Aproximaciones y errores de redondeo

Presentación del tema: "Aproximaciones y errores de redondeo"— Transcripción de la presentación:

1 Aproximaciones y errores de redondeo
Métodos Numéricos Ingeniería Textil y de Confecciones Aproximaciones y errores de redondeo Prof. Oscar Tinoco G.

2 Cifras significativas
Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se tratan del número de dígitos que se ofrecen con certeza más uno estimado. Los métodos numéricos dan resultados aproximados. Los números representados en las computadoras tienen un número finito de cifras significativas. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

3 Exactitud y precisión La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos. Aumenta la exactitud Aumenta la precisión

4 Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos, o sin sesgo para satisfacer los requerimientos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente precisos para ser adecuados en el diseño de ingeniería. En este curso usaremos el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en las predicciones.

5 Definición de error Los errores numéricos se pueden clasificar como
Errores de truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones con cálculos exactos. Errores de redondeo: por utilizar números que tienen un límite de cifras significativas. Error verdadero = Et = valor verdadero – valor aproximado Esta definición no toma en cuenta la magnitud de las cantidades involucradas. Error relativo fraccional verdadero = error verdadero / valor verdadero El error relativo porcentual verdadero se define como e t = error verdadero / valor verdadero x 100% El error aproximado se utiliza cuando no se conoce el valor verdadero. Se define por e a = error aproximado / valor aproximado x 100% El error en los métodos iterativos con las aproximaciones actual y anterior. e a = (aproximación actual – aproximación anterior) / aproximación actual x 100%

6 Redondeo y Truncamiento
El redondeo reduce el número de dígitos significativos en un número. El resultado del redondeo es una cantidad de magnitud similar , que es un numero mas corto porque tiene menos dígitos diferentes de cero. Un numero x esta truncado a n dígitos cuando todos los dígitos que siguen al enésimo digito son descartados y ninguno de los n dígitos restantes se cambia. Ejemplo: Redondeo: Truncamiento:

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8 Ejemplo 1 Se mide un puente y un remache, y se obtienen 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son y 10 a) encontrar el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso. a) Puente: Et = – 9999 = 1 cm Remache: Et = 10 – 9 = 1 cm b) Puente: et = 1/10000 x 100% = 0.01 % Remache: et = 1/10 x 100% = 10 %

9 Ejemplo 2 Aproximar los números reales indicados a continuación, empleando una aritmética de cinco cifras significativas, mediante corte y redondeo

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11 Tarea a) Evalúe el polinomio y = x3 – 7x2 + 8x + 0.35
En x = 1.37, utilizando aritmética de 3 dígitos con truncamiento (corte). Evalúe el error relativo porcentual. b) Repita a) con y calculada con y = ((x – 7)x + 8)x Evalúe el error y compárelo con el de a)

12 Tarea Escriba un programa en C que imprima una tabla con valores calculados de ex, para x = 0.5 utilizando la expansión siguiente Imprima el número de términos (comenzando en 1), el resultado de la suma y el error relativo porcentual. Termine el proceso cuando el error relativo porcentual sea menor a %. El valor exacto determínelo con la función exp() de C.

13 /. Programa para evaluar la función exponencial en 0
/* Programa para evaluar la función exponencial en usando la serie de Taylor. */ #include <iostream> #include <math.h> int main(){ float x = 0.5, suma = 1, pi = ,error,fact = 1,pot = 1; int iter = 1; cout << "No.\tSuma\tError" << “\n”; do{ error = (suma-exp(x))/exp(x)*100.0; std::cout << iter << "\t" << suma << "\t" << error << "\t" << “\n”; pot *= x; //siguiente potencia de x fact *= iter; //siguiente factorial suma += pot/fact; //siguiente valor de la suma iter++; }while(fabs(error)>0.004); system("PAUSE"); return 0; }

14 No. Suma Error Presione una tecla para continuar . . .

15 Ejemplo La serie: Converge al valor f(n) = p4/90, conforme n tiende a infinito. Escriba un programa de precisión sencilla para calcular para n =10000 por medio de calcular la suma desde i = 1 hasta Después repita el cálculo pero en sentido inverso, es decir, desde i = a 1, con incrementos de -1. En cada caso, calcule el error relativo porcentual verdadero. PI =

16 TEORÍA DE ERRORES: En el ámbito del análisis numérico (y en general, en las ciencias e ingeniería), el término error está relacionado específicamente con la incertidumbre de los datos de ingreso como de los resultados obtenidos, sin que esto signifique que los resultados sean equivocados. En la ingeniería esto es importante, puesto que los datos que utilizamos provienen de mediciones en campo, estimaciones probabilísticas, hipótesis y modelos matemáticos simplificados, o de la experiencia profesional. Rara vez se cuenta con datos con validez «exacta».

17 TEORÍA DE ERRORES1: Definición 1 :
Suponga que þ* es una aproximación o medición de p. el error absoluto de la aproximación es y el error relativo es supuesto que Definición 2 : El error relativo porcentual es el error relativo en porcentaje Definición 3 : Se dice que p* es aproximación a p con cifras significativas si es el Mayor número natural tal que 1: Tomado de Apuntes Ing Edgar Ruiz

18 Ejemplo 1 : Sea el número y Hallar el error absoluto, el error relativo y el error porcentual de la aproximación. * Error Absoluto : * Error relativo : * Error relativo porcentual: ¿Cuál es el número de cifras significativas en la aproximación? ->

19 Ejemplo 2 : Sea el número y Hallar el error absoluto, el error relativo y el error porcentual de la aproximación. * Error Absoluto : * Error relativo : * Error relativo porcentual: ¿Cuál es el número de cifras significativas en la aproximación? ->

20 ERRORES DE REDONDEO La representación de números reales en una computadora está delimitada por el número de cifras de la mantisa, de manera que algunos números no coinciden exactamente con su representación en el ordenador. A esto se le conoce como error de redondeo. Ejercicio: Usando aritmética de 4 dígitos por redondeo. Resolver: * Se tiene la fórmula convencional: * Se tiene la fórmula alternativa Determinar los errores absolutos y relativos en cada caso. Presente sus cálculos y determinar que método (a) y (b) es el más apropiado tal que permita una aproximación más exacta de las raíces de la ecuación dada.

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22 Ejercicio

23 Por otro lado:

24 Evaluar por el método directo el polinomio y = 2,3x + 5,7
para el valor x = 1,5, teniendo en cuenta que tanto los coeficientes como el valor de x tienen todas sus cifras correctas. Considerar que los errores absolutos valen 0,05. Obtener el valor aproximado de la evaluación así como las cotas de error absoluto y relativo propagado. El valor aproximado de la evaluación es: y = 2,3(1,5)+5,7 = 9,15 Para el error de propagación se puede considerar: y (x,w,z) = xy + z Ɛ𝑦= 𝛿𝑦 𝛿𝑥 Ɛx + 𝛿𝑦 𝛿𝑤 Ɛw + 𝛿𝑦 𝛿𝑧 Ɛz Ɛ𝑦=1,5 0,05 +2,3 0,05 +0,05=0,240

25 EPSILON DE MAQUINA En el formato IEEE doble precisión, la operación da un resultado distinto de 1, mientras que da como resultado 1, es decir, el número es tan pequeño que al realizar la operación de suma se pierden todos los dígitos que pudiera aportar al resultado. Hay un valor que llamamos épsilon, ε, que es el mínimo número que sumado a 1 da como resultado un valor mayor que 1. En el caso de IEEE doble precisión, este número estará entre y 10-15, como se ha visto por el ejemplo. Pero, ¿cuál es exactamente ese valor?

26 EPSILON DE MAQUINA El valor de ε se puede deducir de forma teórica a partir de la descripción del formato IEEE. Sin embargo, lo que vamos a hacer ahora es obtenerlo mediante un algoritmo. La idea es realizar un bucle en el cual probamos la operación 1+x para valores cada vez más pequeños de x, hasta detectar que el resultado de la suma da exactamente 1.