CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD. Introducción Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un.

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1 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

2 Introducción Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes, el estado del clima (lluvia) y la lotería. Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado.

3 Evento aleatorio. Es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Espacio muestral. Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Conceptos básicos de probabilidad Técnicas de conteo. Para determinar el espacio muestral es necesario desarrollar algunas técnicas de enumeración: Factorial de un número. Análisis combinatorio

4 Factorial de un número. El factorial de un entero positivo n, se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 3 mujeres y 3 hombres de tal forma que dos personas de mismo sexo no estén una a lado de la otra? (3x2x1) (3x2x1)= 36

5 Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que NO influye el orden en que se colocan. De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Análisis de Combinaciones

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9 Propiedades básicas de las probabilidades 1. Cualquiera que sea el evento aleatorio A, es positiva y menor o igual 1. 3. La suma de las probabilidades de un evento y su contrario es igual a 1, por lo cual la probabilidad del suceso es, tal que

10 Definiciones de Probabilidades Definición Subjetiva Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible.

11 Definición Estadística (o frecuencial) La probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento.

12 Definición Clásica Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables.

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14 Regla de la adición La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(A o B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

15 Ejemplo 1. Consideré el experimento aleatorio del lanzamiento de una dado normal, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 o 4? Ejemplo 2. Considerando la lotería nacional de la Junta de Protección Social para el próximo domingo ¿Cuál es la probabilidad que número asociado al premio mayor de la lotería, sea un número mayor a 79 o número par? Ejemplo 3. Un bolsa contiene 10 bolas numeradas de 1 hasta 10. Las bolas de 1 a 5 son bolas blancas y las numeradas de 6 hasta 10 son de color rojo. Se selecciona de la bolsa un bola aleatoriamente ¿cuál es la probabilidad que sea de color blanca o impar?

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17 Ley del producto La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí, cuando la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes. Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí, cuando la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro.

18 Ejemplo 1. Considere la canasta con bolas que se presenta. El experimento aleatorio consiste en seleccionar al azar 3 bolas, ¿Cuál es la probabilidad que salgan en el orden: roja, azul, blanca? Ejemplo 2. Una moneda se lanza dos veces, ¿cuál es la probabilidad que las dos veces salga corona (o cara)?

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20 Ejemplo 3. Suponga un sorteo de la lotería nacional. Hay 150 premios pero solamente uno es el premio mayor de 1400 millones de colones. Un jugado comprar el número 96, con la serie 107, ¿Cuál es la probabilidad que gane el premio mayor?

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22 TABLA DE CONTINGENCIA Una tabla de contingencia es una es una distribución (una matriz) en filas y columnas en la que los individuos de una población se clasifican en función de algunas variables. Por ejemplo: la siguiente es una tabla de contingencia en la que 300 personas se han clasificado según el sexo y por su adicción al tabaco. Por ejemplo: la siguiente es una tabla de contingencia en la que 300 personas se han clasificado según el sexo y por su adicción al tabaco. 22

23 PROBABILIDAD MARGINAL Probabilidad Marginal: Es la probabilidad de un evento simple sin consideración de algún otro evento. Es también llamada Probabilidad Simple. Para el ejemplo anterior, si dividimos cada elemento de la tabla por el número de individuos (300), tenemos que: 23 Eventos: H=Es Hombre M= Es Mujer F=Es fumador NF= No es fumador

24 PROBABILIDAD CONDICIONAL Esta se define como la probabilidad de que ocurra el suceso “A”, dado que ya sucedió el evento “B”. 24

25 EJEMPLO 1 De acuerdo a la tabla de los fumadores y no fumadores, ¿Quien tiene mayor probabilidad de ser fumador, los hombres o las mujeres? 25

26 SOLUCIÓN Calculamos la probabilidad de fumar dado que es hombre: Calculamos la probabilidad de fumar dado que es mujer: Respuesta: Es más probable que los hombres fumen 26

27 EJEMPLO 2 Al elegir a un fumador, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?. Respuesta: 27

28 IMPORTANTE!!! De la tabla de contingencia puede observar que por ejemplo: P(H)=P(H ∩ F)+P(H ∩ NF) P(F)=P(F ∩ H)+P(F ∩ M) 28

29 EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes si y sólo sí la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad marginal. En ese caso la probabilidad de que ocurran ambos al mismo tiempo será: 29

30 EJEMPLO 3 Si la probabilidad de lluvia es del 20%, y la probabilidad de que granice es del 35%, ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y caiga granizo? Respuesta: 30

31 EJEMPLO 4 En una caja hay 7 profilácticos, se sabe que 2 están defectuosos y los otros 5 están bien, al sacar 2 unidades de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero salga defectuoso y el segundo este bien? 31

32 SOLUCION Definamos dos eventos A=el primero es defectuoso, y B=el segundo es No Defectuoso. 32

33 EJEMPLO 5 Un estudiante recibe un examen de 5 preguntas, de selección múltiple, cada una con 3 opciones. ¿Cuál es la probabilidad de haber seleccionado las respuestas incorrectas a todas las preguntas? 33

34 SOLUCION En este caso se tienen 2 opciones incorrectas por cada pregunta, por lo tanto la probabilidad de contestar incorrectamente la pregunta es 2/3, contestar una pregunta no depende de la respuesta de la anterior, por lo tanto se tiene que la probabilidad de responder a todas incorrectamente (A) es: 34

35 TEOREMA DE BAYES Es una extensión de la probabilidad condicional que ya se presento, tomando en cuenta que los eventos no son independientes, la probabilidad de P(A ∩ B)=P(B)∙P(A │ B), y recordando el resultado importante que deducimos de las tablas de contingencia, se tiene la formula de Bayes: 35

36 P….PERO QUE FÓRMULA, ¿SE PUEDE HACER MÁS FÁCIL? Claro que sí, solo hay que formar la tabla de contingencia y aplicar la probabilidad condicional 36

37 EJEMPLO 6 En la UES, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar A) la probabilidad de que haya acabado los estudios. B) la probabilidad de que haya acabado los estudios, si es de la carrera de economía. 37

38 SOLUCION PRIMERO CONSTRUIMOS LA TABLA DE CONTINGENCIA. 38 FINALIZONO FINALIZOTOTAL ARQUITECTURA1.00%19.00%20.00%5% MEDICINA4.20%30.80%35.00%12% ECONOMIA8.10%36.90%45.00%18% TOTAL13.30%86.70%100.00%

39 Para contestar al literal A), lo hacemos inmediatamente, 39 FINALIZONO FINALIZOTOTAL ARQUITECTURA1.00%19.00%20.00%5% MEDICINA4.20%30.80%35.00%12% ECONOMIA8.10%36.90%45.00%18% TOTAL13.30%86.70%100.00%

40 Para el literal B), definamos evento F=finalizo los estudios, y evento E=estudio economía. 40

41 EJEMPLO 7: TEST DIAGNÓSTICOS: APLICACIÓN REGLA DE BAYES. Individuo Enfermo T- Sano T+ T- T+ P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuición,… Sensibilidad, verdaderos + Falsos + Especificidad, Verdaderos - Falsos -

42 EJEMPLO: TEST DIAGNÓSTICO Y REGLA DE BAYES La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,3 y la especificidad de 0,99. Calcular los índices predictivos. Individuo Enfermo T- Sano T+ T- T+ 0,3 0,01 0,99 0,7 0,2 0,8

43 OBSERVACIONES En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. A continuación se le pasa un test diagnóstico que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. Relaciónalo con el método científico. -¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio 0.2. Le haremos unas pruebas. - Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es de 0.88