Números complejos.

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1 Números complejos

2 HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
SIGLO XVIII SURGE COMO TEORÍA DE NÚMEROS COMO RAMA INDEPENDIENTE DE LA MATEMÁTICA. MATEMÁTICOS COMO HALLEY, LANGRAGE, FOURIER Y EULER, PROPONEN FORMAS DE RESOLVER NÚMEROS COMPLEJOS. EN EL SIGLO XIX CUANDO REALMENTE GAUSS Y RIEMANN, ESTABLECEN LOS APORTES ACEPTADOS EN LA MATEMÁTICA Y QUE EN LA ACTUALIDAD SE EMPLEAN. SU CAMPO DE ACCIÓN ES LA INGENIERÍA ELECTRÓNICA, LA MECÁNICA CUÁNTICA Y LA RELATIVIDAD ESPECIAL. ¿POR QUÉ LA ECUACIÓN 𝑋 2 +2=0 NO TIENE SOLUCIÓN EN LOS NÚMEROS REALES? 𝑋 2 +2=0 𝑋 2 =−2 𝑋= −2

3 CARACTERÍSTICAS CUALQUIERA DE SUS ELEMENTOS ELEVADO A UN NÚMERO PAR DA COMO RESULTADO UN NÚMERO NEGATIVO. LA UNIDAD PRINCIPAL O UNIDAD IMAGINARIA ESTÁ REPRESENTADA POR LA LETRA i. SE DEFINE COMO 𝑖= −1 , 5𝑖, −8𝑖, 2 𝑖. LOS NÚMEROS IMAGINARIOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR LA UNIDAD IMAGINARIA RECIBEN EL NOMBRE DE NÚMEROS PUROS, Y RESULTAN AL EXPRESAR RAICES PARES DE CANTIDADES NEGATIVAS.

4 ESCRIBIR LOS SIGUIENTES RADICALES COMO UN NÚMERO IMAGINARIOS PUROS.
𝑎) −16 −16 = 16. (−1) −16 = −1 −16 =4𝑖 𝑏) −162 −162 = 162.(−1) −162 = −1 −162 = −1 −162 =9 2 𝑖

5 ESCRIBIR LOS SIGUIENTES RADICALES COMO UN NÚMERO IMAGINARIOS PUROS.
𝑐) −17 = 17.−1 −17 = −1 −17 = 17 𝑖 𝑑)− −72 =− 72.−1 − −72 =− −1 − −72 =− −1 − −72 =−6 2 𝑖

6 ESCRIBIR LOS SIGUIENTES RADICALES COMO UN NÚMERO IMAGINARIOS PUROS.
𝑒) − −100 =− −1 − −100 =− −1 − −100 =− 𝑖 − −100 =− 60 7 𝑖 𝑓) − = − = 5𝑖 6

7 Potencias de i 𝑖 1 =𝑖 𝑖 2 = ( −1 ) 2 =−1 𝑖 3 = 𝑖 2 .𝑖=−1.𝑖=−𝑖
UTILIZANDO LAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y LA DEFINICIÓN DE i, SE CALCULAN LOS VALORES DE LAS CUATRO PRIMERAS POTENCIAS DENOMINADAS POTENCIAS BÁSICAS DE i. 𝑖 1 =𝑖 𝑖 2 = ( −1 ) 2 =−1 𝑖 3 = 𝑖 2 .𝑖=−1.𝑖=−𝑖 𝑖 4 = 𝑖 2 . 𝑖 2 =(−1).(−1)=1 A PARTIR DE LA QUINTA POTENCIA 𝑖 5 LOS RESULTADOS SE REPITEN EN PERIODOS DE A CUATRO.

8 Potencias de i 𝑎) 𝑖 13 = 𝑖 13 = 𝑖 4.3+1 𝑖 13 = 𝑖 4.3 . 𝑖 1 𝑖 13 =1𝑖
PARA CALCULAR EL VALOR DE UNA POTENCIA DE i CON EXPONENTE MAYOR QUE CUATRO SE PROCEDE ASÍ: SE DIVIDE E EXPONENTE DE LA POTENCIA ENTRE CUATRO Y SE EXPRESA DE LA FORMA 4𝑛+𝑟, DONDE 𝑛 ES EL COCIENTE Y 𝑟 ES EL RESIDUO DE LA ANTERIOR DIVISIÓN. PARA CALCULAR EL RESULTADO SE APLICAN LAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN TENIENDO EN CUENTA LAS POTENCIAS BÁSICAS DE i. 𝑎) 𝑖 13 = 13 4 =1= 3 𝑖 13 = 𝑖 4.3+1 𝑖 13 = 𝑖 𝑖 1 𝑖 13 =1𝑖 𝑖 13 = ( 𝑖 4 ) 3 . 𝑖 1 𝑖 13 =𝑖 𝑖 13 = (1) 3 .𝑖

9 Potencias de i 𝑏) 𝑖 11 = 𝑖 4.2+3 𝑖 11 = 𝑖 4.2 . 𝑖 3
=3= 2 𝑏) 𝑖 11 = 𝑖 4.2+3 𝑖 11 = 𝑖 𝑖 3 𝑖 11 = (𝑖 4 ) 2 . 𝑖 3 𝑖 11 = 1 2 .−𝑖 𝑖 11 =−𝑖 𝑐 ) 3𝑖 5 −12 𝑖 7 −4 𝑖 6 +2 𝑖 8 =

10 Potencias de i 𝑑) 3𝑖 (2𝑖 2 + 3𝑖 3 )=3𝑖. 2𝑖 2 +3𝑖. 3𝑖 3
3𝑖 (2𝑖 2 + 3𝑖 3 )=6 𝑖 3 +9 𝑖 4 3𝑖 (2𝑖 2 + 3𝑖 3 )=6(−𝑖)+9(1) 3𝑖 (2𝑖 2 + 3𝑖 3 )=−6𝑖+9 𝑒) 4𝑖 5 𝑖 2 − 4 𝑖 7 2 𝑖 6 =4 𝑖 5−2 −2 𝑖 7−6 4𝑖 5 𝑖 2 − 4 𝑖 7 2 𝑖 6 =−6𝑖 4𝑖 5 𝑖 2 − 4 𝑖 7 2 𝑖 6 =4 𝑖 3 −2𝑖 4𝑖 5 𝑖 2 − 4 𝑖 7 2 𝑖 6 =−4𝑖−2𝑖

11 Números complejos LOS NÚMEROS COMPLEJOS SON NÚMEROS DE LA FORMA 𝑎+𝑏𝑖, DONDE 𝑎,𝑏∈𝑅. AL NÚMERO a SE LE LLAMA PARTE REAL DEL COMPLEJO Y AL b SE LE LLAMA PARTE IMAGINARIA DEL COMPLEJO. POR EJEMPLO: −7+9𝑖 DE LO ANTERIOR SE DEDUCE QUE TODO NÚMERO REAL PUEDE SER ESCRITO COMO UN NÚMERO COMPLEJO DE LA 𝑎+0𝑖=𝑎. POR LO TANTO, TODO REAL ES UN NÚMERO COMPLEJO. R⊂𝐶 DEL MISMO MODO, TODO NÚMERO IMAGINARIO PURO PUEDE SER ESCRITO COMO UN NÚMERO COMPLEJO A LA FORMA 0+𝑏𝑖=𝑏𝑖. POR LO TANTO, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS CONTIENE A LOS NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS.

12 NÚMEROS COMPLEJOS TODO NÚMERO COMPLEJO SE PUEDE EXPRESAR DE DOS FORMAS: 1) EN FORMA BINOMIAL COMO LA SUMA O RESTA DE LA PARTE REAL Y LA PARTE IMAGINARIA. Ej: 5−3𝑖, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 5 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑦 3𝑖 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎. 2)EN FORMA CARTESIANA, COMO PAREJA ORDENADA DONDE LA 1ERA COMPONENTE ES LA PARTE REAL Y LA 2DA COMPONENTE ES EL COEFICIENTE DE LA PARTE IMAGINARIA. Ej: 5−3𝑖 5, −3 ; 9+0𝑖 (9,0)

13 Representación gráfica de los números complejos
Eje Imaginario 𝑎)2+3𝑖 (2, 3) 𝑏)− 𝑖 𝑐)0+3𝑖 𝑎)2+3𝑖 (-3/2, 2) 𝑏)− 𝑖 𝑐)0+3𝑖 (0, 3) Eje Real 𝑑)4+𝑂𝑖 𝑑)4+𝑂𝑖 (4, 0)

14 Conjugado y norma de un número complejo
EL CONJUGADO DEL NÚMERO COMPLEJO Z SE DENOTA COMO 𝑍 . SI 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑍 =𝑎−𝑏𝑖, 𝑍=3−2𝑖, 𝑍 =3+2𝑖 LA NORMA DE UN NÚMERO COMPLEJO 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 DENOTADA 𝑍 , ES LA DISTANCIA QUE HAY DESDE EL ORIGEN DEL PLANO COMPLEJO A LA PAREJA ORDENADA (a, b) 𝑎)2+3𝑖 𝑍 𝑍 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 (2, 3) 𝑍 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑍 = 𝑍 = 13 𝑍 = 4+9 𝑍 =3,6

15 Conjugado y norma de un número complejo
HALLAR EL CONJUGADO Y LA NORMA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS: 𝑎) 𝑧=−3+2𝑖 𝑦 𝑏)𝑧=− 1 3 − 1 2 𝑖 Eje Imaginario 𝑍 =−3−2𝑖 𝑍 =− 𝑖 Z=(-3,2) Z=(-1/3,-1/2) Z=(-3,2) 𝑍𝑎 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑍𝑏 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑍𝑎 = − 𝑍𝑏 = − − 𝑍𝑎 = 9+4 Eje Real Z=(-1/3,-1/2) 𝑍𝑎 = 13 𝑍𝑏 = 𝑍𝑏 = 𝑍𝑎 =3,6 𝑍𝑏 =

16 Adición de números complejos
PARA SUMAR DOS O MÁS NÚMEROS COMPLEJOS SE SUMAN, RESPECTIVAMENTE, LAS PARTES REALES Y LAS PARTES IMAGINARIAS. SI 𝑍, 𝑊 ∈ℂ 𝑐𝑜𝑛 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑦 𝑊=𝑐+𝑑𝑖, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑍+𝑊= 𝑎+𝑐 + 𝑏+𝑑 𝑖 RESOLVER LAS OPERACIONES INDICADADAS: 𝑎) −3+ −4 + 2− −9 = − − − 9. −1 = − −1 + 2− 9 −1 = −3+2𝑖 + 2−3𝑖 = − 𝑖−3𝑖 =−1+ −𝑖 =−1−𝑖

17 Adición de números complejos
RESOLVER LAS OPERACIONES INDICADADAS: 𝑏) 3+5𝑖 + 7𝑖 = 3+5𝑖 +(0+7𝑖) = 3+0 +(5𝑖+7𝑖) =3+12𝑖 𝑐) − 1 2 𝑖 = 𝑖 − 1 2 𝑖 = 𝑖− 1 2 𝑖 = 7 10 − 1 2 𝑖 𝑑) 2−5𝑖 + −4+3𝑖 + −3−6𝑖 = 2+ −4 + −3 +(−5𝑖+3𝑖−6𝑖) =−5−8𝑖

18 sustracción de números complejos
PARA RESTAR DOS O MÁS NÚMEROS COMPLEJOS SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LAS PARTES REALES Y LAS PARTES IMAGINARIAS SI 𝑍, 𝑊 ∈ℂ 𝑐𝑜𝑛 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑦 𝑊=𝑐+𝑑𝑖, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑍−𝑊= 𝑎+𝑐 − 𝑏+𝑑 𝑖= 𝑎−𝑐 + 𝑏−𝑑 𝑖 RESOLVER LAS SIGUIENTES SUSTRACCIONES: 𝑎) 2−5𝑖 − −3−6𝑖 = 2− −3 + −5𝑖− −6𝑖 = −5𝑖+6𝑖 =5+𝑖

19 sustracción de números complejos
RESOLVER LAS SIGUIENTES SUSTRACCIONES: 𝑏) 3−4𝑖 −7𝑖= 3−4𝑖 −(0+7𝑖) = 3−0 +(−4𝑖−7𝑖) =3−11𝑖 𝑐) 1 2 − 1 3 𝑖 − 1 4 𝑖 − = 1 2 − 1 3 𝑖 − 𝑖 − 𝑖 = 1 2 −0− − 1 3 𝑖 − 1 4 𝑖−0𝑖 = 1 6 − 7 12 𝑖

20 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
CLAUSURATIVA; 𝑆𝑖 𝑧∈ℂ 𝑦 𝑚∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑧+𝑚∈ℂ ASOCIATIVA;𝑆𝑖 𝑧∈ℂ, 𝑚∈ℂ 𝑦 𝑛∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑧+𝑚 +𝑛=𝑧+(𝑚+𝑛) CONMUTATIVA;𝑆𝑖 𝑧∈ℂ 𝑦 𝑚∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑧+𝑚=𝑚+𝑧 ELEMENTO NEUTRO; 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0∈ℂ, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0+𝑧=𝑧+0=𝑧 ∀ 𝑧∈ℂ INVERTIDA; ∀ 𝑧∈ℂ, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 −𝑧 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑧+(−𝑧)=0

21 Multiplicación de números complejos
Para multiplicar dos números complejos: A) Primero, se aplica la propiedad distributiva. B) Luego, se resuelven las potencias de i. C) Finalmente, se reducen términos semejantes. 𝑎) 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 3 5 𝑖∗ 1 6 − 3 5 𝑖∗ 10 9 𝑖 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 𝑖 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 3 30 𝑖− 𝑖 2 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 𝑖 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 3 30 𝑖− (−1) 3 5 𝑖 1 6 − 10 9 𝑖 = 3 30 𝑖

22 Multiplicación de números complejos
𝑏) 5+2𝑖 3−4𝑖 =5∗ 3−4𝑖 +2𝑖(3−4𝑖) 5+2𝑖 3−4𝑖 =15−20𝑖+6𝑖−8 𝑖 2 5+2𝑖 3−4𝑖 =15−20𝑖+6𝑖−8(−1) 5+2𝑖 3−4𝑖 =23−14𝑖 𝑑) 𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 = 𝑖 𝑖 ∗ 2− 5 2 𝑖 𝑑) 𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 = 𝑖 𝑖+ 𝑖 2 ∗ 2− 5 2 𝑖 𝑑) 𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 = 𝑖 𝑖−1 ∗ 2− 5 2 𝑖 𝑑) 𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 = 𝑖 ∗ 2− 5 2 𝑖

23 Multiplicación de números complejos
𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 =22− 55 2 𝑖 𝑖− 𝑖 2 𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 =22− 55 2 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 2− 5 2 𝑖 = − 37 3 𝑖 𝑐)(3+4𝑖) 5−2𝑖 = 3+4𝑖 5−2𝑖 =3∗ 5−2𝑖 +4𝑖∗(5−2𝑖) 3+4𝑖 5−2𝑖 =15−6𝑖+20𝑖 −8(−1) 3+4𝑖 5−2𝑖 =23+14𝑖

24 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
CLAUSURATIVA; 𝑆𝑖 𝑧∈ℂ 𝑦 𝑚∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑧∗𝑚∈ℂ ASOCIATIVA;𝑆𝑖 𝑧∈ℂ, 𝑚∈ℂ 𝑦 𝑛∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑧∗𝑚 ∗𝑛=𝑧∗(𝑚∗𝑛) CONMUTATIVA;𝑆𝑖 𝑧∈ℂ 𝑦 𝑚∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑧∗𝑚=𝑚∗𝑧 ELEMENTO NEUTRO; 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1∈ℂ, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 1∗𝑧=𝑧∗1=𝑧 ∀ 𝑧∈ℂ INVERTIDA; ∀ 𝑧∈ℂ, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑧≠0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑧 −1 ∈ℂ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑧∗ 𝑧 −1 =1 DISTRIBUTIVA: 𝑆𝑖 𝑧∈ℂ,𝑚∈ℂ 𝑦 𝑛∈ℂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧∗ 𝑚+𝑛 =𝑧∗𝑚±𝑧∗𝑛,

25 División de números complejos
Para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor. Luego, se resuelven las operaciones indicadas. 𝑎)(3−2 𝑖)÷ 1+𝑖 = 3−2 𝑖 ÷ 1+𝑖 = 3−2𝑖 1+𝑖 ∗ 1−𝑖 1−𝑖 3−2 𝑖 ÷ 1+𝑖 = 3−3𝑖−2𝑖+2(−1) 1−(−1) 3−2 𝑖 ÷ 1+𝑖 = 1−5𝑖 2

26 División de números complejos
𝑏)(5+3 𝑖)÷2𝑖= 5+3 𝑖 ÷2𝑖= 5+3𝑖 2𝑖 ∗ −2𝑖 −2𝑖 5+3 𝑖 ÷2𝑖= 6−10𝑖 4 5+3 𝑖 ÷2𝑖= −10𝑖−6(−1) −4(−1) 5+3 𝑖 ÷2𝑖= 3−5𝑖 2 5+3 𝑖 ÷2𝑖= −10𝑖+6 4 𝑐)(5− 𝑖)÷(−4+5𝑖)= 5− 𝑖 ÷ −4+5𝑖 = 5−𝑖 −4+5𝑖 ∗ −4−5𝑖 −4−5𝑖 5− 𝑖 ÷ −4+5𝑖 = −20−25𝑖+4𝑖+5(−1) 16−25(−1) 5− 𝑖 ÷ −4+5𝑖 = −25−21𝑖 41

27 Resolviendo operaciones combinadas
𝑆𝑒𝑎 𝑎=2,−3𝑖 𝑏=4+𝑖, 𝑐=−5−2𝑖 𝑦 𝑑=−1−4𝑖, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 1) 𝑎∗ 𝑏+𝑐 −𝑑]= 2) 𝑎−𝑏 ∗(𝑐+𝑑)= 3) 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑= 4) 𝑐∗ 𝑎+𝑏 −(𝑎−𝑑 ]−(𝑐+𝑑)= 5) 𝑎∗[ 𝑐−𝑑 ∗ 𝑎−𝑑 ]÷(𝑏−𝑐)=

28 Resolviendo operaciones combinadas
𝑆𝑒𝑎 𝑎=2,−3𝑖 𝑏=4+𝑖, 𝑐=−5−2𝑖 𝑦 𝑑=−1−4𝑖, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 1) 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]= 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]=2−3𝑖∗[ 4+𝑖 + −5−2𝑖 −(−1−4𝑖)] 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]=2−3𝑖∗[ −1−𝑖 −(−1−4𝑖)] 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]=2−3𝑖∗[ −1−𝑖 +(1+4𝑖)] 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]=2−3𝑖∗[3𝑖] 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]=6𝑖−9(−1) 𝑎∗ (𝑏+𝑐 −𝑑]=9+6𝑖

29 Resolviendo operaciones combinadas
𝑆𝑒𝑎 𝑎=2,−3𝑖 𝑏=4+𝑖, 𝑐=−5−2𝑖 𝑦 𝑑=−1−4𝑖, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 2) 𝑎−𝑏 ∗(𝑐+𝑑)= 𝑎−𝑏 ∗ 𝑐+𝑑 = 2−3𝑖 − 4+𝑖 ∗ −5−2𝑖 + −1−4𝑖 𝑎−𝑏 ∗ 𝑐+𝑑 = −2−4𝑖 ∗ −6−6𝑖 𝑎−𝑏 ∗ 𝑐+𝑑 =12+12𝑖+24𝑖+24(−1) 𝑎−𝑏 ∗ 𝑐+𝑑 =−12+36𝑖

30 Resolviendo operaciones combinadas
𝑆𝑒𝑎 𝑎=2,−3𝑖 𝑏=4+𝑖, 𝑐=−5−2𝑖 𝑦 𝑑=−1−4𝑖, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 3) 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑= 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑= 4+𝑖 ∗ 2−3𝑖 − −5−2𝑖 −(−1−4𝑖) 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑= 4+𝑖 ∗ 7−𝑖 −(−1−4𝑖) 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑= 28−4𝑖+7𝑖− −1 −(−1−4𝑖) 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑= 29+3𝑖 −(−1−4𝑖) 𝑏∗ 𝑎−𝑐 −𝑑=30+7𝑖

31 Resolviendo operaciones combinadas
𝑆𝑒𝑎 𝑎=2−3𝑖 𝑏=4+𝑖, 𝑐=−5−2𝑖 𝑦 𝑑=−1−4𝑖, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑎+𝑏 = 2−3𝑖 +(4+𝑖) 4) 𝑐∗ 𝑎+𝑏 −(𝑎−𝑑 ]−(𝑐+𝑑)= (−5−2𝑖)∗ (6−2𝑖)−(3+𝑖 ]−(−6−6𝑖)= 𝑎+𝑏 =6−2𝑖) (−5−2𝑖)∗(3−3𝑖) −(−6−6𝑖)= 𝑎−𝑑 = 2−3𝑖 −(−1−4𝑖) −15+15𝑖−6𝑖+6(−1) −(−6−6𝑖)= 𝑎−𝑑 =3+𝑖 (−21+9𝑖) −(−6−6𝑖)=(−15+15𝑖) 𝑐+𝑑 = −5−2𝑖 +(−1−4𝑖) 𝑐+𝑑 =−6−6𝑖

32 Resolviendo operaciones combinadas
𝑆𝑒𝑎 𝑎=2−3𝑖 𝑏=4+𝑖, 𝑐=−5−2𝑖 𝑦 𝑑=−1−4𝑖, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑐−𝑑 = −5−2𝑖 −(−2−4𝑖) 5) 𝑎∗[ 𝑐−𝑑 ∗ 𝑎−𝑑 ]÷(𝑏−𝑐)= 𝑐−𝑑 =−3+2𝑖 (2−3𝑖)∗[(−3+2𝑖)∗(3+𝑖)]÷(9+3𝑖)= 𝑎−𝑑 = 2−3𝑖 −(−1−4𝑖) (2−3𝑖)∗[−9−3𝑖+6𝑖+2(−1)]÷(9+3𝑖)= 𝑎−𝑑 =3+𝑖 (2−3𝑖)∗(−11+3𝑖)÷(9+3𝑖)= 𝑏−𝑐 = 4+𝑖 −(−5−2𝑖) −22+6𝑖+33𝑖−9(−1) ÷(9+3𝑖)= 𝑏−𝑐 =9+3𝑖 (−13+39𝑖) ÷(9+3𝑖)= −3+39𝑖 9+3𝑖 ∗ 9−3𝑖 9−3𝑖 = −27+9𝑖+351𝑖−117 −1 81−9 −1 = 𝑖 90 = 90+360𝑖 90 = 18+72𝑖 18 = 𝑖 18 =1+4𝑖

33 FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
LA FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO ES OTRA FORMA DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO. LA FORMA Z = A + BI ES LLAMADA LA FORMA COORDENADA RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO. 𝑟 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝐶𝑜𝑠𝜃= 𝑎 𝑟 𝑆𝑒𝑛𝜃= 𝑏 𝑟 𝑇𝑎𝑛𝜃= 𝑏 𝑎 𝑟.𝐶𝑜𝑠𝜃=𝑎 𝑟.𝑆𝑒𝑛𝜃=𝑏 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑍=𝑟.𝐶𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑟.𝑆𝑒𝑛𝜃 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑏 𝑎 𝑍=𝑟(𝐶𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑆𝑒𝑛𝜃) 𝑍=𝑟𝐶𝑖𝑆𝜃

34 Transformación de un complejo a polar
𝑍=−1+4𝑖 Eje imaginario 𝑟.𝐶𝑜𝑠𝜃=𝑎 𝑟 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑟.𝑆𝑒𝑛𝜃=𝑏 𝑟 2 = (−1) 2 + (4) 2 𝑟 2 =17 𝑍=−1+4𝑖 𝑟= 17 𝜃=104,04° 𝜃=−75,96° 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑏 𝑎 Eje real 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 4 −1 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 −4 𝜃=−75,96°+180° 𝜃=104,04° 𝑍= 17 𝐶𝑖𝑠104,04°

35 Transformación de un complejo a polar
𝑍=2+16𝑖 𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑟= 𝑟= 𝑟= 260 𝑟=2 65 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑏 𝑎 𝜃=82,87° 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 − 𝑍=2 65 𝐶𝑖𝑠82,87° 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 8

36 Transformación de polar a complejo
𝑍=5𝐶𝑖𝑠 (270°) 𝑍=2𝐶𝑖𝑠 (315°) 𝑟=5 𝑟=2 𝜃=270° 𝜃=315° 𝑏=𝑟.𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑎=𝑟.𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑏=𝑟.𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑎=𝑟.𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑎=5.𝐶𝑜𝑠270° 𝑏=5.𝑆𝑒𝑛270° 𝑎=2.𝐶𝑜𝑠315° 𝑏=2.𝑆𝑒𝑛315° 𝑎=5.0 𝑏=5.−1 𝑎= 𝑏=2.− 𝑎=0 𝑏=−5 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑎= 2 𝑏=− 2 𝑍=0+(−5)𝑖 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑍=−5𝑖 𝑍= 2 − 2 𝑖

37 TRANSFORMACIÓN DE COMPLEJO A EXPONENCIAL
La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar. z = r(cos θ + i sen θ), la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial: z = reiθ´ 𝜃´=𝜃 𝜋 180° 𝑍=5𝐶𝑖𝑠 (270°) 𝜃´=𝜃 𝜋 180° 𝑍=2𝐶𝑖𝑠 (315°) 𝜃´=315° 𝜋 180° 𝑟=5 𝑟=2 𝜃´=270° 𝜋 180° 𝜃=270° 𝜃=315° 𝜃´=315° 𝜋 180° 𝜃´= 3 2 𝜋 𝜃´= 7 4 𝜋 𝑍= 5𝑒 𝑖 3 2 𝜋 𝑍= 2𝑒 𝑖 7 4 𝜋

38 DE COMPLEJO A EXPONENCIAL
𝑧=5−5𝑖 𝑍=𝑟𝐶𝑖𝑆𝜃 Eje imaginario 𝑟= (−5) 2 𝑍= 50 𝐶𝑖𝑆315° 𝑟= 𝜃´=315° 𝜋 180° 𝑟= 50 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑏 𝑎 𝜃´= 7 4 𝜋 Eje real 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 −5 5 𝑍= 50 𝑒 𝑖 7 4 𝜋 𝜃= 𝑇𝑎𝑛 −1 −1 𝑧=5−5𝑖 𝜃=−45°+360° 𝜃=315°

39 Potenciación de complejos
La potencia de un número complejo Z con exponente natural es el producto de Z consigo mismo tantas veces como indica el exponente. Se obtiene, haciendo uso de la definición del producto de números complejos. Si el exponente es un entero negativo la potencia (Z)-n se convierte en la potencia (1/Z)n 𝑎) (−2−4𝑖) 4 = (−2−4𝑖) 4 = −2−4𝑖 ∗ −2−4𝑖 ∗ −2−4𝑖 ∗ −2−4𝑖 (−2−4𝑖) 4 =4+8𝑖+8𝑖+16(−1) ∗4+8𝑖+8𝑖+16(−1) (−2−4𝑖) 4 =(−12+16𝑖) ∗(−12+16𝑖) (−2−4𝑖) 4 =144−192𝑖−192𝑖+256(−1) (−2−4𝑖) 4 =−112−384𝑖

40 Potenciación de complejos
𝑏) (−3+2𝑖) −5 = 1 (−3+2𝑖) 5 1 (−3+2𝑖) 5 = 1 (−3+2𝑖) ∗ 1 −3+2𝑖 ∗ 1 −3+2𝑖 ∗ 1 −3+2𝑖 ∗ 1 (−3+2𝑖) 1 (−3+2𝑖) 5 = 1 (9−6𝑖−6𝑖+4(−1) ∗ 1 (9−6𝑖−6𝑖+4(−1) ∗ 1 (−3+2𝑖) 1 (−3+2𝑖) 5 = 1 (5−12𝑖) ∗ 1 (5−12𝑖) ∗ 1 (−3+2𝑖) 1 (−3+2𝑖) 5 = 1 25−60𝑖−60𝑖+144(−1) ∗ 1 (−3+2𝑖) 1 (−3+2𝑖) 5 = 1 (−119−120𝑖) ∗ 1 (−3+2𝑖) 1 (−3+2𝑖) 5 = 1 357−238𝑖+360𝑖−240(−1) 1 (−3+2𝑖) 5 = 𝑖