FUNCIÓN CUADRÁTICA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Presentación del tema: "FUNCIÓN CUADRÁTICA ECUACIÓN CUADRÁTICA"— Transcripción de la presentación:

1 FUNCIÓN CUADRÁTICA ECUACIÓN CUADRÁTICA
CONCEPTOS BÁSICOS-REPRESENTACIÓNGRÁFICA-DETERMINACIÓN DE FORMULAS-

2 LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCION POLINÓMICA DE SEGUNDO GRADO ES UNA RELACIÓN ENTRE VARIABLES USUALMENTE LLAMADAS “x” e “y” (variables independiente y dependiente) QUE PUEDE SER REPRESENTADA DE DIVERSAS MANERAS: EN FORMA SIMBÓLICA: escribiendo la fórmula de la función f(x) EN FORMA GRÁFICA: dibujando la parábola (nombre de la curva que la representa) A PARTIR DE UNA TABLA DE VALORES: asignando valores a la variable independiente x , obteniendo los de y (variable dependiente). Cada par de valores representa un punto del plano cartesiano. A PARTIR DE UN ENUNCIADO COLOQUIAL: en el contexto de un problema matemático o del mundo real. Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen. A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente. Variable independiente: la que se fija previamente. Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.

3 gráfica f(x)=ax2+bx+c a, b, c Є R con a≠0 Tabla de valores ( x ; y )
Los coeficientes son números reales (determinan las características de la parábola) Tabla de valores ( x ; y )

4 Dada la fórmula de la función, ¿Cómo graficarla?
Conseguimos este tipo de dibujo: Si tenemos que graficar f(x)=-x2+6x-5 y Podríamos comenzar armando una tabla e ir asignándole valores a x (variable indepen diente) para obtener así los de y (variable dependiente) x -2 -1 1 ERROR (posible) pensar que se deben unir los puntos con una línea recta -5 Valores asignados aleatoriamente f(-2)=-(-2)2+6.(-2)-5=-21 Valores obtenidos al “especializar” la función en cada valor de x NO SE VISUALIZA LA FORMA DE LA CURVA cualquier Número Real -20

5 Obteniendo los elementos de la parábola
Dada la función f(x)=-x2+6x-5 a=-1; b=6; c=-5 Observamos la fórmula y obtenemos los siguientes datos: Eje de simetría x = -b/(2.a) x = -6/2.(-1) x = 3 Atención! como a<0 ramas hacia abajo y 4 V=(3;4) Vértice V=( xv ; yv ) x xv= yv= f(3)= =4 Ordenada al origen f(0)= =-5 Punto simétrico Marcamos los puntos en el plano cartesiano -5 x=3

6 Calculamos las raíces o ceros de la función
Si f(x)=-x2+6x-5 a=-1; b=6; c=-5 Igualamos a cero (ya que los valores buscados están sobre el eje x) y=-x2+6x-5 0=-x2+6x-5 Aplicamos la fórmula resolvente −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 = −𝟔± 𝟔 𝟐 −𝟒(−𝟏)(−𝟓) 𝟐(−𝟏) 𝑥 1;2 = Las soluciones son: x=1 ; x=5

7 Construimos la parábola Usando los elementos encontrados:
Conocer las características de la parábola facilita el análisis funcional y ayuda a comprender el problema asociado a la función. Construimos la parábola Usando los elementos encontrados: x SE VISUALIZA LA FORMA DE LA CURVA Eje de simetría x=3 Vértice V=(3;4) Ordenada al origen f(0)=-5 Ceros o raíces: x=1 y x=5 (están a la misma distancia del eje de simetría) Punto simétrico, en este caso podría ser (6;-5) -hay infinitos puntos- -5 f(x)=-x2+6x-5

8 Dada la gráfica de la función, ¿Cómo hallar la fórmula?
Ramas hacia arriba, entonces a > 0 Observamos los “datos extraíbles” del dibujo: Eje de simetría: x=2 Vértice en ( 2 ; 1) Ordenada al origen f(0)=3 Por contar con estos datos, nos conviene utilizar la FORMA CANÓNICA de la función f(x)=a(x-xv)2+yv 1° Sustituimos las coordenadas del vértice f(x)=a.(x-2)2+1 2° Sustituimos las coord. de la ordenada al origen 3 = a.(0-2)2+1 0,5 = a 3° Despejamos “a” f(x)=0,5.(x-2)2+1 Dato principal: vértice escribimos la fórmula!

9 Otro ejemplo para considerar
Ramas hacia arriba, entonces a > 0 Extraemos información del dibujo: Raíces x1=-6 ; x2=1 Dato principal: raíces Ordenada al origen f(0)=-5 Por contar con estos datos, nos conviene utilizar la FORMA FACTORIZADA de la función f(x)=a(x-x1)(x-x2) 1° Sustituimos las coordenadas de las raíces f(x)=a.(x-(-6))(x-1) 2° Sustituimos las coord. de otro punto cualquiera -5 = a.(0+6)(0-1) -5/-6 = a ¿? 3° Despejamos “a” 4° escribimos la fórmula f(x)=5/6.(x+6)(x-1)

10 Gráficas y Fórmulas 1 3 4 2 SEGÚN LOS DATOS QUE SE VISUALIZAN EN LAS GRÁFICAS CONVENDRA USAR LA FORMA CANÓNICA O FACTORIZADA DE LA EXPRESIÓN FUNCIONAL. LOS PARÁMETROS CONDICIONARÁN LA ELECCIÓN. EN ALGUNOS CASOS SERA INDISTINTO, EN OTROS RESULTARA MÁS APROPIADA UNA U OTRA FORMA PARA “ARMAR” LA FÓRMULA.

11 ECUACIONES CUADRÁTICAS
ECUACIONES INCOMPLETAS ECUACIONES COMPLETAS SON DE LA FORMA: Se resuelven por despeje directo, por ej.: 0=3 𝑥 =4 𝑥 2 - 8 0:3= 𝑥 :4= 𝑥 2 𝑥= = 𝑥 Se resuelven aplicando factor común o aplicando la formula resolvente 0=4𝑥 2 −20𝑥 0=4𝑥(𝑥−5) SON DE LA FORMA : SE RESUELVEN APLICANDO LA FÓRMULA RESOLVENTE La cantidad de soluciones depende del DISCRIMINANTE Δ= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 0=ax2 0=ax2+c 0=ax2+bx+c 0=ax2+bx −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝑥 1;2 = la solución es 0 las soluciones son y 2 Si Δ > 0 hay dos soluciones Si Δ = 0 hay una solución Si Δ < 0 no hay solución Como el producto da cero, igualamos a cero cada factor. Las soluciones son x=0 y x=5 (Las soluciones son las raíces de la función asociada a la ecuación)