Diferenciación numérica

Diferenciación numérica
Se le conoce con un nombre especial en el análisis numérico: diferencia finita dividida y generalmente se representa como 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎=𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 −𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑢𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 −𝑓 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 +𝑂 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 (𝐴) Ó 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = ∆ 𝑓 𝑖 ℎ +𝑂 ℎ (𝐵)

Donde a ∆ 𝑓 𝑖 se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a ℎ se le llama el tamaño del paso o incremento; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se realiza la aproximación. Se le llama diferencia “hacia delante”, porque usa los datos en 𝑖 𝑒 𝑖 + 1 para estimar la derivada (figura 1). Al término completo Δ𝑓/ℎ se le conoce como primer diferencia finita dividida.

Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada: a) hacia delante

Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada: b) hacia atrás

Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada: c) centrales

Esta diferencia dividida hacia adelante es sólo una de tantas que pueden desarrollarse a partir de la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas

Las primeras usan valores en 𝑥 𝑖−1 𝑦 𝑥 𝑖 (figura b); mientras que las segundas utilizan valores igualmente espaciados alrededor del punto donde la derivada está estimada (figura c).

Ejemplo Aproximación de derivadas por diferencias finitas divididas
Planteamiento del problema. Use aproximaciones con diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de 𝑂(ℎ) y una aproximación de diferencia centrada de 𝑂 ℎ 2 para estimar la primera derivada de 𝑓 𝑥 =− 0.1𝑥 4 −0.15 𝑥 3 −0.5 𝑥 2 −0.25𝑥+1.2

En 𝑥=0.5. Utilizando un incremento de ℎ=0.5. Repita el calculo con ℎ=0.25. Observe que la derivada se calcula directamente como 𝑓′ 𝑥 =− 0.4𝑥 3 −0.45 𝑥 2 −1.0𝑥−0.25 Y se puede utilizar para calcular el valor verdadero como 𝑓 ′ 0.5 =−0.9125

Solución. Para ℎ=0.5, la función se emplea para determinar Evaluamos en 𝑓 𝑥 =− 0.1𝑥 4 −0.15 𝑥 3 −0.5 𝑥 2 −0.25𝑥+1.2 𝑥 𝑖−1 = 𝑓 𝑥 𝑖−1 =1.2 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖 =0.925 𝑥 𝑖+1 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 =0.2

Esos valores sirven para calcular las diferencias divididas hacia adelante 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 −𝑓 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 +𝑂 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑓 ′ 0.5 ≅ 0.2− −0.5 =−1.45 𝜀 𝑡 = 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙−𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 100%

𝜀 𝑡 = − %⟹ 𝜀 𝑡 =58.9%

La diferencia dividida hacia atrás 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖 −𝑓 𝑥 𝑖−1 ℎ = 𝛻 𝑓 1 ℎ 𝑓 ′ 0.5 ≅ 0.925− =−0.55 𝜀 𝑡 = 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙−𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 100%

𝜀 𝑡 = − %⟹ 𝜀 𝑡 =39.7%

La diferencia dividida centrada 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 −𝑓 𝑥 𝑖−1 2ℎ −𝑂 ℎ 2 𝑓 ′ 0.5 ≅ 0.2− =−1.0 𝜀 𝑡 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙−𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑎𝑙 100%

𝜀 𝑡 = − %⟹ 𝜀 𝑡 =9.6%

Solución. Para ℎ=0.25, la función se emplea para determinar 𝑥 𝑖−1 = 𝑓 𝑥 𝑖−1 = 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖 =0.925 𝑥 𝑖+1 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 =

Esos valores sirven para calcular las diferencias divididas hacia adelante 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 −𝑓 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 +𝑂 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑓 ′ 0.5 ≅ − =−1.155 𝜀 𝑡 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙−𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑎𝑙 100%

𝜀 𝑡 = − %⟹ 𝜀 𝑡 =26.5%

La diferencia dividida hacia atrás 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖 −𝑓 𝑥 𝑖−1 ℎ = 𝛻 𝑓 1 ℎ 𝑓 ′ 0.5 ≅ 0.925− =−0.714 𝜀 𝑡 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙−𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑎𝑙 100%

𝜀 𝑡 = − %⟹ 𝜀 𝑡 =21.7%

La diferencia dividida centrada 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖+1 −𝑓 𝑥 𝑖−1 2ℎ −𝑂 ℎ 2 𝑓 ′ 0.5 ≅ − =−0.934 𝜀 𝑡 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙−𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑎𝑙 100%

𝜀 𝑡 = − %⟹ 𝜀 𝑡 =2.4%

6.2 Runge-Kutta Methods Métodos de Runge-Kutta Todos los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler, en la que la función pendiente f se remplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn  x  xn (1) donde las ponderaciones wi, i = 1, 2, …, m son constantes que satisfacen w1 + w2 + … + wm = 0, y ki es la función evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el cual xn  x  xn+1.

El número m se llama el orden
El número m se llama el orden. Si tomamos m = 1, w1 = 1, k1 = f(x, yn), llegamos al método de Euler. Por consiguiente, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden.

Método de Runge-Kutta de Segundo Orden
Tratamos de hallar unas constantes de modo que la fórmula (2) donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1) concuerde con un polinomio de Taylor de grado Las constantes deben satisfacer (3) luego (4) donde w2  0.

Ejemplo: escogemos w2 = ½ , de donde w1 = ½ ,  = 1,  = 1, y (2) se transforma en yn+1= yn+(k1+ k2)h/2 donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1). Puesto que xn + h = xn+1, yn + hk1 = yn + hf(xn, yn), es idéntica al método de Euler mejorado.

Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden
Tratamos de hallar parámetros de modo que la fórmula (5) donde concuerde con un polinomio de Taylor de orden 4.

El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parámetros produce el siguiente resultado (6)

Ejemplo 1 Use el método RK4 con h = 0.1 para obtener y(1.5) para la solución de y’ = 2xy, y(1) = 1. Solución Primero se calcula el caso n = 0.

Ejemplo 1 (2) Por lo tanto, Véase la Tabla 6.5.

Tabla 6.5 h=0.1 Valor real Error Abs. % error relativo 1.00 1.0000
0.0000 0.00 1.10 1.2337 1.20 1.5527 1.30 1.9937 1.40 2.6116 2.6117 0.0001 1.50 3.4902 3.4904

En la Tabla 6.6 comparan algunos resultados.
h = 0.1 h = 0.05 xn Euler mejorado RK4 Valor real 1.00 1.0000 1.10 1.2000 1.2320 1.2337 1.05 1.1000 1.1077 1.1079 1.20 1.4640 1.5479 1.5527 1.2155 1.2332 1.30 1.8154 1.9832 1.9937 1.15 1.3492 1.3798 1.3806 1.40 2.2874 2.5908 2.6116 2.6117 1.5044 1.5514 1.50 2.9278 3.4509 3.4902 3.4904 1.25 1.6849 1.7531 1.7551 1.8955 1.9909 1.35 2.1419 2.2721 2.2762 2.4311 2.6060 1.45 2.7714 3.0038 3.0117 3.1733 3.4795 3.4903

Errores de Truncamiento para el Método RK4
Como es de grado 4, el error de truncamiento local es O(h5) y el error de truncamiento global es O(h4). Sin embargo, esto no se abarca en este texto.

Ejemplo 2 Determine una cota para los errores de truncamiento local del método RK4 aplicado a Solución Al calcular la quinta derivada de la solución conocida se obtiene (7) Así con c = 1.5, entonces (7) = La Tabla 6.7 proporciona aproximaciones a la solución del problema de valor inicial en x = 1.5 por el método RK4.

Tabla h Aproximación Error 0.1 3.49021064 1.32321089  10-4 0.05
 10-6

Métodos de Varios Pasos
Método de Adams-Bashforth-Moulton El predictor es la fórmula de Adams-Bashforth (1) donde n  3.

El valor de yn+1* se sustituye en el corrector de Adams-Moulton (2)

Ejemplo 1 Use el método anterior con h = 0.2 para obtener y(0.8) para la solución de Solución Con h = 0.2, y(0.8) se aproxima mediante y4. En principio s emplea el método RK4 con x0 = 0, y0 = 1, h = 0.2 para obtener y1 = , y2 = , y3 =

Ejemplo 1 (2) Ahora con x0 = 0, x1 = 0.2, x3 = 0.4, x4 = 0.6, y f(x, y) = x + y – 1, hallamos El predictor (1) da

6.3 Métodos de Varios Pasos
Método de Adams-Bashforth-Moulton El predictor es la fórmula de Adams-Bashforth (1) donde n  3.

El valor de yn+1* se sustituye en el corrector de Adams-Moulton (2)

Ejemplo 1 Use el método anterior con h = 0.2 para obtener y(0.8) para la solución de Solución Con h = 0.2, y(0.8) se aproxima mediante y4. En principio s emplea el método RK4 con x0 = 0, y0 = 1, h = 0.2 para obtener y1 = , y2 = , y3 =

Ejemplo 1 (2) Ahora con x0 = 0, x1 = 0.2, x3 = 0.4, x4 = 0.6, y f(x, y) = x + y – 1, hallamos El predictor (1) da

Ejemplo 1 (3) Para usar el corrector (2), se necesita

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