LA RECTA REAL E INTERVALOS

Presentación del tema: "LA RECTA REAL E INTERVALOS"— Transcripción de la presentación:

1 LA RECTA REAL E INTERVALOS

2 COORDENADA DE UN PUNTO EN LA RECTA R
La recta numérica sobre la cual se ubican los números reales de manera ordenada, se denomina recta real o recta R. A cada punto de una recta real se le coloca un único número real llamado coordenada o abscisa del punto, y recíprocamente, a cada punto de esa recta se le coloca un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación permite la correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de números reales se le llama SISTEMA DE COORDENADAS EN LA RECTA. Denotada con una letra mayúscula.

3 COORDENADA DE UN PUNTO EN LA RECTA R
Identifica en la siguiente recta real; las coordenadas de A, F, G, C y B 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 − 1 2 5 2 A B C F G 𝐴 −4 =−4 𝐸𝑆 𝐿𝐴 𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐴 𝐹 3 = 3 𝐸𝑆 𝐿𝐴 𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐹 𝐺 = 5 2 𝐸𝑆 𝐿𝐴 𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐺 𝐶 0 =0 𝐸𝑆 𝐿𝐴 𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐶 (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) 𝐵 − 1 2 =− 1 2 𝐸𝑆 𝐿𝐴 𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐵

4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN LA RECTA REAL
En un sistema de coordenadas, la distancia entre dos puntos A(a) y B(b) se denota por d 𝐴𝐵 , y está dada mediante el número real 𝑏−𝑎 , tal que d 𝐴𝐵 = 𝑏−𝑎 . En la siguiente recta real, determina la distancia entre los puntos A(-1) y B(1), C(4) y D(9). 4 5 7 8 3 6 9 -1 1 2 A B D C d 𝐶𝐷 = 𝑑−𝑐 d 𝐴𝐵 = 𝑏−𝑎 d 𝐶𝐷 = 9−4 d 𝐴𝐵 = 1−(−1) d 𝐶𝐷 = 5 =5 d 𝐴𝐵 = 1+1 d 𝐴𝐵 = 2 =2

5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN LA RECTA REAL
En la siguiente recta real, identifica las coordenadas dadas y determina la distancia entre los puntos A(0) y B(-1), C(1/2) y D(3/2). B A C D -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝑑 𝐶𝐷 = 𝑑−𝑐 𝑑 𝐴𝐵 = 𝑏−𝑎 𝑑 𝐶𝐷 = 3 2 − 1 2 𝑑 𝐴𝐵 = −1−0 𝑑 𝐴𝐵 = −1 =1 𝑑 𝐶𝐷 = 2 2 𝑑 𝐶𝐷 = 1 =1

6 PUNTOS MEDIOS Y DISTANCIAS ENTRE PUNTOS
La coordenada m del punto medio M del segmento de extremo A(a) y B(b) está dada mediante 𝑚= 𝑎+𝑏 2 A B M a b m Si M(m) es el punto medio, entonces ¿d 𝐴𝑀 =𝑑 𝑀𝐵 ? 𝑑 𝐴𝑀 =𝑚−𝑎 d 𝐴𝑀 =𝑑 𝑀𝐵 𝑚−𝑎=𝑏−𝑚 𝑑 𝑀𝐵 =𝑏−𝑚 𝑚+𝑚=𝑏+𝑎 2𝑚=𝑏+𝑎 𝑚= 𝑏+𝑎 2

7 PUNTOS MEDIOS Y DISTANCIAS ENTRE PUNTOS
Sobre la recta real se disponen dos coordenadas, ¿Cuál es la coordenada del punto medio M del segmento 𝐴𝐵 tal que A(2) y B (10)? 𝑚= 𝑎+𝑏 2 𝑑 𝐴𝐵 = 𝑏−𝑎 𝑑 𝐴𝐵 = 10−2 𝑚= = 12 2 =6 𝑑 𝐴𝐵 = 8 =8 ¿Cuál es la distancia del punto A(-3) al origen de coordenadas? Y su punto medio. 𝑚= 𝑎+𝑜 2 𝑑 𝐴𝑂 = 𝑜−𝑎 𝑚= −3+0 2 𝑑 𝐴𝑂 = 0−(−3) 𝑑 𝐴𝑂 = 0+3 𝑚= −3 2 =−1,5 𝑑 𝐴𝑂 = 3 =3

8 PUNTOS MEDIOS Y DISTANCIAS ENTRE PUNTOS
Dado los puntos A(-3), B(6) y C(7) ¿Cuál de ellos está más lejos del origen de coordenadas ? ¿Y cuál está más cerca? 𝑑 𝐴𝑂 = 𝑜−𝑎 𝑑 𝐵𝑂 = 𝑜−𝑏 𝑑 𝐶𝑂 = 𝑜−𝑐 𝑑 𝐶𝑂 = 0−7 𝑑 𝐴𝑂 = 0−(−3) 𝑑 𝐵𝑂 = 0−6 𝑑 𝐶𝑂 = −7 =7 𝑑 𝐴𝑂 = 0+3 𝑑 𝐵𝑂 = −6 =6 𝑑 𝐴𝑂 = 3 =3 La coordenada A está más cerca del origen La coordenada C está más lejos del origen

9 Distancia entre dos puntos y su punto medio
Ubica en el recta real los puntos siguientes A(6) B(-2) C(-1) D(0) E(5) F(-12) y calcula las siguientes distancias y sus puntos medios: a) 𝑑 𝐴𝐵 = −2−6 = −8 =8 b) 𝑑 𝐶𝐷 = 0−(−1) = 1 =1 c) 𝑑 𝐸𝐹 = −12−5 = −17 =17 d) 𝑑 𝐴𝐶 = e) 𝑑 𝐵𝐸 = 𝑚𝐸𝐹= 5−12 2 =− 7 2 =−3,5

10 PROPIEDADES DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Recordemos; para determinar la distancia entre dos puntos sobre una recta real y que se determina por d 𝐴𝐵 = 𝑏−𝑎 ; es decir un número no negativo. De esta disposición matemática se establecen las siguientes propiedades; La distancia entre dos puntos A y B es un número real no negativo, es decir; d 𝐴𝐵 ≥0 d 𝐴𝐵 =0 siempre y cuando A=B. d 𝐴𝐵 =d 𝐵𝐴 ;es decir, la distancia entre dos puntos no se altera si se mide de cualquier punto a otro. La propiedad de la desigualdad triangular indica que para tres puntos A, B y P cualesquiera se cumple d 𝐴𝐵 =d 𝐴𝑃 +d 𝑃𝐵

11 INTERVALOS REALES En la recta numérica siguiente, x es un número real cualquiera que está entre otros dos reales a y b A X B Es evidente que a<x y x<b. Esta situación se puede expresar como; a<x<b. Como x es un número real cualquiera, la expresión a<x<b se satisface para los infinitos valores que puedan tomar x de los que existen entre a y b. La expresión ×∈ 𝑅 𝑎 <𝑥<𝑏 representa el conjunto de todos los números reales que están entre otros dos reales dados. Este conjunto de números reales se denomina intervalo.

12 INTERVALOS REALES 𝐴,𝐵 ×∈ 𝑅 −3 <𝑥<5
Por ejemplo, si se quiere hallar todos los puntos sobre una recta real que están entre el punto A(-3) y el punto B(5): -3 5 Luego, si X(x) es un punto que está entre A y B se escribe -3<x<5. A ese conjunto de puntos se le denomina intervalo y los números -3 y 5 se llaman sus extremos. 𝐴,𝐵 ×∈ 𝑅 −3 <𝑥<5 De acuerdo con lo anterior, es posible identificar y definir en forma analítica y en forma gráfica distintos conjuntos de números reales en la recta real.

13 TIPOS DE INTERVALOS Dado 𝑎<𝑏, 𝑎 𝑦 𝑏 ∈𝑅, se definen los siguientes tipos de intervalos. INTERVALO ABIERTO: se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Si simboliza por: 𝑎, 𝑏 = 𝑥∈ 𝑅 𝑎 <𝑥<𝑏 Los paréntesis indican que los extremos no están el conjunto definido.

14 TIPOS DE INTERVALOS INTERVALO CERRADO: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Si simboliza como: [𝑎,𝑏]= 𝑥∈ 𝑅 𝑎 ≤𝑥≤𝑏 Los corchetes indican que los extremos están el conjunto definido.

15 TIPOS DE INTERVALOS INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA: se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a, pero excluye al extremo b. Si simboliza como: [𝑎,𝑏)= 𝑥∈ 𝑅 𝑎 ≤𝑥<𝑏

16 TIPOS DE INTERVALOS INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA: se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a, pero incluye al extremo b. Si simboliza como: [𝑎,𝑏)= 𝑥∈ 𝑅 𝑎 <𝑥≤𝑏

17 TIPOS DE INTERVALOS 𝑏) −3; 1 2 𝑎)(−3;5) 𝑐)[ 10 ;+∞)
REPRESENTA GRAFICAMENTE Y ESCRIBE DE MANERA SIMBOLICA DE LOS SIGUIENTES INTERVALOS: 𝑏) −3; 1 2 𝑎)(−3;5) 𝑐)[ 10 ;+∞)

18 INTERVALO INFINITO El conjunto de todos los números reales mayores que un número real a, se considera un intervalo infinito de la forma 𝑎, +∞ . El símbolo +∞ significa que el conjunto se extiende indefinidamente a la derecha. Asimismo se pueden definir otros intervalos infinitos, como lo son: 𝑎, ∞ , −∞, 𝑎 , −∞, 𝑎 𝑦 −∞, +∞ .

19 INTERSECCIÓN Y UNIÓN DE INTERVALOS
Halla la intersección de los intervalos (-3; 6] y [-5;4) Halla la unión de los intervalos (-2; 7] y (-5; 4)