Lenguajes de libre contexto. GramáticasGramáticas Una gramática es otra forma de describir un lenguaje. Ejemplo:  O    S   P   S    A   T.

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1 Lenguajes de libre contexto

2 GramáticasGramáticas Una gramática es otra forma de describir un lenguaje. Ejemplo:  O    S   P   S    A   T   P    V   A   el  A   un  T   niño  T   perro  V   corre  V   camina

3 GramáticasGramáticas  O    S   P   S    A   T   P    V   A   el  A   un  T   niño  T   perro  V   corre  V   camina Una derivación de "un niño corre": O  S PO  S P  A T P A T P  A T V  A T V  un  T   V   un  T  corre  un niño corre

4 GramáticasGramáticas  O    S   P   S    A   T   P    V   A   el  A   un  T   niño  T   perro  V   corre  V   camina Lenguaje descrito por esta gramática: L={"el niño corre", "el niño camina", "un niño corre", "un niño camina", "el perro corre, el perro camina", "un perro corre", "un perro camina"}

5 GramáticasGramáticas Variable o "no- terminal"  T   niño Regla de producción Terminal

6 GramáticasGramáticas Otro ejemplo: Algunas derivaciones: Lenguaje:  Este formalismo permite describir algunos lenguajes que no son regulares.

7 Gramática: forma general Una gramática es una tupla G=(V,T,S,P) donde T es un conjunto finito de símbolos terminales (es el alfabeto en que estarán escritas las palabras). V es un conjunto finito de variables (símbolos que no aparecerán en la palabra final). S  V es la variable de inicio. P es un conjunto finito de reglas de producción de la forma p  q, donde p es de la forma (V+T) * V(V+T) * y q es de la forma (V+T) *.

8 DerivacionesDerivaciones T={a,b} V={S} S=S P={S  aSb, S  } Una derivación es la obtención de una palabra u a partir de una palabra v, ambas pertenecientes a (V+T) *, aplicando una regla de producción: Si la regla es p  q, será aplicable sólo si p está incluida en u, o sea, u=xpy. El resultado será v=xqy. Escribimos u  v.

9 DerivacionesDerivaciones Definimos  * como la cerradura transitiva de . Es decir, u  * v ssi  u 1,u 2,...,u k tales que u  u 1  u 2 ...  u k  v Además definimos que u  * u para todo u. Definimos el lenguaje descrito por la gramática como el conjunto de todas las palabras de terminales que pueden derivarse a partir de S: L(G) = { w  T * : S  * w } A veces cuando no haya confusión posible, anotaremos  * simplemente como 

10 Convención sobre notación Notación: se suelen usar en este contexto Letras minúsculas del comienzo del alfabeto para los terminales. Letras minúsculas del final del alfabeto para las palabras (de terminales, o de terminales mezclados con variables). Letras mayúsculas para las variables. Cuando por algún motivo esto pueda inducir a confusión, entonces se usan con corchetes:  S . Casos típicos: cuando es inevitable usar mayúsculas en los terminales, o cuando una variable tiene un nombre natural (ejemplo:  predicado  ).

11 Gramáticas de libre contexto El formalismo general de gramáticas es demasiado poderoso :  puede describir lenguajes más complejos que los que nos interesan (por ahora). Estudiaremos en este capítulo las gramáticas de libre contexto y sus lenguajes asociados (lenguajes de libre contexto). Nota: también lo traducen como “de contexto libre”, “independientes del contexto”, etc, etc.

12 Gramáticas de libre contexto Def.: una gramática se dice de libre contexto (GLC) ssi en toda regla de producción p  q, se tiene que p  V. Es decir, las reglas son de la forma X  w con w  (V+T) *. ¿Por qué interesan?  Los lenguajes de programación, y (salvo algunas construcciones particulares) los lenguajes naturales son de libre contexto!!

13 (Gramáticas regulares Un caso aún más particular son las GLC en que se pide que todas las reglas de producción sean de las formas S  aT ó S  a Se les llama gramáticas lineales por la derecha. Análogamente se definen las gramáticas lineales por la izquierda, que tienen reglas de la forma S  Ta, ó bien S  a. Una gramática es regular si es lineal por la derecha, o es lineal por la izquierda.

14 Gramáticas regulares L es un lenguaje regular ssi L=L(G) para una gramática regular G. Ir derivando la palabra corresponde a ir cambiando de estado interno (la variable), y escribiendo. Nota: en la clase el estado C estaba anónimo, y las producciones que incluyen C estaban resumidas en una sola, A  aaB. Lo cambio aquí para respetar el formato definito en la transparencia previa.

15 Gramáticas regulares) Ojo: para que G sea regular debe ser lineal por la derecha o por la izquierda, pero no puede mezclar las dos formas : S  aT T  Sb S  genera {a n b n, n  0}, que es el clásico ejemplo de lenguaje no regular.

16 GLC, ejemplos Volvamos al caso general de GLC. Otro ejemplo: ¿Lenguaje?  {a n b n+1, n  0} Una notación conveniente: cuando el lado izquierdo es el mismo, agrupamos varias reglas de producción en una sola línea mediante “|”:

17 GLC, ejemplos Más ejemplos: donde T={(,)}, V={S}. ¿Lenguaje? S  (S)  () S  (S)  (SS)  ((S)S)  ((S)(S))  (()(S))  (()()) da el lenguaje de los paréntesis bien balanceados.

18 GLC, ejemplos Más ejemplos: donde T={a,b}, V={S}. ¿Lenguaje? S  aSa  abSba  abbSbba  abbbba  es el lenguaje de los palíndromes de largo par: L={ w=u u R, u  {a,b} * } Ejercicio: modificar la gramática para que también genere palíndromes de largo impar (p.ej., aba).

19 GLC, ejercicios Ejercicios: ¿Qué lenguajes describen las siguientes gramáticas? G 2 : S  XY X  aX | bX | a Y  Ya | Yb | a G 1 : S  XaaX X  aX | bX |  Escriba una gramática que describa el lenguaje de todas las expresiones regulares válidas sobre el alfabeto {a,b}.

20 GLC "prototípicas" Algunas formas típicas de LLC (lenguajes de libre contexto): Recursivos Por partes Anidados Algunos ejemplos para tener en cuenta (como “principios de diseño”): Recursivo: {a n b n, n  0}  Lo generamos con algo de la forma S  aSb  El de los palíndromes es análogo.  Idea: hay un "surtidor" al medio que emite letras de manera simétrica.

21 GLC "prototípicas" Por partes: L={a n b n a m b m, n  0, m  0}  Lo generamos con algo de la forma S  XY  Luego a partir de X e Y generamos las dos partes (aprovechando que no tienen relación). En este caso L=L 1 L 1, con L 1 ={a n b n, n  0}, de modo que X e Y pueden ser el mismo: S  XX X  aXb | 

22 GLC "prototípicas" Anidados: L={a n b m a m b n, n  0, m  0}  Aquí las “partes independientes” son a n b n y b m a m que está dentro de la anterior.  Generamos primero lo exterior, luego lo interior.  En este caso particular, tanto lo interior como lo exterior es del tipo recursivo. S  aSb | X X  bXa | 

23 GLC, un ejemplo más complejo L={w  {0,1} * : w tiene dos bloques de 0’s del mismo tamaño}. Permitidos: 01011, 001011001, 10010101001 No permitidos: 01001000, 01111 10010011010010110 inicio parte central final ABC A: , ó termina en 1 C: , ó comienza con 1 00110100 D Cantidad de 0’s: la misma a cada lado al menos uno

24 GLC, un ejemplo más complejo  De modo que descomponemos por partes, y luego aplicamos recursividad en B. 10010011010010110 inicio parte central final ABC 00110100 D Cantidad de 0’s: la misma a cada lado al menos uno A →  | U1 U → 0U | 1U |  C →  | 1U D → 1U1 | 1 S → ABC B → 0B0 | 0D0

25 Derivaciones y árboles Cuando una derivación pasa por algún punto en que hay más de una variable, significa que habrá varias derivaciones equivalentes, según cuál sea el orden en que aplicamos las producciones: S  XY  aaXY  aaXYb  aaaaXYb  aaaaXb  aaaab S  XY  aaXY  aaaaXY  aaaaY  aaaaYb  aaaab

26 Derivaciones y árboles Dentro de esta variedad de derivaciones equivalentes, distinguimos la derivación izquierda y la derivación derecha (anotadas por  L y  R respectivamente). S  XY  aaXY  aaaaXY  aaaaY  aaaaYb  aaaab es una producción izquierda: en cada paso reemplazamos la variable que está más a la izquierda. Una derivación derecha sería: S  XY  XYb  Xb  aaXb  aaaaXb  aaaab

27 Derivaciones y árboles S  L aaaab : S  XY  aaXY  aaaaXY  aaaaY  aaaaYb  aaaab S  R aaaab : S  XY  XYb  Xb  aaXb  aaaaXb  aaaab Árbol de análisis sintáctico (o “árbol de derivación”): representa la derivación, sin importar el orden:

28 Derivaciones y árboles En la raíz va S. En las hojas, terminales o . Las derivaciones extremas,  L y  R, corresponden a hacer recorridos del árbol en pre-orden y post-orden, respectivamente. Nótese que en este caso hay más de una derivación, pero el árbol es único (no hay otra forma de derivar aaaab). No siempre será el caso.

29 GLC: ambigüedad E  E+E  V+E  x+E  x+E+E  x+V+E  x+y+E  x+y+V  x+y+z E  E + E | (E) | V V  x | y | z x + y + z E EE+ EE+V VVx yz E EE+ EE+V VV xy z E  E+E  E+E+E  V+E+E  x+E+E  x+V+E  x+y+E  x+y+V  x+y+z Aquí hay dos árboles distintos, cada uno con una derivación izquierda distinta.

30 GLC: ambigüedad Los parseadores construyen árboles de análisis sintáctico. Ese árbol indica cómo se entiende el texto. Analizador léxico Parser precio id + id Expresión asignación :=Total iva Total=precio+iva; Total=precio+iva;

31 GLC: ambigüedad La existencia de más de un árbol de derivación puede ser entonces nefasta: E  E + E | E  E | (E) | V V  x | y | z x  y + z E EE  EE+V VVx yz E EE+ EE  V VV xy z “Primero y+z, luego x  eso” “Primero x  y, luego eso + z”

32 GLC: ambigüedad Un caso clásico de ambigüedad en lenguajes de programación: dos ifs, un else. Sif  then S else S  if  then S  S if  then S if  S else S  La mayoría de los lenguajes lo resuelven asignando el else al if más cercano.

33 GLC: ambigüedad Decimos que una gramática G es ambigua, si existe una palabra en L(G) que admite más de un árbol de derivación. Nota: puede haber más de una derivación sin que indique ambigüedad, siempre y cuando sigan el mismo árbol. Otro motivo que hace nefasta la ambigüedad: para el parser es más fácil encontrar un árbol de derivación si la solución es única.

34 GLC: ambigüedad La buena noticia: a veces podemos cambiar la gramática por otra equivalente (i.e., mismo lenguaje) pero sin ambigüedad: E  T | E + T T  F | T  F F  (E) | V V  x | y | z E  E + E | E  E | (E) | V V  x | y | z Genera lo mismo, pero obliga al árbol a reconocer la prioridad de la multiplicación. Java o C++ aplican algo análogo para resolver los else ambiguos.

35 GLC: ambigüedad Las malas noticias: A veces un lenguaje es inherentemente ambiguo: sólo existen gramáticas ambiguas que lo describen. Si tenemos una gramática ambigua, no existe un algoritmo general que nos diga acaso es intrínsecamente ambigua. Y aún si no lo fuera, tampoco hay método infalible para “desambiguarla”.

36 GLC: ambigüedad Ejemplo de lenguaje inherentemente ambiguo (sin demostrar): Una palabra de la forma a n b n c n tiene dos árboles distintos. Lo que no demostraremos es que para cualquier otra gramática equivalente, pasa lo mismo.  Ver Hopcroft.

37 GLC: ambigüedad Ergo:  Se puede tratar de evitar la ambigüedad.  A veces hay que convivir con ella.  Un lenguaje de programación debiera diseñarse con una gramática que evite la ambigüedad (tanto para evitar errores de interpretación, como para facilitar el parseo).

38 GLC: simplificación Dada una gramática G, digamos, S → aSb | bSaSb | T T → S |  Si además nos dan un string w, ¿Cómo sabemos acaso w  L(G)? En caso de que esté, ¿cómo obtenemos un árbol de derivación? Y en caso de obtenerlo, ¿es único?

39 GLC: simplificación S → aSb | bSaSb | T T → S |  SaSb bSaSb T aaSbb abSaSbb aTb S  baSbaSb... w=aabbb ¿está? Por fuerza bruta: podemos intentar generar todas las posibles derivaciones, buscando alguna que genere w. Problema: ¿Cuándo parar?               ...

40 GLC: simplificación S → aSb | bSaSb | T T → S |  w=aabbb ¿está? Una idea: parar cuando la palabra que tenemos exceda la longitud de w. Problema #1: si existen reglas de producción que llevan a , entonces la longitud no necesariamente va aumentando. S  aSb  abSaSbb  abSabb  ababb Para evitar esos "acortamientos", sería bueno que no hubiera producciones nulas como esa.

41 GLC: simplificación S → aSb | bSaSb | T T → S |  w=aabbb ¿está? Una idea: parar cuando la palabra que tenemos exceda la longitud de w. Problema #2: podemos quedarnos pegados en loops, si se dan casos en que, por ejemplo S → T, T → S. S  aSb  aTb  aSb  … Así que sería bueno evitar situaciones de ese tipo también.

42 Eliminación de producciones nulas Decimos que una variable X es anulable si existe una derivación X  *  Para determinar las variables anulables, aplicamos un algoritmo de marcado recursivo: Marcamos todas las variables X que tengan una regla de producción X . Mientras exista una regla de producción de la forma Y  X 1...X m donde Y no está marcado pero todos los X i lo están, marcar Y.

43 Eliminación de producciones nulas Para eliminar las producciones nulas, (1) Determinar todas las variables anulables, X 1,...,X k (2) Para cada producción de la forma Y  uX i v, agregar una producción Y  uv. Más en general: si el lado derecho incluye más de una variable anulable, considerar cada combinación de anulación. Por ejemplo, si Y  uXabYv, y tanto X como Y son anulables, agregamos Y  uabYv Y  uXabv Y  uabv

44 Eliminación de producciones nulas Para eliminar las producciones nulas, (3) Si X i  es una producción, eliminarla. (4) Si S es anulable, entonces agregar una producción S  (salvo que ya exista). Esa última salvedad es importante: Si  no está en el lenguaje de la gramática, entonces S no es anulable y no habrá producciones nulas. Si  está en el lenguaje de la gramática, entonces S es anulable y la única producción nula será S .

45 Eliminación de producciones nulas Ejemplo: S  a | Xb | aYa X  Y |  Y  b | X Anulables: X e Y. Eliminamos X   A partir de S  Xb se agrega S  b, pues X es anulable. A partir de S  aYa se agrega S  aa, pues Y es anulable, S  a | Xb | aYa | b | aa X  Y Y  b | X

46 Eliminación de producciones nulas Sustituimos Gramática inicial Anulables: M Otro ejemplo: Gramática final

47 Eliminación de producciones unitarias Una "producción unitaria" es de la forma X  Y; decimos que existe una derivación unitaria entre dos variables X e Y si se tiene X  * Y. Si no hay producciones nulas (y supondremos aquí que ya las eliminamos), entonces X  * Y sólo es posible mediante una cadena de producciones unitarias. Producción SX- SY- XSX  S XY- YXY  X YSY  X  S S  aX | Yb X  S Y  bY | b | X

48 Eliminación de producciones unitarias Para eliminar derivaciones unitarias: Para cada par de variables tales que X  * Y, introducimos nuevas producciones: para cada producción no-unitaria de Y, Y  s 1, Y  s 2,..., agregamos X  s 1, X  s 2,... Se hace simultaneamente para todos los pares X,Y con derivación unitaria. Después se eliminan las producciones unitarias, y todo lo redundante (que suele aparecer).

49 Eliminación de producciones unitarias Ejemplo: S  aX | Yb X  S Y  bY | b | X Como X  * S, se agregan X  aX, X  Yb Como Y  * X... No se agrega nada. Como Y  * S, se agregan Y  aX, Y  Yb Finalmente, eliminamos las producciones unitarias X  S y Y  X. La nueva gramática quedaría S  aX | Yb X  aX | Yb Y  bY | b | aX | Yb

50 Eliminación de variables inútiles Al ir transformando las gramáticas (manteniendo, recordemos, el mismo lenguaje) pueden aparecer variables o producciones inútiles. Dos formas típicas son: X es inútil: nunca desaparece, así que no puede formar parte de la derivación de una palabra del lenguaje. Y es inútil: no hay forma de que aparezca en una derivación!

51 Eliminación de variables inútiles En general una variable será útil cuando exista una palabra w  L(G) en cuya derivación aparezca: Si esto nunca ocurre, es inútil. Una producción es útil sólo si todas sus variables son útiles. De lo contrario, es inútil. Para determinar las variables inútiles: son aquellas que no producen strings de terminales, o bien, que no son accesibles desde S.

52 Eliminación de variables inútiles Para encontrar las variables que producen strings de terminales, definimos un conjunto U=T. Luego iteramos: Si existe una variable X  U, pero que tiene una producción X  u, u  U *, entonces agregamos X a U. Si no existe ninguna variable así, salimos de la iteración. U={a,b} U={a,b,A} U={a,b,A,S} U={a,b,A,S,B}

53 Eliminación de variables inútiles Las variables que hayan quedado fuera de U son las que no producen strings de terminales, ergo, son inútiles. Las eliminamos, así como todas las producciones en que aparezcan. U={a,b} U={a,b,A} U={a,b,A,S} U={a,b,A,S,B}

54 Eliminación de variables inútiles A continuación eliminamos las variables que no se alcancen desde S. Eso es aplicar recorrido de grafos, de EDA: Generamos grafo de dependencia B no es alcanzable  Es inútil.

55 Eliminación de variables inútiles Simplificación de gramáticas: (1)Eliminar producciones nulas (2)Eliminar producciones unitarias (3)Eliminar variables inútiles (1) y (2) son relevantes para que las cosas que siguen a continuación funcionen. (3) es útil para no acarrear lastre, que suele aparecer como subproducto de (1) y (2).

56 Aumento de longitud en la derivación Sea G una gramática sin producciones nulas ni unitarias. Entonces, en una derivación, cada paso aumenta la longitud de la palabra, o bien lo mantiene constante pero a costa de reducir la # de variables. ¿Motivo? Cada paso de la derivación reemplaza una variable X por algo, pero ese "algo" no es  ni tampoco es una variable "desnuda". Alternativas: Reemplazar por una expresión con más de un símbolo: la expresión se alarga. Reemplazar por un símbolo terminal: queda con la misma longitud, pero con una variable menos.

57 Aumento de longitud en la derivación En ese caso sí podemos aplicar la fuerza bruta para evaluar acaso un string w pertenece a una gramática G: Probamos todas las derivaciones de largo a lo más |w| (es decir, todas las combinaciones de a lo más |w| reglas de producción). Esa es ahora una cantidad finita, así que podemos probarlas en tiempo finito. En el peor de los casos, probamos |P|+|P| 2 +...+|P| |w| combinaciones. w  L(G) ssi alguna de esas derivaciones la genera.

58 La buena y mala noticia Es buena noticia: existe algoritmo para saber si una palabra está en el lenguaje. La mala noticia: es pésimo.  La cantidad de casos crece exponencialmente en la medida que crece |w|.  Para un código Java de 200 líneas, el tiempo de ejecución sería astronómico (  10 200 ). Existe algoritmo más eficiente, pero requiere transformar la gramática un poco más.

59 Forma Normal de Chomsky (FNC) Una gramática está en la forma normal de Chomsky (FNC) si cada producción (a excepción de S , si que existe) es de una de las dos siguientes formas: X  YZ o bien X  a donde, como de costumbre, X,Y,Z  V, a  T. Está en FNC No está en FNC

60 Forma Normal de Chomsky (FNC) Teorema: Para toda gramática de libre contexto G, existe una gramática de libre contexto G' en forma normal de Chomsky que es equivalente a G (es decir, L(G)=L(G')). Para demostrarlo, tenemos que ver que podemos transformar cualquier GLC hasta que quede en FNC. 1. Eliminamos las producciones nulas, unitarias, inútiles. 2. Eliminamos los lados derechos "mixtos":

61 Forma Normal de Chomsky (FNC) Para eliminar los lados derechos mixtos, creamos una nueva variable T  por cada terminal . Reemplazamos cada  por el T  respectivo, y agregamos un producción T  . Ojo: si alguna producción ya era de la forma X , la dejamos así (no la cambiamos a X  T  ). Así evitamos introducir producciones unitarias.

62 Forma Normal de Chomsky (FNC) 3. Reemplazamos toda producción de la forma A  C 1 C 2...C n por una cadena de producciones A  C 1 V 1, V 1  C 2 V 2,..., V n-2  C n-1 C n donde los V 1,...,V n-2 son nuevas variables, intermedias.

63 Forma Normal de Chomsky (FNC) Y listo. Llevar GLC a la forma normal de Chomsky es relativamente fácil. Tener la GLC en FNC sirve para varias cosas, prácticas y teóricas. La más importante: para parsear en tiempo polinomial en |w|.

64 CYKCYK Algoritmo CYK (Cocke-Younger-Kasami): Input: una GLC G en FNC, y una palabra w. Output: acaso w  L(G) [y fácilmente se puede pedir que además dé un árbol de derivación, en caso de respuesta positiva] Idea: determino las variables que producen todas las subpalabras de w de largo 1. Luego las que producen todas las subpalabras de w de largo 2. Etc...

65 CYKCYK Para una palabra de largo k dada (digamos, u), consideramos las posibles formas de descomponerla en 2 palabras más cortas. Si para una descomposición u=v 1 v 2 se tiene que X  * v 1, Y  * v 2 (esa información ya está en la tabla), y existe Z  XY (eso lo miro en la gramática), entonces Z  *u. w  L(G) ssi al final S es una de las variables que producen w.

66 CYKCYK Ejemplo, con gramática: y palabra Subpalabras de largo k, partiendo de posición j k \ j 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

67 CYKCYK Variables que generan las subpalabras de largo 1

68 CYKCYK Variables que generan las subpalabras de largo 2

69 CYKCYK Variables que generan las subpalabras de largo 5 (o sea, w)

70 CYKCYK Es fácil modificar CYK para que me entregue un árbol de derivación: cada vez que ponemos una variable en la tabla, debemos recordar por qué la pusimos. Luego con esa información recuperamos el árbol. CYK llena una tabla de tamaño  |w| 2. Para cada item de la tabla hay que hacer algo de trabajo. Se puede demostrar que el tiempo de ejecución es  |w| 3. Mucho mejor que |P| |w|.

71 PDA (Autómatas de pila) Antes teníamos la correspondencia lenguajes regulares  autómatas finitos. También para los LLC existe, no sólo un tipo de gramática, sino también un tipo de máquina que los reconoce. Como los lenguajes regulares son un subconjunto propio de los LLC, el nuevo tipo de máquina es una generalización del que teníamos antes.

72 PDA (Autómatas de pila) Al AF le agregamos una pila (stack). Memoria potencialmente infinita, pero de acceso restringido. El resultado es un autómata de pila, autómata apilador, o en inglés pushdown automaton (PDA). Input Pila Estados

73 PDA (Autómatas de pila) A medida que el PDA lee su input, puede sacar o guardar símbolos en la pila. Sus cambios de estados, y lo que haga con la pila, dependerán de lo que va leyendo en el input y de lo que saque de la pila. Los PDA que veremos, salvo que se indique lo contrario, son no deterministas : hay transiciones , más de una transición para una misma situación, etc... Hay más de una forma de definir el lenguaje reconocido; de momento será "a la antigua", mediante estados de aceptación.

74 PDA (Autómatas de pila) Un poco de notación extra: La pila tiene su propio alfabeto,  (que puede coincidir en parte con el del input). Existe un símbolo especial $  que señala "el fondo" de la pila. Al comienzo es todo lo que la pila contiene. Pila leo del input saco guardo En el grafo de transiciones tendremos que anotar lo que se saca y guarda en la pila.

75 tope input pila Reemplaza

76 Guarda input pila tope ("push")

77 Saca input pila tope ("pop")

78 Sin cambio tope input pila

79 No determinismoTransición  PDA (Autómatas de pila) Recordatorio:  también se escribe a veces como “  ” o bien como “ ”.

80 PDA (Autómatas de pila) Formalmente, un PDA es una tupla M = ( Q,  , q 0, F ) Q es un conjunto finito de estados  es el alfabeto de entrada  es el alfabeto de la pila q 0 es el estado inicial F  Q son los estados de aceptación  es la función de transición,  : Q  (  {  })  (  {  })  2 Q  (  {  })

81 PDA, ejemplo Ejemplo: (ojo, aquí  )

82 Input estado actual Pila PDA, ejemplo

83 Input Pila PDA, ejemplo

84 Input Pila PDA, ejemplo

85 Input Pila PDA, ejemplo

86 Input Pila PDA, ejemplo

87 Input Pila PDA, ejemplo

88 Input Pila PDA, ejemplo

89 Input Pila PDA, ejemplo

90 Input acepta Pila PDA, ejemplo

91 En general, el lenguaje que este PDA acepta es

92 PDA, otro ejemplo

93 Input Pila PDA, otro ejemplo

94 Input Pila PDA, otro ejemplo

95 Input Pila PDA, otro ejemplo

96 Input Pila PDA, otro ejemplo

97 Input Pila PDA, otro ejemplo

98 Input Pila PDA, otro ejemplo

99 Input Pila acepta PDA, otro ejemplo

100 Guardando strings Símbolo leído Símbolo sacado String guardado

101 Guardando strings top input pila Guardar string guardado

102 Y otro ejemplo...

103 Input Pila

104 Input Pila

105 Input Pila

106 Input Pila

107 Input Pila

108 Input Pila

109 Input Pila

110 Input Pila acepta