴 = 4 6 = 2 3 A= al menos un éxito

10 Pag.154 13) Suponga que una urna contiene 10 fichas de color blanco, 10 de color rojo, 10 de color amarillo y 10 de color negro. Las fichas del mismo color van numeradas de 1 a 10. Un experimento consiste en extraer al azar una de las fichas de la urna. Dados los eventos: A: Color blanco, B: número menor que 4, y C: número par, determinar el número de puntos muestrales de los siguientes eventos compuestos: 𝑛 𝐴∩𝐵 =3 𝑛(𝐴∩𝐶)=5 𝑛(𝐴∩𝐵∩𝐶)=1 𝑛(𝐴∩ 𝐵 𝐶 )=7 𝑛 𝐴 𝐶 ∩𝐵 =9 Solución: 𝑛 𝐴 𝐶 ∩ 𝐵 𝐶 ∩𝐶 =12 𝑛 𝐴 𝐶 ∩ 𝐵 𝐶 ∩ 𝐶 𝐶 =9 𝑛 𝐴 𝐶 ∩𝐵∩ 𝐶 𝐶 =6 𝑛 𝐴∩ 𝐵 𝐶 ∩ 𝐶 𝐶 =3 𝑛 𝐴 𝐶 ∪ 𝐵 𝐶 ∪ 𝐶 𝐶 =38   𝐴 𝐶 =30 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝐵 𝐶 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 4 𝐶 𝐶 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

11 Angello Frankzuat

12 Pag.197 𝑝(𝐹 1 𝐹 2 ) 𝑝(𝐹 1 ) 𝑝(𝐹 2 ) 0.02. 0.02 #20) Solución P(E)=0.98
Suponga que una compañía utiliza un procedimiento de prueba que es confiable en 98%. Es decir identifica correctamente a un objeto como defectuoso o no defectuoso con una probabilidad de En un esfuerzo por reducir la probabilidad de error a cada objeto se somete a dos pruebas independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuoso no pase ambas pruebas? Solución Tenemos que hallar la probabilidad de que un objeto no defectuoso , no sea detectado. Para que no sea detectado; el procedimiento tiene que fracasar en las dos pruebas. 𝑝(𝐹 1 𝐹 2 ) 𝑝(𝐹 1 ) 𝑝(𝐹 2 ) 0.0004 P(E)=0.98 P(F)=1-P(E) P(F)=0.02

13 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de que no pase por lo menos una de las dos pruebas? Solución 𝒑=𝒑( 𝑬 1 𝐸 2 ∪ 𝑭 1 𝑬 2 ∪ 𝐸 1 𝐹 2 ) 𝒑=𝒑 𝑬 1 𝐸 2 +𝑷 𝑭 1 𝑬 2 +𝑷 𝐸 1 . 𝐹 2 𝒑 =0.98 x x x 0.02 𝒑 =

14 Pag.196 #9) Solo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta. El prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas. Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea escogida en el quinto intento. “Al azar uno por uno sin reposición O a la vez” porque ya no vuelve a probar la misma llave incorrecta. 𝑵 : 10 𝒓 : 5 Eventos 𝑃 𝐶= 𝑃( 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝐶 4 𝐶) 𝐶 : Llave correcta 𝐶 : Llave incorrecta 𝑃( 𝐶 1 ) . 𝑃( 𝐶 2 / 𝐶 1 ) . 𝑃( 𝐶 3 / 𝐶 1 𝐶 2 ) . 𝑃( 𝐶 4 / 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 ) . 𝑃( 𝐶 5 / 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝐶 4 ) = =0.1 fijo

15 Pag.173 #20) Se diseña un circuito que debe tener 8 resistencias numeradas de 1 a 8 conectadas en serie. Si se instalan cuatro resistencias de marca A y cuatro de marca B. Cuál es la probabilidad de que las cuatro resistencias de marca A . A) Ocupen las cuatro primeras posiciones ? B) Esten siempre juntas ? fijo 𝑵 : 8 𝒓 : 4 𝑃( 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 …) 𝑃( 𝐴 1 ) . 𝑃( 𝐴 2 / 𝐴 1 ) . 𝑃( 𝐴 3 / 𝐴 1 𝐴 2 ) . 𝑃( 𝐴 4 / 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 ) = = 4!4! 8! Ocupen las cuatro primeras posiciones 𝑨 𝑩 4 4 3 2 1 fijo 𝐶 4 5 .𝑃( 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 ) 5!4! 8! ( …𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 …) Esten siempre juntas

16 JOSE SANDOVAL

17 Pag.196 12.La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules, mientras que la urna 2 contiene una bola roja y tres azules. Una bola es seleccionada aleatoriamente de la urna 1 y colocada en la urna 2. Luego una bola es seleccionada al azar de la urna 2 y colocada en la urna 1. Si ahora una bola es seleccionada al azar de la urna 1 ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea roja? Probabilidad que la primera bola extraída de la urna 1 sea roja: P= 2 4 = 1 2 , y se coloca a la urna 2 Ahora que la segunda bola extraída de la urna 2 sea roja: P= 2 5 , y se coloca a la urna 1 Por ultimo la probabilidad de extraer una bola roja P=2/4=1/2

18 La probabilidad para esa primera probabilidad es:
P=1/2 x 2/5 x ½ = 1/10 Entonces la probabilidad total del evento será : Donde R es roja y A azul , i=1,2 p = P(R1XR2XR1)+P(R1XA2XR1)+P(A1XA2XR1)+P(A1XR2XR1) p= = 9 20

19 Pag.174 28.Se va a seleccionar a 3 alumnos de 10 alumnos candidatos compuestos de 7 hombres y 3 mujeres para una determinada tarea. El seleccionador no sabe que los 10 alumnos están calificados de 1 a 10 según su eficiencia en esa tarea . Calcular la probabilidad de que la terna contenga: Uno de los 2 mejores y dos de los 3 peores candidatos Por lo menos una mujer Solución: a) Casos seguros: Se escoge 1 de los dos mejores : 𝐶 1 2 Se escoge 2 de los tres peores: 𝐶 2 3 Casos posibles: No se escoge los dos mejores ni los 3 peores : 𝐶 0 5 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝐶 1 2 𝐶 2 3 𝐶 𝐶 = 1 20

20 b) Por lo menos una mujer:
Hombres :7 Mujeres :3 P(M≥1)=1 −𝑃(𝑀=0) 𝑖=1 3 𝐶 3−𝑖 7 𝐶 𝑖 3 𝐶 = 1 –P(M=0) = 𝐶 3 7 𝐶 𝐶 = =

21 Pag.175 P(x*y*y-x)= 1 2 𝑥 1 2 𝑥 1 2 = 1 8 𝑦>𝑥 10 x y Sabemos que :
33. Un segmento de longitud 10 se divide en 3 segmentos. Calcular la probabilidad de que con tales segmentos se pueda construir un triangulo sabiendo que la suma de las longitudes de dos lados es mayor o igual que la longitud del tercero. 𝑦>𝑥 10 x y 10 Sabemos que : Esto quiere decir que : P(x)= 1 2 P(y)= 1 2 P(y-x)= 1 2 10−𝑥≥𝑥; x≤5 𝑦−𝑥≤𝑥+10−𝑦 ; 𝑦−𝑥≤5 𝑦≥10−𝑦 ; 𝑦≥5 P(x*y*y-x)= 1 2 𝑥 1 2 𝑥 1 2 = 1 8