CURSO PRE UNIVERSITARIO

Presentación del tema: "CURSO PRE UNIVERSITARIO"— Transcripción de la presentación:

1 CURSO PRE UNIVERSITARIO
Matemática Básica Profesor: MSc. Carlos A. Ribeiro

2 NÚMEROS REALES Y OPERACIONES

3 ¿Qué Aprenderemos hoy? Definición y notación de los números reales.
Aproximar en R por exceso y por defecto. .

4 1. El Conjunto de los Números Reales
La unión del Conjunto de los Números Racionales (Q) y el Conjunto de los Números Irracionales (I) constituyen el CONJUNTO DE NÚMEROS REALES que se representa con la letra: R R Q Z I N 𝑸∪𝑰=𝑹

5 Simbología básica usada en conjuntos
Símbolo Significado ∈ Pertenece No pertenece ∪ Unión ∩ Intersección ⊂ Subconjunto ∅ Vacío ∀ Para todo ∕ Tal que ∉ Simbología básica usada en conjuntos

6 Diagrama de los Conjuntos Numéricos
Números enteros (Z) Números Reales (R) Números irracionales (I) Números Enteros negativos Z- Cero (0) Números Enteros positivos Z+ = N Números racionales (Q)

7 Aproximaciones En r

8 DISTINTAS APROXIMACIONES DE UN NÚMERO
décimas unidades centésimas milésimas decenas 𝟐𝟕,𝟔𝟓𝟑

9 APROXIMACIONES EN R POR EXCESO POR DEFECTO
Cuando la aproximación es mayor que el valor real del número Cuando la aproximación es menor que el valor real del número 𝟓,𝟑𝟐𝟔… 𝟓,𝟑𝟐 𝟓,𝟑𝟑𝟑

10 APROXIMACIONES POR EXCESO
Ejemplo Aproximar por exceso el número 8,456 a la centésima Solución Ubicamos la cifra que representa a la centésima, en este caso es el 5 Aumentamos al 5 una unidad y cortamos. El número es 8,46 Para aproximar por exceso debemos ubicar la cifra decimal que nos piden y aumentarla en una unidad (sin importar las demás cifras) y cortar

11 APROXIMACIONES POR DEFECTO
Ejemplo Aproximar por defecto el número 8,456 a la centésima Solución Ubicamos la cifra que representa a la centésima, en este caso es el 5 Disminuimos al 5 una unidad y cortamos. El número es 8,44 Para aproximar por defecto debemos ubicar la cifra decimal que nos piden y disminuirla en una unidad (sin importar las demás cifras) y cortar

12 Ejemplos De APROXIMACIÓN

13 Realizar la aproximación a la centésima y milésima de los siguientes números
𝟓, 𝟐 𝟑,𝟐𝟕𝟒𝟖 𝟕𝟐,𝟐 𝟔 A la centésima 𝟓, 𝟐 ≈𝟓,𝟐𝟑 𝟑,𝟐𝟕𝟒𝟖≈𝟑,𝟐𝟖 𝟕𝟐,𝟐 𝟔 ≈𝟕𝟐,𝟐𝟕 A la milésima 𝟓, 𝟐 ≈𝟓,𝟐𝟐𝟑 𝟑,𝟐𝟕𝟒𝟖≈𝟑,𝟐𝟕𝟓 𝟕𝟐,𝟐 𝟔 ≈𝟕𝟐,𝟐𝟔𝟕

14 Actividades Para Reforzar las competencias adquiridas

15 Realizar la aproximación a la centésima y milésima
𝟑,𝟔𝟒𝟖𝟏 𝟐𝟑, 𝟐 𝟒,𝟔𝟓𝟕𝟖𝟒𝟑 𝟑,𝟐 𝟖 𝟐,𝟑𝟒𝟓𝟕𝟔𝟖 𝟑,𝟏𝟖𝟐𝟑𝟒𝟓

16 Adición Y Sustracción En r

17 Propiedades de la adición en R
¿Qué Aprenderemos hoy? Propiedades de la adición en R . Sustracción en R

18 Casos ADICIÓN Al sumar dos números racionales, el resultado que se obtiene es un número racional. Al sumar un número racional y un irracional, el resultado que se obtiene es un número racional. Al sumar dos números irracionales, el resultado que se obtiene es un irracional Es una operación en la que a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, le corresponde otro número real llamado suma.

19 Para restar dos números reales:
Con expresión decimal limitada se procede alineando los números por la coma decimal y restando las cifras de derecha a izquierda Con expresión ilimitada, se trabaja con aproximaciones del mismo modo que la adición. SUSTRACCIÓN Es una operación en la que a cada par de números reales a y b, llamados minuendo y sustraendo respectivamente, le corresponde otro número real llamado diferencia de a y b, que se denota 𝒂−𝒃

20 Propiedades De la Adición

21 Propiedades de la adición en R Existencia del elemento neutro
NOMBRE PROPIEDADES ∀𝒂,𝒃,𝒄∈𝑹 Conmutativa 𝒂+𝒃=𝒃+𝒂 Asociativa 𝒂+𝒃 +𝒄=𝒂+ 𝒃+𝒄 Existencia del elemento neutro 𝒂+𝟎=𝒂 Existencia de opuesto 𝒂+ −𝒂 =𝟎

22 Ejemplos De ADICIÓN SUSTRACCIÓN

23 ¿Cómo se suman estos decimales? 4.5 + 3.12 + 0.56 + 2.008 =
= Faltan lugares decimales en las centésimas y en las milésimas Se colocan ceros en los lugares que faltan y se suma 4.5 3.12 0.56 4.500 3.120 10.188

24 Realizar la siguiente operación con aproximación a la milésima
12, ,15227 Se aproximan las cifras a la milésima 𝟏𝟑,𝟓𝟔𝟖𝟓𝟗 ≈𝟏𝟑,𝟓𝟔𝟗 𝟖,𝟏𝟔𝟓𝟖𝟕 ≈𝟖,𝟏𝟔𝟔 13,569 + 8,166 21,735

25 Realizar la siguiente operación con aproximación a la milésima
𝟓, 𝟐 +𝟑,𝟐𝟕𝟒𝟖 Se aproximan las cifras a la milésima 𝟓, 𝟐 ≈𝟓,𝟐𝟐𝟐 𝟑,𝟐𝟕𝟒𝟖 ≈𝟑,𝟐𝟕𝟓 5,222 + 3,275 8,497

26 ¿Cómo se restan estos decimales?
= Se coloca cero en los lugares que faltan y se resta Falta el lugar de las centésimas 13.84 45.60 31.76

27 Realizar la siguiente operación con aproximación a la centésima
𝟏𝟑, 𝟑 −𝟖,𝟔𝟕𝟗𝟐 Se aproximan las cifras a la centésima 𝟏𝟑, 𝟑 ≈𝟏𝟑,𝟑𝟑 𝟖,𝟔𝟕𝟗𝟐 ≈𝟖,𝟔𝟖 13,33 - 8,68 4,65

28 Resolver 𝟓 𝟑 +𝝅− 𝟐 +𝟒−𝟑,𝟒𝟐+ 𝟑 − 𝟗 𝟐 Términos positivos 𝟓 𝟑 ≈𝟏,𝟔𝟕
Vamos a sumar por un lado todos los términos positivos y por otro lado los términos negativos (sin el signo) y finalmente restar a la primera suma a la segunda Términos positivos 𝟓 𝟑 ≈𝟏,𝟔𝟕 𝝅≈𝟑,𝟏𝟒 𝟒 𝟑 ≈𝟏,𝟕𝟑 Términos negativos 𝟗 𝟐 ≈𝟒,𝟓 𝟑,𝟒𝟐 𝟐 ≈𝟏,𝟒𝟏

29 1,67 3,14 4,00 + 1,73 4,5 3,42 + 1,41 9,33 10,54 Finalmente restar la primera suma a la segunda 10,54 - 9,33 1,21

30 Actividades Para Reforzar las competencias adquiridas

31 Realizar las siguientes operaciones con aproximación a la décima, centésima y milésima
𝟏𝟓, 𝟔 −𝟑,𝟔𝟒𝟖𝟏 𝟐𝟑, 𝟐 +𝟏𝟖,𝟓𝟑𝟒𝟗𝟐 𝟒,𝟔𝟓𝟕𝟖𝟒𝟑+𝟐𝟒,𝟖𝟏𝟒𝟐𝟓𝟖 𝟑, 𝟖 +𝟓𝟔,𝟗𝟐𝟔𝟒𝟕𝟑 𝟐,𝟑𝟒𝟓𝟕−𝟏,𝟒𝟑𝟓𝟔𝟖 𝟏,𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏 −𝟑,𝟏𝟖𝟐𝟑𝟒𝟓

32 Realizar las siguientes operaciones
𝟏𝟓, 𝟔 −𝟑,𝟔𝟒𝟖𝟏+ 𝟑 − 𝟓 𝟑 𝟐𝟑, 𝟐 +𝟏𝟖,𝟓𝟑𝟒𝟗𝟐− 𝟐 +𝛑−𝟎,𝟐𝟓 𝟒,𝟔𝟓𝟕𝟖𝟒𝟑−𝟐𝟒,𝟖𝟏+ 𝟓 −𝟐 𝟑, 𝟖 +𝟓𝟔,𝟗𝟐𝟔𝟒𝟕𝟑−𝟎,𝟏𝟖−𝛑+𝟒,𝟒𝟔 𝛑− 𝟐 −𝟐,𝟑𝟒𝟓𝟕−𝟏,𝟒𝟑𝟓𝟔𝟖+ 𝟓 𝟐 𝟏,𝟒𝟏+ 𝟏 𝟓 −𝟒+ 𝟒 𝟓 −𝟑,𝟏𝟖+𝛑

33 Multiplicación Y división

34 ¿Qué Aprenderemos hoy? Multiplicación en R
Multiplicación y divisiones combinadas en R ¿Qué Aprenderemos hoy? División en R . Propiedades de la multiplicación en R

35 MULTIPLICACIÓN Es una operación en la que a cada par de números Reales a y b, llamados factores, le corresponde otro número real llamado producto de a y b, que se denota 𝒂.𝒃

36 DIVISIÓN Es una operación en la que a cada par de números reales a y b 𝒃≠𝟎 , llamados respectivamente dividendo y divisor, le corresponde otro número real llamado cociente de a y b, que se denota 𝒂 𝒃 , 𝒂 𝒃 , 𝒂÷𝒃

37 División en R Si el divisor es decimal, multiplicamos el dividendo y el divisor por una potencia de 10 de manera que el divisor sea un número entero. 80 : 2,5  800 : 25 Si el dividendo y el divisor son números decimales, multiplicamos el dividendo y el divisor por una potencia de 10 de manera que el divisor sea un número entero. 28,92: 27,2  289,2 : 272

38 Propiedades De la MULTIPLICACIÓN

39 Propiedades de la adición en R Existencia del elemento neutro
NOMBRE PROPIEDADES Donde 𝒂,𝒃,𝒄∈𝑹 Conmutativa 𝒂.𝒃=𝒃.𝒂 Asociativa 𝒂.𝒃 .𝒄=𝒂. 𝒃.𝒄 Existencia del elemento neutro 𝒂.𝟏=𝒂 Existencia de opuesto 𝒂. 𝒂 −𝟏 =𝒂. 𝟏 𝒂 =𝟏 Distributiva 𝒂. 𝒃+𝒄 =𝒂.𝒃+𝒂.𝒄

40 Ejemplos De Multiplicación Y división

41 Se multiplica como si no hay lugares decimales.
Resolver 𝟑𝟒𝟓,𝟔𝟕 𝒙 𝟖,𝟎𝟎𝟑 3 4 5 , 6 7 x 8 , 0 0 3 Se multiplica como si no hay lugares decimales.

42 Hay 5 lugares decimales en los factores
x Hay 5 lugares decimales en los factores El resultado tiene que tener 5 lugares decimales , El punto decimal se coloca aquí

43 Realizar la siguiente operación 𝟓,𝟔𝟐𝟒÷𝟑𝟐, 𝟑
Se aproximan las cifras a la centésima 𝟓,𝟔𝟐𝟒 ≈𝟓,𝟔𝟐 𝟑𝟐, 𝟑 ≈𝟑𝟐,𝟑𝟑 𝟓,𝟔𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟎=𝟓𝟔𝟐 𝟑𝟐,𝟑𝟑 𝒙𝟏𝟎𝟎=𝟑𝟐𝟑𝟑 𝟓,𝟔𝟐÷𝟑𝟐,𝟑𝟑 ⇒ 562 ‘0 3233 -3233 , 1 7 2387 -23631 𝟓,𝟔𝟐𝟒÷𝟑𝟐, 𝟑 ≈𝟎,𝟏𝟕 1249

44 Actividades Para Reforzar las competencias adquiridas

45 Aproximar a dos cifras decimales y luego realiza las siguientes operaciones
𝟎,𝟏𝟕𝟓 𝒙 𝟎, 𝟑 𝟐 𝒙 𝟎,𝟏𝟖𝟒𝟔 𝟑,𝟓𝟓 𝒙 𝟑 𝟑,𝟑𝟐𝟏 𝒙 𝝅 𝟓 𝒙 𝝅 − 𝟑 𝒙 𝟐, 𝟒

46 Aproximar a dos cifras decimales y luego realiza las siguientes operaciones
𝟎,𝟏𝟕÷𝟎, 𝟑 𝟐 ÷𝟎,𝟏𝟖 𝟑,𝟓𝟓÷ 𝟑 𝟑,𝟑𝟐𝟏÷𝝅 𝟓 ÷𝝅 − 𝟑 ÷𝟐, 𝟒

47 Números racionales

48 ¿Qué Aprenderemos hoy? Potenciación en Q con exponente natural
Identificar los números racionales. ¿Qué Aprenderemos hoy? Adicionar números racionales Dividir números racionales Sustraer números racionales Multiplicar números racionales

49 Definición: Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como un cociente de dos números enteros (Z), es decir: 𝑸= 𝒂 𝒃 𝒂 𝒚 𝒃 ∈𝒁 ∧ 𝒃≠𝟎 Se denotan con la letra mayúscula Q (viene de la palabra QUOTIENT = COCIENTE) El término racional proviene de ración que significa parte.

50 Operaciones de Números racionales

51 FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Se suman o restan los numeradores, como denominador se deja el mismo número. Luego se simplifica si es posible. Ejemplo: Efectuar la siguiente operación: 𝟕 𝟗 + 𝟏𝟎 𝟗 + 𝟒 𝟗 𝟕+𝟏𝟎+𝟒 𝟗 = 𝟐𝟏 𝟗 𝟕 𝟑 simplificando

52 Convertir fracciones heterogéneas a homogéneas
Se convierten a homogéneas, se hace la operación y se simplifica si es posible. Convertir fracciones heterogéneas a homogéneas Para convertir fracciones heterogéneas a homogéneas sacamos el mínimo común múltiplo y se coloca en el denominador, y en el numerador se coloca la división del mínimo entre el denominador por el numerador. Dos o más fracciones son heterogéneas: si su denominador es distinto.

53 Ejemplo con fracciones heterogéneas:
Resolver 𝟏𝟐 𝟐𝟓 + 𝟖 𝟒𝟓 Se halla el m.c.m de los denominadores: Se amplifican, numerador y denominador para que las fracciones queden homogéneas. Se hace multiplicando numerador y denominador por el mismo número 5 1 𝟏𝟐 𝟐𝟓 + 𝟖 𝟒𝟓 = 𝟗 .𝟏𝟐 𝟗 .𝟐𝟓 + 𝟓 .𝟖 𝟓 .𝟒𝟓 La fracción es irreducible porque no se puede simplicar 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝟐𝟓 + 𝟒𝟎 𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟖+𝟒𝟎 𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟒𝟖 𝟐𝟐𝟓

54 Suma y resta Cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Ejemplo Resolver 𝟏𝟒 𝟒 − 𝟓 𝟒 + 𝟑 𝟒 − 𝟔 𝟒 Las fracciones tienen el mismo denominador, entonces sumamos y restamos los numeradores y el denominador es 4. 𝟏𝟒 𝟒 − 𝟓 𝟒 + 𝟑 𝟒 − 𝟔 𝟒 = 𝟏𝟓−𝟓−𝟑−𝟔 𝟒 = 𝟏𝟓−𝟏𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒

55 Cuando las fracciones tienen diferente denominador.
Obtenemos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Le llamaremos común denominador. Dividimos el común denominador entre cada denominador y multiplicamos por su numerador. Sumamos o restamos los valores anteriores y el denominador es el común denominador.

56 La fracción es irreducible porque no se puede simplicar
Ejemplo 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟓 Resolver El mcm de los denominadores 3, 5 y 2 es 30 Dividimos el 30 entre cada denominador y multiplicamos por su respectivo numerador. 𝟏𝟎 .𝟐− 𝟏𝟓 .𝟏+ 𝟔 .𝟑 𝟑𝟎 = 𝟐𝟎−𝟏𝟓+𝟏𝟖 𝟑𝟎 = 𝟐𝟑 𝟑𝟎 La fracción es irreducible porque no se puede simplicar

57 𝒂 𝒃 × 𝒄 𝒅 = 𝒂.𝒄 𝒃.𝒅 Multiplicación de números racionales
Se efectúa multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador. 𝒂 𝒃 × 𝒄 𝒅 = 𝒂.𝒄 𝒃.𝒅

58 La fracción es reducible porque se puede simplicar
Ejemplo 𝟑 𝟓 × 𝟕 𝟒 Resolver Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador. Después simplificamos. 𝟑 𝟓 × 𝟕 𝟔 = 𝟑×𝟕 𝟓×𝟔 = 𝟐𝟏 𝟑𝟎 = 𝟕 𝟏𝟎 La fracción es reducible porque se puede simplicar

59 División de números racionales
La división de fracciones se efectúa multiplicando numerador por denominador y denominador por numerador. Sí la fracción es compuesta, se multiplican medios por medios y extremos por extremos. 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 = 𝒂.𝒅 𝒃.𝒄 𝒂 𝒃 ÷ 𝒄 𝒅 = 𝒂.𝒅 𝒃.𝒄

60 La fracción es irreducible porque no se puede simplicar
Ejemplo 𝟑 𝟓 ÷ 𝟕 𝟒 Resolver Multiplicamos el numerador por el denominador y el denominador por el numerador 𝟑 𝟓 ÷ 𝟕 𝟒 = 𝟑. 𝟒 𝟓. 𝟕 = 𝟏𝟐 𝟑𝟓 La fracción es irreducible porque no se puede simplicar

61 Actividades Para Reforzar las competencias adquiridas

62 Resuelve y simplifica de ser posible, selecciona la respuesta correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1) 2)

63 3) 4)

64 Expresiones decimales

65 Expresar fracciones como expresiones decimales y clasificarlas
Identificar las expresiones decimales limitadas e ilimitadas. Comprender la expresión decimal periódica pura y periódica mixta Clasificar expresiones ilimitadas en periódicas y no periódicas. ¿Qué Aprenderemos hoy? . Diferenciar período y anteperíodo. Comprender la expresión decimal exacta

66 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES DECIMALES
ILIMITADAS LIMITADAS (Exactas) Su cantidad de decimales es infinito. Su cantidad de decimales es finito. No Periódicas Periódicas Contienen una parte decimal infinita que no se repite Se repite indefinidamente un grupo de decimales

67 Período Y anteperíodo

68 PERÍODO Y ANTEPERÍODO DE LAS EXPRESIONES DECIMALES
Son las cifras decimales que están después del número entero y antes del período Son las cifras decimales que se repiten de manera ilimitada 𝟏𝟏 𝟔 =𝟏, 𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑…=𝟏,𝟖 𝟑 Anteperíodo Período

69 Tipos De Expresiones periódicas

70 Periódicas Puras Mixtas
La parte decimal es un número que se repite infinitamente La expresión decimal tiene un período y un anteperíodo 𝟓 𝟑 =𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔…=𝟏, 𝟔 𝟐𝟗 𝟐𝟐 =𝟏, 𝟑 𝟏𝟖𝟏𝟖𝟏…=𝟏, 𝟑𝟏𝟖 Período Anteperíodo Período

71 Ejemplos De Expresiones periódicas

72 Determinar las expresiones decimales de las siguientes fracciones y clasificarlas según el resultado en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas 𝟏𝟎 𝟒 Solución La expresión decimal de 𝟏𝟎 𝟒 es 2,5 y como su decimal es finito, entonces, es exacta 10 4 2 2 , 5

73 𝟓 𝟑 Solución La expresión decimal de 𝟓 𝟑 =𝟏,𝟔𝟔…=𝟏, 𝟔 y como solo tiene período es periódica pura 5 3 2 1 , 6 6 2 2 Período

74 𝟐𝟓 𝟔 Solución La expresión decimal de 𝟐𝟓 𝟔 =𝟒, 𝟏 𝟔𝟔…=𝟒,𝟏 𝟔 y como tiene anteperíodo y período es periódica mixta 25 6 1 4 , 1 6 6 4 4 4 Anteperíodo Período

75 Actividades Para Reforzar las competencias adquiridas

76 Determinar las expresiones decimales de las siguientes fracciones y clasificarlas según el resultado en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas 𝟏𝟒 𝟏𝟏 𝟒 𝟑 𝟓 𝟕 𝟖 𝟏𝟖 𝟕 𝟐𝟎 𝟕 𝟔 𝟑 𝟐𝟎 𝟏𝟑 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟐 𝟕 𝟒 𝟓 𝟖 𝟗 𝟖 𝟏𝟑 𝟕 𝟖 𝟒 𝟏𝟓 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏𝟎 𝟕 𝟑𝟓

77 Criterios de divisibilidad
Por 2 Por 6 Por 3 Por 7 Por 4 Por 8 Por 5 Por 9 Por 10

78 Identificar si un número es divisible por otro sin efectuar la división.
¿Qué Aprenderemos hoy? Aplicar los diferentes criterios de divisibilidad para simplificar una expresión. .

79 ¿Qué es un número divisible? División exacta porque el residuo es cero
IDEAS PREVIAS ¿Qué es un número divisible? 𝟑𝟓 𝟕 Un número es divisible por otro si el resultado de la división es un número entero y el residuo es cero. 𝟎 𝟓 División exacta porque el residuo es cero

80 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
IDEAS PREVIAS ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Dividendo Divisor 𝟑𝟓 𝟕 𝟎 𝟓 Resto o residuo Cociente

81 Son los números que dividen exactamente a otro número.
IDEAS PREVIAS Son los números que dividen exactamente a otro número. ¿Qué son los divisores de un número?

82 ¿Qué son los múltiplos de un número?
IDEAS PREVIAS Son los números que se obtienen al multiplicar un número por cada número natural. ¿Qué son los múltiplos de un número?

83 ¿Qué son los números primos?
IDEAS PREVIAS ¿Qué son los números primos? CRIBA DE ERATÓSTENES Son los números naturales mayor que 1 que tienen únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo número y el uno.

84 ¿Qué son los números compuestos?
IDEAS PREVIAS ¿Qué son los números compuestos? CRIBA DE ERATÓSTENES Son los números naturales que tienen más de dos divisores, por lo tanto se pueden factorizar.

85 ¿Cómo se descomponen los números compuestos?
IDEAS PREVIAS ¿Cómo se descomponen los números compuestos? Todo número compuesto se puede escribir como la multiplicación de dos o más factores primos.

86 PROCEDIMIENTO Se escribe el número a la izquierda de una línea vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, …) por lo cual dicho número sea divisible. El cociente se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el inciso 1 con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a uno. Finalmente se coloca el número como un producto de potencias de factores primos.

87 EJEMPLO Descomponer 60 en factores primos Solución Se escribe el número a la izquierda de una línea vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, …) por lo cual dicho número sea divisible. El cociente se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el inciso 1 con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a uno. Se coloca el número como un producto de potencias de factores primos. 𝟔𝟎 𝟐 𝟑𝟎 𝟐 𝟏𝟓 𝟑 𝟓 𝟓 𝟏 𝟔𝟎= 𝟐 𝟐 .𝟑.𝟓

88 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ¿Qué son los criterios de divisibilidad?
𝟑𝟔𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟑 𝟏𝟑𝟔𝟑𝟔 𝟏𝟎𝟐𝟖𝟐𝟖 Son reglas que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro, sin tener que efectuar la división 𝟐𝟏𝟓𝟐 𝟑𝟐𝟒 𝟕𝟐𝟓 𝟓𝟑𝟎 𝟑𝟒𝟑 𝟐𝟐𝟔𝟏

89 Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es par. Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 2 porque la cifra de las unidades es par, pues 0, 8, 6 y 4 son pares. 350 42368 756 1474

90 Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 3 porque al sumar sus cifras se obtiene un múltiplo de 3. 519 81 2583 4377 𝟓+𝟏+𝟗=𝟏𝟓 𝟖+𝟏=𝟗 𝟐+𝟓+𝟖+𝟑=𝟏𝟖 𝟒+𝟑+𝟕+𝟕=𝟐𝟏

91 Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros en unos casos y múltiplos de 4 en otros. 136 400 12524 1200 1028

92 Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es 0 o 5. Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 5 porque la cifra de las unidades es 0 en unos casos y 5 en otros. 750 435 255 4350

93 Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3, a la vez. Ejemplos: 528, 864, 546, 420 Observa: Todos estos números son divisibles por 6, porque son divisibles por 2 y por 3, al mismo tiempo. Por 2 528 864 546 420 Por 3 𝟓+𝟐+𝟖=𝟏𝟓 𝟖+𝟔+𝟒=𝟏𝟖 𝟓+𝟒+𝟔=𝟏𝟓 𝟒+𝟐+𝟎= 𝟔

94 Divisibilidad por 7 Para saber si un número es divisible entre 7 hay que comprobar si la diferencia del número sin las cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7. Ejemplos 119 11 – 2(9) = 11 – 18 = -7 Como -7 es múltiplo de 7, entonces, 119 es divisible por 7 546 54 – 2(6) = 54 – 12 = 42 Como 42 es múltiplo de 7, entonces, 546 es divisible por 7

95 Divisibilidad por 7 642 64 – 2(2) = 64 – 4 = 60
Ejemplos 642 64 – 2(2) = 64 – 4 = 60 Como 60 no es múltiplo de 7, entonces, 642 no es divisible por 7 3136 313 – 2(6) = 313 – 12 = 301 30 – 2(1) = 30 – 2 = 28 28 es múltiplo de 7, entonces, 3136 es divisible por 7

96 Tres últimos dígitos ceros Tres últimos dígitos ceros
Divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 8, porque en algunos sus tres últimas cifras son ceros y en otros son múltiplos de 8. 4000 Tres últimos dígitos ceros 1048 48 es múltiplo de 8 1512 512 es múltiplo de 8 3000 Tres últimos dígitos ceros

97 Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Ejemplos: 1512 = 9 Observa: Todos estos números son divisibles por 9, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. 864 8+6+4 = 18 747 7+4+7 = 18 423 4+2+3 = 9

98 Divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10 cuando la cifra de las unidades es 0. Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 10 porque la cifra de las unidades es 0 en todos los casos. 700 430 250 4000

99 Actividades Para Reforzar las competencias adquiridas

100 Considere los números de la siguiente tabla y determine los que son divisibles por:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 7 g) 8 h) 9 i) 10 92 61 205 423 107 172 431 978 573 99 21 614 999 671 96 84 684 177 123 237 126 361 104 88 713 740 1533 2506 6576 7605

101 Determinar aplicando los criterios si el número es divisible por 2, si es divisible por 3, por 4, por 5, por 6, por 7, por 8, por 9, por 10. en caso de ser cierto, anotar con una X en la casilla correspondiente en la tabla. Luego realizar el ejercicio para el número 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21408

102 Determinar cuál o cuáles de los siguientes números son divisibles por 7 aplicando el criterio
373 3951 14256 65768 20104 987654 527 446 573

103 De los siguientes números , diga cuáles son primos y cuáles compuestos
De los siguientes números , diga cuáles son primos y cuáles compuestos. Razone la respuesta 123 127 235 1302 947 289 43769 120 84 108 4620 431 695 522 617

104 Descomponer en factores primos los siguientes números
120 84 108 600 4620 515 4236 320 165 75 52 69 138 21 243 72 90 171 148 2345