Traslación o rotación? Eje fijo o eje móvil?. Centro instantáneo de rotación (CIR)  En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo, no hay ningún punto.

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1 Traslación o rotación? Eje fijo o eje móvil?

2 Centro instantáneo de rotación (CIR)  En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo, no hay ningún punto que se halle siempre en reposo.  Pero, en cada instante, siempre es posible hallar un punto del cuerpo (o de su extensión), llamado CIR, que tenga velocidad nula.  El CIR de un cuerpo rígido en movimiento plano cualquiera no es un punto fijo. La aceleración del CIR generalmente no es nula.  Entonces, diferentes puntos del cuerpo rígido serán CIR en diferentes instantes y la situación del CIR se moverá respecto al tiempo. Para situar el CIR trazaremos perpendiculares a las velocidades conocidas (de al menos dos puntos) y el punto de corte indicará el CIR (punto C). Eso es debido a que la velocidad de C es nula y que las velocidades de A y de B se calculan como: Como la velocidad de C = 0, el punto A y el punto B se mueven en círculos alrededor de C.

3 Centro instantáneo de rotación (CIR) Para situar el CIR trazaremos perpendiculares a las velocidades conocidas (de al menos dos puntos) y el punto de corte indicará el CIR (punto C). Eso es debido a que la velocidad de C es nula y que las velocidades de A y de B se calculan como: Ejemplo para hacer en clase

4 m FtFt FnFn r El momento de torsión que actúa sobre la partícula es proporcional a su aceleración angular. Momento de torsión y aceleración angular dm r O x y dFtdFt Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración angular a t. Entonces dF t = (dm)a t El momento de torsión será: d  = rdF t = (r dm)a t = (r 2 dm)  El momento de torsión total es la integral de este diferencial:

5 Movimiento de traslación de un sólido rígido.  Como todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad y aceleración, el estudio del movimiento de traslación del sólido se puede llevar a cabo analizando el movimiento de su CM.  El movimiento del CM viene dado por Ecuación del movimiento para la traslación de un sólido rígido. Traslación

6 Movimiento de rotación de un CR en torno a un eje fijo  Momento angular y momento de inercia. Se tiene una placa delgada sólida que rota alrededor de un eje de rotación fijo. AiAi El momento angular del elemento A i de la placa respecto O es El momento angular de toda la placa respecto al punto O es Como la velocidad angular es la misma para todos los puntos del sólido El momento de inercia para el eje ZZ’ que pasa por O como Ecuación vectorial. El momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular para un sólido plano. Z Z’ RiRi O

7 Se tiene ahora un sólido rígido de forma arbitraria rotando alrededor de un eje fijo.  El momento angular del punto A i del sólido respecto a O es  El momento angular total del sólido respecto al punto O es  Sin embargo para cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que existen al menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el momento angular es paralelo al eje de rotación.  Estos son los tres ejes principales de inercia (X O, Y O, Z O ) y sus correspondientes momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia (I 1, I 2, I 3 ). Si el eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumple Ecuación escalar. Válida independientemente de la forma del cuerpo. Z’ Z RiRi AiAi El momento angular del punto tiene una dirección distinta a la velocidad angular. Es perpendicular a y. El momento angular total del sólido puede tener una dirección distinta a la de  No obstante se cumple siempre que la componente del momento angular a lo largo del eje de rotación Z es Válida cuando el sólido gira alrededor de un eje principal de inercia. Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. O

8 Cuando el cuerpo posee algún tipo de simetría, los ejes principales coinciden con los ejes de simetría. XOXO YOYO ZOZO XOXO YOYO ZOZO XOXO YOYO ZOZO Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. Hemos visto que el momento de inercia para un sistema de partículas discreto se define Para un objeto continuo el sumatorio anterior se reemplaza por una integral

9 El momento de las fuerzas exteriores para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia que pasa por O se expresa Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido que gira en torno a un eje fijo (que es principal de inercia). Como es principal Rotación en torno a un eje Z’ Z O Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. Relación entre momento de una fuerza y momento angular

10 Resumen. Ecuaciones. Movimiento de traslación y rotación combinados. Para un sólido rígido que se traslada y que gira alrededor de un eje que pasa por su CM, sometido a fuerzas exteriores, las ecuaciones del movimiento son: Traslación Rotación en torno a un eje  Esta ecuación es válida aún si el eje de rotación se mueve, siempre y cuando se satisfagan estas condiciones: 1. El eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de simetría. 2. El eje no debe cambiar de dirección. Estas condiciones se satisfacen en muchos tipos de rotación, en general, este eje de rotación móvil no está en reposo en un marco de referencia inercial. Puedo poner el momento de las Fuerzas exteriores con respecto al CM Sumatoria de fuerzas exteriores Sumatoria de Momento de fuerzas exteriores Sino estoy segura de que punto tomar hacer el momento con respecto al CM

11 Tipos de movimientos de un sólido rígido de forma cilíndrica que se mueve sobre una superficie plana  I. El cilindro desliza  Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad para cualquier instante de tiempo.  El cilindro tiene un movimiento de traslación.  El mismo punto del sólido permanece en todo momento en contacto con la superficie. S CM P P

12  II. El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura pura. Un punto distinto del sólido en cada instante permanece en contacto con la superficie verificándose. CM P P  R S CM CM Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura.

13  III. El cilindro tiene un movimiento de traslación y rotación combinados. Traslación Rotación +  La velocidad del punto de contacto con la superficie es nula. (el cuerpo NO desliza).  La fuerza de rozamiento es estática. Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura.

14  IV. El cilindro rueda y desliza. Al rodar y deslizar en este caso se tiene que El cilindro tiene un movimiento de traslación y rotación combinados, pero la velocidad del punto de contacto no es nula. La fuerza de rozamiento es dinámica. Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura.  Para un sólido rígido que rueda sin deslizar sobre una superficie, la fuerza de rozamiento es estática, se tiene que,  Para un sólido rígido que rueda y desliza sobre una superficie, la fuerza de rozamiento es dinámica, se tiene que, Próxima clase

15 Energía cinética rotacional La energía cinética total de un cuerpo que rota es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación del centro de masas Si W FNC es igual a cero, la energía mecánica del sistema se conserva (es una constante) Próxima clase

16 Aplicamos las ecuaciones de movimiento al disco: Aplicamos 2a ley de Newton a la masa que cae: mg - T = ma (2 kg)(9.8 m/s 2 ) - ½(6 kg) a = (2 kg) a 19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s 2 R = 50 cm 6 kg 2 kg a = ? M ¿Cuál es la aceleración lineal de la masa de 2 kg que cae? R = 50 cm 6 kg 2 kg y x

17 Por una polea de masa M = 3,0 kg y radio R = 10,0 m, pasa una cuerda ideal, de cuyos extremos penden sendas pesas de masas m 1 = 15,0 kg y m 2 = 10,0 kg. Cuando las masas están separadas 3,0 [m] comienzan a moverse. Si la polea se considera como un disco uniforme, determine la rapidez de las dos masas cuando se cruzan, suponiendo que solo hay roce entre la cuerda y la polea. Para resolver el ejercicio se aplica Se hace el DCL de los cuerpos puntuales y de la polea y x

18 y x Para la polea, el momento es + para el movimiento antihorario Reemplazo T 1, T 2 y a

19 Cuando las masas están separadas 3,0 [m] comienzan a moverse. Si la polea se considera como un disco uniforme, determine la rapidez de las dos masas cuando se cruzan, suponiendo que solo hay roce entre la cuerda y la polea. La aceleración del cuerpo 1 es la misma que la aceleración tangencial de la polea en el punto de contacto. Como la polea tiene radio único pasa lo mismo para el punto 2.