Ecuaciones de Fresnel. Plano de incidencia y la interface con el medio Definición Definición Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular.

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1 Ecuaciones de Fresnel

2 Plano de incidencia y la interface con el medio Definición Definición Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page) nini ntnt ii rr tt EiEi ErEr EtEt Interface x y z Plano de incidencia (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incidente y reflejado. Medio de incidencia Medio de transmisión Paralelo (“P”) La polarización es paralela al plano de incidencia. Perpendicular (“S”) la polarización apunta hacia el interior del plano de incidencia.

3 Notación simplificada para los estados de polarización Perpendicular (“S”) Esta polarización se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia. Paralelo (“P”) Esta polarización está paralela al plano de incidencia

4 Ecuaciones de Fresnel Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida a través la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface x y z El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico y magnético de la ondas i, r y t para el caso “S”.

5 La componente tangential del campo eléctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo. Sucede que, todos los campos E están en la dirección z, que es e plano (xz) de la interface, Así: E i (x, y = 0, z, t) + E r (x, y = 0, z, t) = E t (x, y = 0, z, t) nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Condiciones de contorno para el campo Eléctrico en la interface x y z

6 La componente tangencial del campo magnético es continua En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo. Todos los campos B están en el plano x-y. Si consideramos la componente, tenemos x: –B i (x, y = 0, z, t) cos(  i ) + B r (x, y = 0, z, t) cos(  r ) = –B t (x, y = 0, z, t) cos(  t ) Condiciones de contorno para el campo magnético en la interface nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface x y z ii ii

7 Reflexión y Transmisión de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes: Si y Sustituyendo por

8 Coeficientes de Reflexión y Transmisión para luz polarizada perpendicularmente reacomodando obtenemos : Resolviendoobtenemos el coeficiente de reflexión: En forma análoga obtenemos el coeficiente de transmisión Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente

9 Ecuaciones de Fresnel Campo eléctrico paralelo x y z Notar que el campo magnético debe entrar hacia la pantalla para tener que. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Geometría de los Rayos para luz polarizada con el campo eléctrico E paralelo al plano de incidencia Campo B- entrante en la página.

10 Coeficiente de Reflexión y Transmisión para E paralelo (P) al plano de incidencia For parallel polarized light, B 0i - B 0r = B 0t and E 0i cos(  i ) + E 0r cos(  r ) = E 0t cos(  t ) Solving for E 0r / E 0i yields the reflection coefficient, r || : Analogously, the transmission coefficient, t || = E 0t / E 0i, es: Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente. para luz polarizada paralela al pIano y calculamos y obtenemos el coeficiente de reflexión: En forma análoga el coeficiente de transmisión

11 Coeficiente de Reflexión y Transmisión para una interface Aire-Vidrio n aire  1 < n vidrio  1.5 Note que: Hay reflexión total para  = 90° para ambas polarizaciones Reflexión cero para polarización paralela en el “ángulo de Brewster” (56.3° para los valores de n i y n t ).Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster será diferente. ángulo de incidencia,  i Coeficiente de Reflexion, r 1.0.5 0 -.5 r || r ┴ 0° 30° 60° 90° ángulo de Brewster r || =0

12 Coeficiente de Reflexión para la interface Vidrio-Aire n vidrio  1.5 > n aire  1 Note que : Ocurre refexión total interna por encima del “ángulo crítico "  crítico  arcsen(n t /n i ) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1) Angulo de incidencia,  i Coeficiente de Reflexión r 1.0.5 0 -.5 r || r ┴ 0° 30° 60° 90° Reflexión Total interna Ángulo de Brewster Ángulo Crítico Ángulo crítico

13 Transmitancia ( T ) T  Potencia transmitida / Potencia Incidente tt ii wiwi wtwt nini ntnt A = Area Si el rayo tiene un ancho w i : Ya que T es la transmitancia o Transmisividad.

14 Reflectancia ( R ) R  Potencia reflectada/ Potencia incidente Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión. También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio. Así: A = Area ii wiwi nini ntnt rr wiwi R es la Reflectancia o Reflectividad.

15 Reflectancia y Transmitancia para una interface Aire-Vidrio Note que R + T = 1 Polarización Perpendicular Ángulo de Incidencia,  i 1.0.5 0 0° 30° 60° 90° R T Polarización Paralela Ángulo de Incidencia,  i 1.0.5 0 0° 30° 60° 90° R T

16 Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Note que R + T = 1 Polarización Perpendicular Ángulo de Incidencia,  i 1.0.5 0 0° 30° 60° 90° R T Polarización Paralela Ángulo de Incidencia,  i 1.0.5 0 0° 30° 60° 90° R T

17 Reflexión con incidencia normal Cuando  i = 0, Para una interfaz aire-vidrio ( n i = 1 y n t = 1.5 ), R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa. R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotográficos.

18 Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente Entonces habrá diferencia de fase de π radianes entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si n i > n t (vidrio - aire), r  > 0, no hay diferencia de fase entre el rayo incidente y el reflejado. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Cuando Aire-vidrio Si

19 Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente Esto significa que habrá diferencia de fase de π radianes entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si n i > n t (vidrio - aire), r || > 0, no hay diferencia de fase entre el rayo incidente y el reflejado. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Cuando Aire-vidrio Si

20 Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (aire - vidrio) n i < n t 180° para todos los ángulos 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 00 00 ┴ ||

21 Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflexión Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflexión (vidrio - aire) n t < n i Cambia la fase por encima del ángulo crítico 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 00 00 ┴ ||

22 Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(  t ) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero (occurre RIT) cuando roza la superficie. RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada. Ángulo de Brewster Reflexión total interna