UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION"— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION
2022 CONCRETO ARMADO II INTEGRANTES: ARIAS CARHUARICRA Elias BERNABE HURTADO Karen CHUQUIVILCA CONDOR Joseph HURTADO DAGA Brayam LUIS PAZ Sandy VILLANUEVA DAGA, Waldoly Migdol

2 PROBLEMAS RESUELTOS

3 EJEMPLO 2.1 𝑦 𝑢𝑛 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔2 = 474 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔2 . 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛. 3 plg 15 plg 18 plg 3 varillas #9 ( 𝐴 𝑠 = 𝑝𝑙𝑔 2 ) 12” Solución: 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛. 𝐼 𝑔 = 1 12 𝑏 ℎ 3 𝑐𝑜𝑛 𝑏=12 𝑝𝑙𝑔 𝑦 ℎ=18 𝑝𝑙𝑔 𝐼 𝑔 = 𝑝𝑙𝑔 18 𝑝𝑙𝑔 3 =18 𝑝𝑙𝑔 𝑓= 𝑀𝑦 𝐼 𝑔 𝑐𝑜𝑛 𝑀=25 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏= 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏 𝑝𝑜𝑟 12 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎. 𝑓= (12 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑥 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏)(9.00 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 =463 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 Como este esfuerzo es menor que la resistencia a la tensión o módulo de ruptura del concreto de 474 lb/plg2 , se supone que la sección no se agrieta. 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑀 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 𝐼 𝑔 𝑦 𝑡 = (474 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 )(5832 𝑝𝑙𝑔 4 ) 9.00 𝑝𝑙𝑔 = plg-lb = 25.6 pie/klb

4 EJEMPLO 2.2 𝑏 𝑓 =60 𝑝𝑙𝑔. ℎ 𝑓 =5 𝑝𝑙𝑔. 𝑦 =10.81 𝑝𝑙𝑔. 27 𝑝𝑙𝑔. 21.19 𝑝𝑙𝑔.
Si la viga T que se muestra no esta agrietada, calcular el esfuerzo en el concreto en las fibras extremas superiores e inferiores sujetas a un momento flexionante positivo de 80 pie-klb. Si 𝑓 𝑐 ′ =3000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 y se usa concreto de peso normal, ¿Cuál es la carga máxima distribuida uniformemente que la viga puede cargar si se usa como una viga simple con un claro de 24 pies sin sobrepasar el modulo de ruptura del concreto?. Repita la parte b) si la viga se invierte. ℎ 𝑓 =5 𝑝𝑙𝑔. 27 𝑝𝑙𝑔. 𝑏 𝑤 =12 𝑝𝑙𝑔. 𝑏 𝑓 =60 𝑝𝑙𝑔. Centroide 21.19 𝑝𝑙𝑔. 𝑦 =10.81 𝑝𝑙𝑔.

5 Solución: LOCALICE EL EJE NEUTRO CON RESPECTO A LA PARTE SUPERIOR DE LA SECCIÓN: 𝑦 = 𝑏 𝑓 ℎ 𝑓 ℎ 𝑓 𝑏 𝑓 ℎ− ℎ 𝑓 ℎ 𝑓 − ℎ− ℎ 𝑓 𝑏 𝑓 ℎ 𝑓 + 𝑏 𝑓 ℎ− ℎ 𝑓 𝑦 = 60 𝑝𝑙𝑔 5 𝑝𝑙𝑔 2.5 𝑝𝑙𝑔 + 12 𝑝𝑙𝑔 17 𝑝𝑙𝑔 5 𝑝𝑙𝑔+ 27 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 5 𝑝𝑙𝑔 + 12 𝑝𝑙𝑔 27 𝑝𝑙𝑔 =10.81 𝑝𝑙𝑔 El momento de inercia es: 𝐼 𝑔 = 𝑏 𝑤 ℎ 𝑓 𝑏 𝑓 ℎ 𝑓 𝑦 − ℎ 𝑓 𝑏 𝑤 ℎ− ℎ 𝑓 𝑏 𝑤 ℎ− ℎ 𝑓 𝑦 − ℎ 𝑓 − ℎ− ℎ 𝑓 = 60 𝑝𝑙𝑔 5 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 5 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔− 5 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 32 𝑝𝑙𝑔−5 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 32 𝑝𝑙𝑔−5 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔−5 𝑝𝑙𝑔− 27 𝑝𝑙𝑔 = 𝑝𝑙𝑔 4

6 𝑤= 8𝑀 𝑝 = 8 97.28 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 24 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 =1.351 𝑘/𝑝𝑖𝑒𝑠=1351 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒𝑠
El esfuerzo en la fibra inferior sometida al momento dado de 80 pie-klb es: 𝑓 𝑡𝑜𝑝 = 𝑀 𝑐 𝐼 = 80 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏 12 𝑝𝑙𝑔/𝑝𝑖𝑒 32 𝑝𝑙𝑔−10.81 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 4 = 𝑘/𝑝𝑙𝑔 2 =338 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 El esfuerzo en la fibra superior es: 𝑓 𝑡𝑜𝑝 = 𝑀 𝑐 𝐼 = 80 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏 12 𝑝𝑙𝑔/𝑝𝑖𝑒 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 4 = 𝑘/𝑝𝑙𝑔 2 =172 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 EL MODULO DE RUPTURA 𝑓 𝑟 DEL CONCRETO DE PESO NORMAL CON 𝑓 𝑐 ′ =3000 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 ES: 𝑓 𝑟 =7.5λ 𝑓 𝑐 ′ = =411 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 El momento que causa un esfuerzo igual al modulo de ruptura es: 𝐼 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 𝐼 𝑔 𝑐 = 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔−10.81 𝑝𝑙𝑔 = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=97.28 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏 La carga uniformemente distribuida en un claro simple que causa un momento de esta magnitud es: 𝑤= 8𝑀 𝑝 = 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 =1.351 𝑘/𝑝𝑖𝑒𝑠=1351 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒𝑠

7 8𝑀 𝑝 = 8 190.69 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 24 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 =2.648 𝑘/𝑝𝑖𝑒𝑠=2648 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒𝑠
SI LA VIGA ESTA INVERTIDA, ENTONCES EL TERMINO C QUE SE USA PARA CALCULAR 𝑀 𝑐𝑟 ES plg en vez de plg, por tanto:: 𝑀 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 𝐼 𝑔 𝑐 = 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 =2, 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏= 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 La carga uniformemente distribuida en un claro simple que cusa un momento de esta magnitud es: 8𝑀 𝑝 = 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 =2.648 𝑘/𝑝𝑖𝑒𝑠=2648 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒𝑠 Esto es casi el doble de la carga que la viga puede cargar si esta orientada en el sentido opuesto. Sin embargo, no se quede con la impresión de que esta es la mejor orientación de una viga T. En la siguiente sección, cuando examinemos las secciones reforzadas, lo opuesto será cierto.

8 𝐼= ( 1 3 ) (12 𝑝𝑙𝑔)( 6.78𝑝𝑙𝑔) 3 + 9 3.00 𝑝𝑙𝑔 2 10.22 plg 2
EJEMPLO 2.3 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.7 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎; 𝑓′𝑐 = 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 , 𝑛 = 9 𝑦 𝑀 = 70 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏. Solución: Tomando momentos respecto al eje neutro (12 𝑝𝑙𝑔)(𝑥)( 𝑥 12 )= 𝑝𝑙𝑔 (17 𝑝𝑙𝑔−𝑥) 6 𝑥 2 =459−27.00𝑥 Se resuelve la ecuación completando el cuadro 𝑥 𝑥=76.5 𝑥 𝑥+2.25 = (2.25) 2 𝑥= (2.25) 2 𝑥=6.780 𝑝𝑙𝑔 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝐼= ( 1 3 ) (12 𝑝𝑙𝑔)( 6.78𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 plg 2 𝐼=4067 𝑝𝑙𝑔 4 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑓 𝑐 = 𝑀𝑦 𝐼 = (12)(70000 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏)(6.78 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 =1400 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 =𝑛 𝑀𝑦 𝐼 =(9) (12)(70000 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏)(10.22 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 =18998 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 3 “ 17 “ 20 “ 3 varillas #9 𝐴 𝑠 = 𝑝𝑙𝑔 2 12” 𝑁.𝐴 𝑛 𝐴 𝑠 =27 𝑝𝑙𝑔 2 x 17 plg - x 12” 17 “

9 EJEMPLO 2.4 Determine el momento resistente permisible del ejemplo de la viga del ejemplo 2.3, si los esfuerzos permisibles son: y 𝑓 𝑐 =1350 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑀 𝑐 = 𝑓 𝑐 𝐼 𝑦 = (1350 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 )(4067 𝑝𝑙𝑔 4 ) 6.78 𝑝𝑙𝑔 = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=67.5 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 𝑀 𝑠 = 𝑓 𝑠 𝐼 𝑛𝑦 = (20000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 )(4067 𝑝𝑙𝑔 4 ) (9)(10.22 𝑝𝑙𝑔) = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=73.7 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏

10 EJEMPLO 2.5 Calcular los esfuerzos de flexión en la viga mostrada en la Figura 2.9 usando el método de la sección transformada; n=8 y M=110 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 6” 6” 6” 6” x N.A 23” 23-x 4 varillas #10 5.06 𝑝𝑙𝑔 2 3” 18” Figura 2.9 Sección transversal de la viga del ejemplo 2.5.

11 18 𝑝𝑙𝑔 𝑥 𝑥 2 −(6𝑝𝑙𝑔)(6𝑝𝑙𝑔)(𝑥−3𝑝𝑙𝑔)=(8)(5.06 𝑝𝑙𝑔 2 )(23 𝑝𝑙𝑔 −𝑥)
Solución Se localiza el eje neutro (supóngase que el eje neutro se encuentra debajo de la muesca) 18 𝑝𝑙𝑔 𝑥 𝑥 2 −(6𝑝𝑙𝑔)(6𝑝𝑙𝑔)(𝑥−3𝑝𝑙𝑔)=(8)(5.06 𝑝𝑙𝑔 2 )(23 𝑝𝑙𝑔 −𝑥) 9𝑥 2 −36𝑥+108=931−40.48𝑥 9𝑥 2 −4.48𝑥=823 𝑥 2 −0.50𝑥=91.44 𝑥 𝑥+0.25 = (0.25) 2 =91.50 x=0.25= =9.57 x=9.32 𝑝𝑙𝑔><𝑝𝑙𝑔 La posición supuesta para el eje neutro, debajo de la muesca es correcta Momento de inercia 𝐼= 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 3 +(8) (5.06 𝑝𝑙𝑔 2 ) 𝑝𝑙𝑔 2 = 𝑝𝑙𝑔 4

12 𝑓 𝑐 = (12)(110000 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏)(9.32 𝑝𝑙𝑔) 10887 𝑝𝑙𝑔 4 =1130 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2
Calculo de los esfuerzos 𝑓 𝑐 = (12)( 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏)(9.32 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 =1130 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 =(8) (12)( 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏)(13.68 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2

13 Ejemplo 2.6 (𝑏 𝑓 − 𝑏 𝑤 ) ℎ 𝑓 (𝑥− ℎ 𝑓 2 )+ 𝑏∗𝑥 2 2 =𝑛 𝐴 𝑠 (𝑑−𝑥)
Calcular los momentos flexionantes en el concreto y en el acero de refuerzo, usando el método del área transformada f’c = lb/plg2, concreto de peso normal, n=9 y M= 250pie-klb: 𝑏 𝑦 =60𝑝𝑙𝑔 𝑏 𝑦 =60𝑝𝑙𝑔 ℎ 𝑦 =5𝑝𝑙𝑔 ℎ 𝑦 =5𝑝𝑙𝑔 𝑑=28𝑝𝑙𝑔 𝑛𝐴 𝑆 =42.39 𝑝𝑙𝑔 2 𝐴 𝑆 =6Ø8𝑝𝑙𝑔 𝑏 𝑊 =12𝑝𝑙𝑔 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑏 𝑊 =12𝑝𝑙𝑔 (𝑏 𝑓 − 𝑏 𝑤 ) ℎ 𝑓 (𝑥− ℎ 𝑓 2 )+ 𝑏∗𝑥 2 2 =𝑛 𝐴 𝑠 (𝑑−𝑥) 60 𝑝𝑙𝑔−12𝑝𝑙𝑔)(5𝑝𝑙𝑔) (𝑥− 5𝑝𝑙𝑔 2 )+ 12𝑝𝑙𝑔∗𝑥 2 2 =(9)(4.71 𝑝𝑙𝑔 2 )(28𝑝𝑙𝑔−𝑥) 𝑋=5.65 𝑝𝑙𝑔. 𝑋< ℎ 𝑓 .

14 = 𝑀 𝑥 𝐼 𝑐𝑟 = (250𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏)(5.65𝑝𝑙𝑔)( 12𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒 ) 24.778 𝑝𝑙𝑔 4
𝐼 𝑐𝑟 = ( 𝑏 𝑓 − 𝑏 𝑤 ) ℎ 𝑓 ( 𝑏 𝑓 − 𝑏 𝑤 ) ℎ 𝑓 (𝑥− ℎ 𝑓 2 ) 2 + 𝑏 𝑤 ∗ 𝑥 𝑏 𝑤 𝑥 𝑥 2 +𝑛 𝐴 𝑠 (𝑑− 𝑥 2 ) 𝐼 𝑐𝑟 = (60𝑝𝑙𝑔−12𝑝𝑙𝑔)( 5𝑝𝑙𝑔) (60𝑝𝑙𝑔−12𝑝𝑙𝑔)(5𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔− 5𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔∗ 5.65𝑝𝑙𝑔 +(9)(4.71 𝑝𝑙𝑔 2 )(28𝑝𝑙𝑔−5.65𝑝𝑙𝑔) = 𝑝𝑙𝑔 4 La sección en T puede dividirse en rectángulos de distintas maneras y el resultado seria el mismo. Ahora hallaremos el esfuerzo en el concreto: = 𝑀 𝑥 𝐼 𝑐𝑟 = (250𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏)(5.65𝑝𝑙𝑔)( 12𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒 ) 𝑝𝑙𝑔 4 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 <24000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 Esta viga seria llamada “controlada por tensión” porque la capacidad de momento esta controlada por el acero, no por el concreto. Esta misma viga seria controlada por compresión si se usara una cantidad mucho mayor de acero. = 𝑘𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 = 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2

15 Localización del eje neutro N.A.
EJEMPLO 2.7 14" 2𝑛−1 𝐴 𝑠 𝑛𝐴 𝑠 Calcular los esfuerzos de flexión de la Viga mostrada en la figura; 𝑛=10 𝑦 𝑀=118 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 15" 14" 4𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠#9 2 1 2 " 20" ( 𝐴 𝑠 =4 𝑝𝑙𝑔 2 ) 2𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠#9 ( 𝐴 𝑠 =2 𝑝𝑙𝑔 2 ) 17.5𝑝𝑙𝑔− 𝑥 𝑥 Sección transformada Localización del eje neutro N.A. Solución: 14𝑥𝑝𝑙𝑔 𝑋 2 +(20−1)(2 𝑝𝑙𝑔 2 )(𝑥−2.5𝑝𝑙𝑔)= 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑝𝑙𝑔−𝑋 7 𝑋 2 +38𝑥−95=700−40𝑋 7 𝑋 2 +78𝑋=795 𝑋 𝑋=113.57 𝑋+5.57= 𝑋=6.45𝑝𝑙𝑔 Sección Real

16 Momento de Inercia 𝐼 𝑥 = 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 3 )+(20−1 2 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 2 +(10)(4 𝑝𝑙𝑔 2 ) (11.05𝑝𝑙𝑔) 2 𝐼 𝑥 =6729 𝑝𝑙𝑔 4 Esfuerzos por flexión 𝑓 𝑐 = 𝑀 𝑦 𝐼 = (12)( 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏) (6.45 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 =1357 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓´ 𝑠 =2𝑛 𝑀 𝑦 𝐼 =2∗10∗ 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 4 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 =𝑛 𝑀 𝑦 𝐼 =10∗ (12)( 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏) (11.05 𝑝𝑙𝑔) 𝑝𝑙𝑔 4 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2

17 EJEMPLO 2.8 Solución: 𝑇= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 = 3 𝑝𝑙𝑔 2 60 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 =180𝑘𝑙𝑏
Cálculo de las fuerzas T y C de tensión y compresión Determinar la resistencia 𝑀 𝑛 por momento último teórico o nominal de la sección de la viga mostrada en la figura, si 𝑓 𝑦 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑦 𝑓´ 𝑐 =3 000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑇= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 = 3 𝑝𝑙𝑔 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 =180𝑘𝑙𝑏 𝐶=0.85 𝑓´ 𝑐 ∗𝑎𝑏=(0.85)(30 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 )(𝑎)(14𝑝𝑙𝑔)=35.7𝑎 21" 14" 3#9 3" 24" 𝐶 𝑇 𝑎 ( 𝐴 𝑠 =3 𝑝𝑙𝑔 2 ) 0.85 𝑓´ 𝑐 𝑑− 𝑎 2 Igualando T y C despejando a 𝑇=𝐶 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 180=35.7𝑎 𝑎=5.04 𝑝𝑙𝑔 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 =0.85 𝑓´ 𝑐 ∗𝑎𝑏 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓´ 𝑐 ∗𝑏 𝑀 𝑛 = 18𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 𝑀 𝑛 = 𝑝𝑙𝑔−𝑘𝑙𝑏 𝑀 𝑛 =277.2𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 Resistencia Nominal por momento 𝑑− 𝑎 2 =21 𝑝𝑙𝑔− 5.04 𝑝𝑙𝑔 2 =18.48 𝑝𝑙𝑔

18 Ejemplo 2.9 Solución: 6” 6” 6” 6”
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.13, 𝑠𝑖 𝑓 𝑦 =60000 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 𝑦 𝑓′ 𝑐 =3000𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 . Los bordes de 6 plg de ancho en la parte superior son necesarios para soportar losas de concreto precoladas. 6” 6” 6” Solución: 6” 𝑇= 𝐴 𝑐 𝑓 𝑦 = 𝑝𝑙𝑔 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 =240 𝑘𝑙𝑏 𝐶=(0.85 𝑓 ′ 𝑐 )(𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐴 𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑓 ′ 𝑐 ) 24” 15” =0.85 𝑓′ 𝑐 𝐴 𝑐 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑇 𝑦 𝐶 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 𝐶 𝐴 𝑐 =4.00 pl g 2 𝐴 𝐶 = 𝑇 0.85 𝑓′ 𝑐 = 240 (0.85)(3 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 ) =94.12 𝑝𝑙𝑔 2 3” 18” 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.13

19 c.g. del área 𝐴 𝑐 de comprensión
𝐿𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑔 2 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.14 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎 0.85 𝑓′ 𝑐 . 𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 9.23 𝑝𝑙𝑔 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎. 𝑆𝑢 𝑐.𝑔. 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒: c.g. del área 𝐴 𝑐 de comprensión Ӯ= 36 𝑝𝑙𝑔 2 3𝑝𝑙𝑔 +(58.12 𝑝𝑙𝑔 2 )(6𝑝𝑙𝑔+ 3.23𝑝𝑙𝑔 2 ) 94.12 36 𝑝𝑙𝑔 2 Ӯ 6” a=9.23” Ӯ=5.85𝑝𝑙𝑔 𝑝𝑙𝑔 2 d-Ӯ 𝑑−Ӯ=21𝑝𝑙𝑔 −5.85𝑝𝑙𝑔=15.15𝑝𝑙𝑔 58.12 𝑝𝑙𝑔 18 𝑝𝑙𝑔 =3.23" 𝑀 𝑐 = 240𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 𝑀 𝑐 =3636 𝑝𝑙𝑔∗𝑘𝑙𝑏=303 𝑝𝑖𝑒∗𝑘𝑙𝑏 18” 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.14

20 Ejemplo 2.10 Solución: T=C 𝐴 𝑠 𝑓 𝑐 =0.85 𝑓′ 𝑐 𝑎𝑏 500 mm 470 mm
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 2.15 𝑠𝑖 𝑓′ 𝑐 =28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓 𝑦 =420 𝑀𝑃𝑎. Solución: T=C 𝐴 𝑠 𝑓 𝑐 =0.85 𝑓′ 𝑐 𝑎𝑏 500 mm 470 mm 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓′ 𝑐 𝑏 = (1530𝑚 𝑚 2 )(420𝑀𝑃𝑎) (0.85)(28𝑀𝑃𝑎)(300𝑚𝑚) =90𝑚𝑚 𝐴 𝑠 30 mm 𝑀 𝑎 =𝑇 𝑑− 𝑎 2 =𝐶 𝑑− 𝑎 2 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 300 mm 𝑀 𝑎 =(1530𝑚 𝑚 2 )(420𝑀𝑃𝑎)(430𝑚𝑚− 90𝑚𝑚 2 ) 𝐴 𝑠 =1530 𝑚𝑚 2 ;3 varillas #25 𝑀 𝑎 =2.474× 10 8 𝑁.𝑚𝑚=247.4 𝑘𝑁.𝑚

21 PROBLEMAS PROPUESTOS

22 PROBLEMA 2.2 Solución: 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐼 𝑔 = 𝑏 ℎ 3 =( 1 12 )(14 𝑝𝑙𝑔)( 21 𝑝𝑙𝑔) 3 = 𝑝𝑙𝑔 4 𝐼 𝑔 = 𝑝𝑙𝑔 4 Modulo de la ruptura 𝑓 𝑟 = 𝑓 ′ 𝑐 = 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 =474 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑟 =474 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 Momento de agrietamiento 𝑀 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 ( 𝐼 𝑔 ) 𝑌 𝑡 𝑀 𝑐𝑟 = (10805) 10.5 = 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏 Determine los momentos de agrietamiento para la sección mostrada si f ′ c = lb/plg2, el módulo de ruptura es 𝑓 𝑟 = 7.5λ f´c concreto de peso normal, λ = 1.0. 3 plg 18 plg 21 plg 2 varillas #9 14 plg

23 Momento de agrietamiento
PROBLEMA 2.4 Solución: 𝐴= =228 𝑝𝑢𝑙𝑔 2 ) 𝑦 = = plg Determine los momentos de agrietamiento para la sección mostrada si f ′ c = lb/plg2, el módulo de ruptura es 𝑓 𝑟 = 7.5λ f´c concreto de peso normal, λ = 1.0. 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝐼 𝑔 = 𝑏 ℎ 3 =( 1 3 )(6 𝑝𝑙𝑔)( 𝑝𝑙𝑔) 3 +( 1 3 )(18 𝑝𝑙𝑔)( 9.84 𝑝𝑙𝑔) 3 −+( 1 3 )(12 𝑝𝑙𝑔)( 3.84 𝑝𝑙𝑔) 3 𝐼 𝑔 = 𝑝𝑙𝑔 4 Modulo de la ruptura 𝑓 𝑟 = 𝑓 ′ 𝑐 = 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 =474 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑟 =474 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 Momento de agrietamiento 𝑀 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 ( 𝐼 𝑔 ) 𝑌 𝑡 𝑀 𝑐𝑟 = (13930) 9.84 = 𝑝𝑖𝑒−𝑙𝑏 26 plg 4 #8 6 plg 3 plg 20 plg 18 plg 𝑦

24 PROBLEMA 2.6 Solución: 𝐼 𝑔 = 1 12 14 24 3 =16.128 𝑝𝑙𝑔 4
Calcule la carga uniforme (adicional al peso propio de la viga) que ocasionará que las secciones empiecen a agrietarse si se usan en claros simplemente apoyados de 28 pies. 𝑀 𝑛 de cada viga, si 𝑓 𝑐 ′ =4000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 , 𝑓 𝑟 =7.5λ 𝑓 𝑐 ′ , concreto de peso normal, λ=1.0, y peso eso del concreto reforzado =150 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 3 𝐼 𝑔 = = 𝑝𝑙𝑔 4 𝑓 𝑠 = =474 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 𝑀 𝑐𝑟 = = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏 4#7 14 𝑝𝑙𝑔. 3 𝑝𝑙𝑔. 21 𝑝𝑙𝑔. 24 𝑝𝑙𝑔. 𝑀 𝑐𝑟 =53.1 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 𝑤 𝑙 2 8 =53.1 𝑤 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = =0.542 𝑘/𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑤 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =− =−0.4 𝑤 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =0.142 𝑘/𝑝𝑖𝑒𝑠

25 PROBLEMA 2.8 Solución: 14𝑥 𝑥 2 = 8 3.14 17−𝑥 7𝑥 2 +25.12𝑥=427
Suponer que las secciones están agrietadas y use el método de la sección transformada para calcular sus esfuerzos de flexión para las cargas o momentos dados. Locación del Eje Neutro 14𝑥 𝑥 2 = −𝑥 17 𝑝𝑙𝑔. 4#8 20 𝑝𝑙𝑔. 3 𝑝𝑙𝑔. 14 𝑝𝑙𝑔. M=60 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 n=8 17 −x 𝑝𝑙𝑔. 7𝑥 𝑥=427 𝑥=6.22 𝑝𝑙𝑔 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎: 𝐼 𝑥 = = 𝑝𝑙𝑔 4 Tensión de flexión: 𝑓 𝑐 = = 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = = 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2

26 PROBLEMA 2.10 Solución: Determine los esfuerzos de flexión para M = 120 pie – klb. Usar el método de la sección transformada, además suponer que la sección es agrietada. n = 9 𝐿𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 18𝑥 𝑥 2 = −𝑥 9 𝑥 2 =1620−72𝑥 𝑥=10 𝑝𝑙𝑔 3 plg 21 plg 27 plg 8 #9 18 plg x x 22.5 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝐼 𝑔 = (18) 𝑝𝑙𝑔 = 𝑝𝑙𝑔 4 𝐼 𝑔 = 𝑝𝑙𝑔 4 Tensión de flexión 𝑓 𝑐 = =835 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = =9391 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2

27 EJEMPLO 2.12 Suponga que las secciones están agrietadas y use el método de la sección transformada para calcular sus esfuerzos de flexión para las cargas o momentos dados. 1.5 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 = (incluyendo el peso de la viga) 𝑛=10 𝑝𝑙𝑔 20 𝑝𝑙𝑔 4#8 24 𝑝𝑖𝑒 2 1 2 𝑝𝑙𝑔 12 𝑝𝑙𝑔 Solución 𝑋 𝑁.𝐴. 𝑝𝑙𝑔 3.14 𝑝𝑙𝑔 2 17.5−𝑋 𝑝𝑙𝑔 4#8 2 1 2 𝑝𝑙𝑔 12 𝑝𝑙𝑔

28 (12𝑥)( 𝑥 2 )=(10)(3.14)(17.5−𝑥) 6 𝑥 2 =549.5−31.4𝑥 6 𝑥 2 +31.4𝑥=549.5
Localizar N.A. (12𝑥)( 𝑥 2 )=(10)(3.14)(17.5−𝑥) 6 𝑥 2 =549.5−31.4𝑥 6 𝑥 𝑥=549.5 𝑥=7.30 𝑝𝑙𝑔 Momento de Inercia. 𝐼 𝑥 = =4823 𝑝𝑙𝑔 4 Calculo de los esfuerzos. 𝑛= 𝑤 𝑙 2 8 = (1.5) (24) 2 8 =108 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 𝑓 𝑐 = (12)(108,000)(7.30) 4823 =1962 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = (10)(12)(108,000)(10.2) 4823 =27,400 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2

29 EJEMPLO 2.14 Suponga que las secciones están agrietadas y use el método de la sección transformada para calcular sus esfuerzos de flexión para las cargas o momentos dados. 5” 5” 5” 4plg M = 70 pie-klb N = 9 30plg 23plg 4#9 3plg 15plg

30 5𝑥 𝑥 2 + 2 5 𝑥−4 𝑥−4 2 =(9)(4.00)(27−𝑥) 2.5 𝑥 2 +5 𝑥 2 −40𝑥+80=972−36𝑥
Solución Localizar N.A. (asume x > 4”) 5” 5” 5” 5𝑥 𝑥 𝑥−4 𝑥−4 2 =(9)(4.00)(27−𝑥) 4plg x 2.5 𝑥 2 +5 𝑥 2 −40𝑥+80=972−36𝑥 7.5 𝑥 2 −4𝑥=892 𝑁.𝐴. 30plg 𝑥=11.18 𝑝𝑙𝑔 > 4 𝑝𝑙𝑔 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 23plg 27- x 4.00 𝑝𝑙𝑔 2 Momento de Inercia 4#9 3plg 𝐼 𝑥 = (9)(4.00) (15.82) 2 15plg =12,573 𝑝𝑙𝑔 4

31 EJEMPLO 2.16 𝑓 𝑐 = (12)(70000)(11.18) 12573 =747 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2
Calculo de los esfuerzos. 𝑓 𝑐 = (12)(70000)(11.18) =747 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = (9)(12)(70000)(15.82) =9512 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 EJEMPLO 2.16 Calcule el momento resistente de la viga de Problema 2.13, si se emplean ocho varillas de #10 y si 𝑛=10 𝑓 𝑠 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 y 𝑓 𝑐 =1125 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 Use el método de la sección transformada

32 𝑚 𝑐 = 𝑓 𝑐 𝐼 𝑥 𝑥 = (1125)(47228) 14.76 =3600000 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=300 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏
Solución Momento de Inercia x 𝐼 𝑥 = − = 𝑝𝑙𝑔 4 d = 32plg 𝑝𝑙𝑔 2 Momento Resistente 8#10 𝑚 𝑐 = 𝑓 𝑐 𝐼 𝑥 𝑥 = (1125)(47228) = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=300 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏 16plg 𝑚 𝑠 = 𝑓 𝑠 𝐼 𝑥 𝑛(𝑑−𝑥) = (20000)(47228) (10)(17.24) = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=456.6 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘𝑙𝑏 Localizar N.A. 16𝑥 𝑥 2 =(10)(10.12)(32−𝑥) 8 𝑥 2 =3238−101.2𝑥 8 𝑥 𝑥=3238 𝑥=14.76 𝑝𝑙𝑔

33 EJEMPLO 2.18 Determine los esfuerzos de flexión en estos miembros, aplicando el método de la sección transformada 48 plg 4 plg 𝑀=100 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 14 plg 21 plg 3#9 𝑛=10 3 plg 12 plg

34 Asume N.A. en el lugar 48 plg 4 plg x 3.00 𝑝𝑙𝑔 2 14 plg 18-x 3#9 3 plg 12 plg 48𝑥 𝑥 2 − 36 𝑥−4 𝑥−4 2 =(10)(3.00)(18−𝑥) 24 𝑥 2 −18 𝑥 𝑥−288=540−30𝑥 6 𝑥 𝑥=828 𝑥=4.16 𝑝𝑙𝑔 (lugar del eje neutral)

35 Momento de Inercia 𝐼 𝑥 = − (3.00) (13.84) 2 =6898 𝑝𝑙𝑔 4 Calculo de los esfuerzos 𝑓 𝑐 = (12)(100000)(4.16) 6898 =724 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = (10)(12)(100000)(13.84) 6898 =24077 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2

36 EJEMPLO 2.20 determine los esfuerzos de flexión, aplicando el método de la sección transformada. 15 plg 2#8 24 plg 3 plg 6 plg 10 plg 10 plg 𝑀=90 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 𝑛=9

37 20𝑋 𝑋 2 − 1 2 𝑋 10 24 𝑋 2 1 3 𝑋 =(9)(1.57)(16.5−𝑋) Solución N.A.
x 15 plg 1.57 𝑝𝑙𝑔 2 x 2#8 24 plg 3 plg 6 plg 10 plg 10 plg Localice N.A. 20𝑋 𝑋 2 − 𝑋 𝑋 𝑋 =(9)(1.57)(16.5−𝑋)

38 10 𝑋 2 −0.139 𝑋 3 =233.5−14.13𝑋 𝑋 2 −0.139 𝑋 𝑋=23.35 𝑋=4.29 𝑝𝑙𝑔 Momento de Inercia 𝐼 𝑥 = − (0.417𝑥4.29)(2) (4.29) 3 12 (12.21) 2 =2636 𝑝𝑙𝑔 4 Calculo de los esfuerzos 𝑓 𝑐 = (12)(90000)(4.29) =1758 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑠 = (9)(12)(90000)(12.21) =45023 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2

39 PROBLEMA N°22 12 𝑝𝑙𝑔. 1#10 2 𝑝𝑙𝑔. 4 𝑝𝑙𝑔. 16 𝑝𝑙𝑔. 2#10 10 𝑝𝑙𝑔.
Calcule el momento resistente permisible de la sección mostrada aplicando el método de la sección transformada, si 𝑓 𝑐 =1800 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 , 𝑓 𝑠 = 𝑓 𝑠 ′ =24000 𝑙𝑏 /𝑝𝑙𝑔 2 y n=8. 16 𝑝𝑙𝑔. 1#10 10 𝑝𝑙𝑔. 12 𝑝𝑙𝑔. 4 𝑝𝑙𝑔. 2 𝑝𝑙𝑔. 2#10

40 Solución: 12−4 4 𝑥−2 + 4𝑥 𝑥 2 + 15 1.27 𝑥−2 = 8 2.53 22−𝑥
12−4 4 𝑥−2 + 4𝑥 𝑥 𝑥−2 = −𝑥 32𝑥−64+2 𝑥 2 +19𝑥−38=445−20.24𝑥 2 𝑥 𝑥=547 𝑥=6.49 𝑝𝑙𝑔 Momento de Inercia: 𝐼 𝑥 = − =6305 𝑝𝑙𝑔 4 Momento resistente permisible: 𝑚 𝑐 = =1, 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=145.7 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 𝑚 𝑠 ′ = =2, 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=175.5 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 𝑚 𝑠 = =1, 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=101.6 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘

41 PROBLEMA N°24 Usando el método de sección transformada, determine los momentos resistentes permisibles de las secciones mostradas. Placa de acero de 𝑝𝑙𝑔× 𝑝𝑙𝑔 𝐸 𝑆 =29× 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 , 𝑓 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛=24000 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 Dimensiones de tablones de madera cepillada 𝑝𝑙𝑔× 𝑝𝑙𝑔 𝐸 𝑤 =1.76× 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 , 𝑓 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛=1875 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2

42 Solución: 9.50 𝑝𝑙𝑔. 10.74 𝑝𝑙𝑔. 8.24 𝑝𝑙𝑔. 1.25 𝑝𝑙𝑔.
Sección transformada 9.50 𝑝𝑙𝑔. 10.74 𝑝𝑙𝑔. 8.24 𝑝𝑙𝑔. 1.25 𝑝𝑙𝑔. 𝑚= 29× × =16.48 Momento de Inercia: 𝐼 𝑥 = = 𝑝𝑙𝑔 4 Momento resistente permisible: 𝑚 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=25.24 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘 𝑚 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = = 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏 =19.61 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘

43 Solución: PROBLEMA N°26 16 𝑝𝑙𝑔.
Determine la capacidad por momento nominal o teórico 𝑀 𝑛 de cada viga, si 𝑓 𝑦 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 y 𝑓 𝑐 ′ =4000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 21 𝑝𝑙𝑔. 3#8 16 𝑝𝑙𝑔. 24 𝑝𝑙𝑔. 3 𝑝𝑙𝑔. Solución: 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓 𝑐 ′ 𝑏 = =2.96 𝑝𝑙𝑔 Utilizando 3#8 barras (2.35 𝑝𝑙𝑔 2 ): 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 = − =2752 𝑝𝑙𝑔−𝑘=229.3 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘

44 Solución: PROBLEMA N°28 16 𝑝𝑙𝑔.
Determine la capacidad por momento nominal o teórico 𝑀 𝑛 de cada viga, si 𝑓 𝑦 = 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 y 𝑓 𝑐 ′ =4000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 25 𝑝𝑙𝑔. 4#10 16 𝑝𝑙𝑔. 28 𝑝𝑙𝑔. 3 𝑝𝑙𝑔. Solución: 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓 𝑐 ′ 𝑏 = =5.58 𝑝𝑙𝑔 Utilizando 4#8 barras (5.06 𝑝𝑙𝑔 2 ): 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 = − =6743 𝑝𝑙𝑔−𝑘=561.9 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘

45 Solución: PROBLEMA N°30 Si 𝑓 𝑦 =60 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 y 𝑓 𝑐 ′ =4.0 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2
Determine la capacidad nominal por momento 𝑀 𝑛 para cada una de las vigas rectangulares. Si 𝑓 𝑦 =60 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 y 𝑓 𝑐 ′ =4.0 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 21 𝑝𝑙𝑔. 3#9 14 𝑝𝑙𝑔. 24 𝑝𝑙𝑔. 3 𝑝𝑙𝑔. Solución: 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓 𝑐 ′ 𝑏 = =3.78 𝑝𝑙𝑔 Utilizando 3#9 barras (3.00 𝑝𝑙𝑔 2 ): 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 = − =3440 𝑝𝑙𝑔−𝑘=286.6 𝑝𝑖𝑒𝑠−𝑘

46 PROBLEMA N° 2.32 Datos: Solución: 𝑓′ 𝑐 =5.0 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑏=14 𝑝𝑙𝑔
Determine la capacidad nominal por 𝑀 𝑛 para cada una de las vigas rectangulares. Datos: 𝑓′ 𝑐 =5.0 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑏=14 𝑝𝑙𝑔 𝑑=20.5 𝑝𝑖𝑔 𝑓 𝑦 =60 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑉𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠=4 #10=5.06 𝑝𝑙𝑔 2 Solución: 𝑎= 𝐴 𝑆 ∗𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗𝑏 = ∗(60) ∗ 5 ∗(14) =5.10 𝑝𝑙𝑔 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 ∗ 𝑑− 𝑎 2 = 5.06 ∗ 60 ∗ 20.5− 𝑀 𝑛 =5,450 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏= 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏

47 PROBLEMA N° 2.34 Datos: Solución: 𝑓′ 𝑐 =3.0 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑏=22 𝑝𝑙𝑔
Determine la capacidad nominal por 𝑀 𝑛 para cada una de las vigas rectangulares. Datos: 𝑓′ 𝑐 =3.0 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑏=22 𝑝𝑙𝑔 𝑑=26 𝑝𝑖𝑔 𝑓 𝑦 =60 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 𝑉𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠=6#11=9.37 𝑝𝑙𝑔 2 Solución: 𝑎= 𝐴 𝑆 ∗𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗𝑏 = ∗(60) ∗ 3 ∗(22) =10.02 𝑝𝑙𝑔 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 ∗ 𝑑− 𝑎 2 = 9.37 ∗ 60 ∗ 36− 𝑀 𝑛 =17,422 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏=1, 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏

48 Calcule 𝑀 𝑛 para la viga si se emplean 4 varillas #8.
PROBLEMA N° 2.36 Calcule 𝑀 𝑛 para la viga si se emplean 4 varillas #8. Solución: 10” 14” 10” 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝐴 𝑐 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 4” 𝐴 𝑐 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 = ∗(60) ∗(4) = 𝑝𝑙𝑔 2 8” 𝑎= =1.63 𝑝𝑙𝑔 4 #8 7” 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 ∗ 𝑑− 𝑎 2 3” 𝑀 𝑛 = 3.14 ∗ 60 ∗(19− ) 24” 𝐴 𝑠 =4 #8=3.14 𝑝𝑙𝑔 2 𝑀 𝑛 =3, 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏= 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏

49 Calcule 𝑀 𝑛 para la viga si se emplean 6 varillas #8.
PROBLEMA N° 2.38 Calcule 𝑀 𝑛 para la viga si se emplean 6 varillas #8. Solución: 10” 14” 10” 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝐴 𝑐 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 4” 𝐴 𝑐 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 = ∗(60) ∗(4) = 𝑝𝑙𝑔 2 8” 𝑎= =2.44 𝑝𝑙𝑔 6 #8 7” 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 ∗ 𝑑− 𝑎 2 3” 𝑀 𝑛 = 4.71 ∗ 60 ∗(19− ) 24” 𝑀 𝑛 =5,024 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏= 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 𝐴 𝑠 =6 #8=4.71 𝑝𝑙𝑔 2

50 PROBLEMA N° 2.40 Determinar la carga nominal , 𝑤 𝑛 (incluye el peso de la viga), que cause un momento flexionante igual a 𝑀 𝑛 ∗ 𝑓 𝑦 =60,000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 𝑓 ′ 𝑐 =4,000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 14” Solución: 𝑎= 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗𝑏 = ∗(60) ∗ 4 ∗(14) =3.78 𝑝𝑙𝑔 2 23” 26” 3 #9 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 ∗ 𝑑− 𝑎 2 = 3.00 ∗ 60 ∗(23− ) 𝐴 𝑠 =3 #9=3.00 𝑝𝑙𝑔 2 =3,800 𝑝𝑙𝑔−𝑙𝑏= 𝑝𝑖𝑒−𝑘𝑙𝑏 𝑤 𝑛 ∗𝐿 2 8 = 𝑀 𝑛 =3.16 𝑤 𝑛 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 𝑤 𝑛 = 8 ∗(316.6) =7.82 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 18”

51 Momento de agrietamiento
PROBLEMA 2.42 Solución: Momento de Inercia 𝐼 𝑥 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑥 =6.3∗ 𝑚𝑚 4 𝑓 𝑟 =0.7 ´𝐹´ 𝐶 = =3.704 𝑀𝑃𝑎 𝑀 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 𝐼 𝑥 𝑑− 𝑦 = ∗ 𝑀 𝑐𝑟 =7.78∗ 𝑁∗𝑚𝑚 𝑀 𝑐𝑟 =77.8 𝐾𝑁∗𝑚 Determine los momentos de agrietamiento para las secciones mostradas si 𝑓´ 𝑐 =28𝑀𝑃𝑎 y si el módulo de ruptura es 𝑓 𝑟 =0.7 𝑓´ 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑓´ 𝑐 en MPa Módulo de Ruptura 520𝑚𝑚 350 𝑚𝑚 3#19 80𝑚𝑚 600𝑚𝑚 𝑥 =300mm Momento de agrietamiento

52 Momento de agrietamiento
Solución: 𝐴= 𝐴= 𝑚𝑚 2 Ӯ= (80 000)(300) = 𝑚𝑚 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑥 =3.26∗ 𝑚𝑚 4 𝑓 𝑟 =0.7 ´𝐹´ 𝐶 = =3.704 𝑀𝑃𝑎 𝑀 𝑐𝑟 = 𝑓 𝑟 𝐼 𝑥 𝑑− 𝑦 = ∗ 𝑀 𝑐𝑟 =3.931∗ 𝑁∗𝑚𝑚 𝑀 𝑐𝑟 =39.31 𝑘𝑁∗𝑚 PROBLEMA 2.44 Determine los momentos de agrietamiento para las secciones mostradas si 𝑓´ 𝑐 =28𝑀𝑃𝑎 y si el módulo de ruptura es 𝑓 𝑟 =0.7 𝑓´ 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑓´ 𝑐 en Mpa. Momento de Inercia 𝐼 𝑥 320𝑚𝑚 600 𝑚𝑚 2#19 80𝑚𝑚 500𝑚𝑚 200 𝑚𝑚 100𝑚𝑚 500𝑚𝑚− 𝑦 𝑦 Módulo de Ruptura Momento de agrietamiento

53 Localización del eje neutro N.A.
PROBLEMA 2.46 Localización del eje neutro N.A. Solución: Calcule los esfuerzos de flexión en el concreto y el acero para las vigas mostradas, usando el método de sección transformada 300𝑋 𝑋 2 = −𝑋 150 𝑋 2 =15.21∗ 10 6 −36.216𝑋 150 𝑋 𝑋=15.21∗ 10 6 𝑋=219.8 𝑚𝑚 20 𝐾𝑁 𝑚 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 Momento de Inercia 𝐼 𝑥 𝐼 𝑥 = )+(9 (4024)( ) 𝐼 𝑥 =2.51∗ 𝑚𝑚 4 8 𝑚 n=9 420𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 4#36 80𝑚𝑚 500𝑚𝑚 𝑁.𝐴. 4024 𝑚𝑚 2 Esfuerzos por flexión 𝑥 𝑀= 20 (8) 2 8 =160 𝐾𝑁.𝑚 𝑓 𝑐 = 𝑀 𝑦 𝐼 = (160) (219.8) 2.51∗ =14.01 𝑀𝑃𝑎 𝑓 𝑠 =𝑛 𝑀 𝑦 𝐼 =9∗ (160) (202.2) 2.51∗ =114.9 𝑀𝑃𝑎 420− 𝑥

54 PROBLEMA 2.48 Solución: 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 =0.85 𝑓´ 𝑐 ∗𝑎𝑏
Usamos varillas 3#36 (3018 𝑚𝑚 2 ) 𝑀 𝑛 = − 𝑀 𝑛 =5.71∗ 𝑁.𝑚𝑚 𝑀 𝑛 =571 𝐾𝑁.𝑚 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 =0.85 𝑓´ 𝑐 ∗𝑎𝑏 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓´ 𝑐 ∗𝑏 Calculamos “a” 𝑎= (3018)(350) 0.85(35)(300) =118.4 𝑚𝑚 Resistencia Nominal por momento 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 calcule los 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑀 𝑛 300 𝑚𝑚 3#36 600𝑚𝑚 b(mm) d(mm) Varillas 𝑓´ 𝑐 (𝑀𝑃𝐴) 𝑓 𝑌 (𝑀𝑃𝐴) 300 600 3#36 35 350

55 PROBLEMA 2.50 Solución: 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 =0.85 𝑓´ 𝑐 ∗𝑎𝑏
Usamos varillas 3#25 (1530 𝑚𝑚 2 ) 𝑀 𝑛 = − 90 2 𝑀 𝑛 =3.117∗ 𝑁.𝑚𝑚 𝑀 𝑛 =311.7 𝐾𝑁.𝑚 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 =0.85 𝑓´ 𝑐 ∗𝑎𝑏 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑓´ 𝑐 ∗𝑏 Calculamos “a” 𝑎= (1530)(420) 0.85(24)(350) =90.0 𝑚𝑚 Resistencia Nominal por momento calcule los 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑀 𝑛 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 350 𝑚𝑚 3#25 530𝑚𝑚 b(mm) d(mm) Varillas 𝑓´ 𝑐 (𝑀𝑃𝐴) 𝑓 𝑌 (𝑀𝑃𝐴) 350 530 3#25 24 420

56 Ejemplo 2.52: Calcular el valor de 𝑀 𝑛 .
𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 𝑑− 𝑎 2 𝑓 𝑦 =420 𝑀𝑃𝑎 𝑀 𝑛 =3060 𝑚𝑚 2 )(420𝑀𝑃𝑎)(495𝑚𝑚− ) 𝑓′ 𝑐 =24 𝑀𝑃𝑎 495𝑚𝑚 460𝑚𝑚 600𝑚𝑚 𝑀 𝑛 =5.205∗ 10 8 𝑁∗𝑚𝑚 6#25 𝑀 𝑛 =520.5𝑁∗𝑚 70𝑚𝑚 70𝑚𝑚 350𝑚𝑚 Usamos 6#25: 6#25 =3060 𝑚𝑚 2 . Reemplazamos en la formula: 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗𝑏 = 3060 𝑚𝑚 2 (420𝑀𝑃𝑎) (0.85)(24 𝑀𝑃𝑎)(350 𝑚𝑚) 𝑎=180 𝑚𝑚.

57 Ejemplo 2.54: Calcular el valor de 𝑀 𝑛 .
𝒂=𝟐𝟗 𝟓𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝟐 . 1200𝑚𝑚 100 𝑚𝑚 500 𝑚𝑚 2#36 70 𝑚𝑚 𝑟= 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 =2012 𝑚𝑚 2 (350𝑀𝑃𝑎) 𝑓 𝑦 =350 𝑀𝑃𝑎 250 𝑚𝑚 𝑟= 𝑁 𝑓′ 𝑐 =28 𝑀𝑃𝑎 𝑎= 𝑚𝑚 𝑚𝑚 Usamos 2#36: 2#36 =2012 𝑚𝑚 2 . 𝑎=24.66 𝑚𝑚 Reemplazamos en la formula: ʓ=430𝑀𝑃𝑎− 𝑚𝑚 2 𝑎= 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓 ′ 𝑐 = 2012 𝑚𝑚 2 (350𝑀𝑃𝑎) (0.85)(28 𝑀𝑃𝑎) ʓ=417.7 𝑚𝑚 𝑀𝑛=𝑟∗ʓ= 𝑁 (417.7 𝑚𝑚) 𝑎= 𝑚𝑚 2 . 𝑀𝑛=2.941∗ 10 8 𝑁∗𝑚𝑚=294𝑁∗𝑚

58 Ejemplo 2.56: Repetir el Problema 2.27 usando hojas de calculo del Capitulo 2. 25 𝑝𝑙𝑔 26.25 𝑝𝑙𝑔 30𝑝𝑙𝑔 6#10 2 2 1 𝑝𝑙𝑔 2 2 1 𝑝𝑙𝑔 16𝑝𝑙𝑔

59 Análisis de flexión de vigas rectangulares reforzadas individualmente
Ejemplo 2.58: Elabore un diagrama de flujo para la determinación de Mn para una viga rectangular de concreto reforzado para tensión. Análisis de flexión de vigas rectangulares reforzadas individualmente No La sección es insatisfactoria aumentar e Datos: 𝑒≥ 𝑒 𝑚𝑖𝑛 𝛽 𝑖 =0.85 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓′ 𝑐 ≤4000 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 𝛽 𝑖 =0.85− 𝑓 ′ 𝑐 − Para 𝑓′ 𝑐 >4000 𝑙𝑏 𝑝𝑙𝑔 2 ≤8000 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 𝛽 𝑖 =0.65 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓′ 𝑐 >8000 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 𝑏 𝑝𝑙𝑔 d 𝑝𝑙𝑔 𝐴 𝑆 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓′ 𝑐 𝑙𝑏/ 𝑝𝑙𝑔 2 𝑓 𝑦 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 𝐸 𝑒 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔 2 𝑏 𝑚𝑚 d 𝑚𝑚 𝐴 𝑆 𝑚𝑚 2 𝑓′ 𝑐 𝑀𝑃𝑎 𝑓 𝑦 𝑀𝑃𝑎 𝐸 𝑒 𝑀𝑃𝑎 Si 𝑐 𝑑 ≤0.375 𝑒= 𝐴 𝑒 𝑏∗𝑑 No Si la sección no es satisfactoria aumentar su tamaño y/o reducir el área de acero 𝑒=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑦 𝑜 𝑓′ 𝑐 𝑓 𝑦 𝑎= 𝐴 𝑠 ∗ 𝑓 𝑦 0.85∗ 𝑓′ 𝑐 ∗𝑏 𝑀 𝑛 = 𝐴 𝑠 𝑓 𝑦 (𝑑− 𝑎 2 )