Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano

Presentación del tema: "Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano"— Transcripción de la presentación:

1 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano

2 En la práctica de ingeniería con frecuencia es importante determinar la orientación de los planos que causa que el esfuerzo normal sea máximo y mínimo, y la orientación de los planos que hace que el esfuerzo cortante sea máximo.

3 Esfuerzos principales en el plano.
Los esfuerzos normales máximo y mínimo, denominados esfuerzos principales, se pueden determinar a partir de la ecuación de transformación para el esfuerzo normal 𝜎 𝑥1 Al derivar 𝜎 𝑥1 con respecto a θ y al igualar a cero, obtenemos una ecuación para la cual podemos encontrar los valores de θ para los que 𝜎 𝑥1 es un máximo o un mínimo. La ecuación para la derivada es Al resolver esta ecuación se obtiene la orientación θ=θ 𝑝 , de los planos de esfuerzo normal máximo y mínimo.

4 Con la ecuación se pueden encontrar dos valores del ángulo 2θp en el intervalo de 0 a 360°. Estos valores difieren en 180°, con un valor entre 0 y 180° y el otro entre 180° y 360°. Por tanto, el ángulo θp tiene dos valores que difieren en 90°, un valor entre 0 y 90° y el otro entre 90° y 180°. Los dos valores de θp se conocen como los ángulos principales. Los esfuerzos principales se pueden calcular al sustituir cada uno de los dos valores de θp en la primera ecuación de transformación y despejando 𝜎 𝑥1

5 También podemos obtener fórmulas generales para los esfuerzos principales. Para hacer esto nos referimos al triángulo rectángulo en la figura anterior, que está elaborado a partir de la ecuación tan 2𝜃𝑝= 𝜏 𝑥𝑦 𝜎𝑥−𝜎𝑦/2 . Observe que la hipotenusa del triángulo, obtenida con el teorema de Pitágoras, es La cantidad R siempre es un número positivo y, al igual que los otros dos lados del triángulo, tiene unidades de esfuerzo. Del triángulo obtenemos dos relaciones adicionales: Ahora sustituimos estas expresiones para cos 2θp y sen 2θp en la ecuación 𝜎 𝑥1 = 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 cos 2𝜃+ 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃 tenemos el más grande algebraicamente de los dos esfuerzos principales, denotado por 𝜎1:

6 Después de sustituir el valor de R de la ecuación y de realizar algunas manipulaciones algebraicas, obtenemos: El menor de los esfuerzos principales, denotado σ2, se puede encontrar a partir de la condición de que la suma de los esfuerzos normales sobre planos perpendiculares es constante. Al sustituir la expresión para σ1 en la ecuación anterior y despejando σ2, Obtenemos. Las fórmulas anteriores para σ1 y σ2 se pueden combinar en una sola fórmula para los esfuerzos principales:

7 Esfuerzo cortante máximo en el plano.
La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la derivada de la ecuación: con respecto a e igualando a cero el resultado. Así se obtiene: Cada raíz de 2θs está a 90° de 2θp. Así, las raíces θs y θp forman 45° entre ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal.

8 • Los esfuerzos principales representan el esfuerzo normal máximo
y mínimo en el punto. • Cuando se representa el estado de esfuerzo mediante los esfuerzos principales, sobre el elemento no actúa esfuerzo cortante. • El estado de esfuerzo en el punto también se puede representar en función del esfuerzo cortante máximo en el plano. En este caso, sobre el elemento también actuará un esfuerzo normal promedio sobre el elemento. • El elemento que representa el esfuerzo cortante máximo en el plano, con el esfuerzo normal promedio correspondiente, está orientado a 45° respecto al elemento que representa los esfuerzos principales.

9 Circulo de mohr

10 Para trazar el círculo de Mohr se requieren los siguientes pasos: Construcción del círculo.
Establecer un sistema coordenado tal que las abscisas representen el esfuerzo normal , siendo positivo hacia la derecha, y las ordenadas representen el esfuerzo cortante , siendo positivo hacia abajo.

11 Usando la convención de signo positivo para σx, y σy τxy que se indica en la figura b, graficar el centro del círculo C, ubicado en el eje a la distancia σprom =(σx + σy)/ 2 del origen, figura (b)

12 Graficar el “punto de referencia”. A cuyas coordenadas sean A(σx,τxy)
Graficar el “punto de referencia”. A cuyas coordenadas sean A(σx,τxy). El punto representa los componentes de esfuerzo normal y cortante sobre la cara vertical derecha del elemento, y como el eje x′ coincide con el eje x, lo anterior representa θ=0°, figura (b) Unir el punto A con el centro C del círculo, y determinar CA por trigonometría. Esta distancia representa el radio R del círculo, figura (a). Una vez determinado R, trazar el círculo.

13 Esfuerzos principales.
Los esfuerzos principales σ1 y σ2 (σ1≥σ 2) se representan con los dos puntos B y D donde el círculo corta al eje σ , es decir, donde τ = 0, figura (a). Estos esfuerzos actúan sobre los planos definidos por los ángulos θp1 y θp2, figura (c). Se representan en el círculo con los ángulos 2θp1 (que se indica) y 2θp2 (no se indica), y se miden a partir de la línea de referencia radial CA, hasta las líneas CB y CD, respectivamente.

14 Mediante trigonometría sólo se debe calcular uno de esos ángulos, a partir del círculo, ya que θp1 y θp2 están a 90° entre sí. Recuerde que la dirección de rotación 2θp en el círculo (en este caso, en sentido contrario al de las manecillas del reloj), representa la misma dirección de rotación θp a partir del eje de referencia (+x)hacia el plano principal (+x′ ), figura (C).

15 Esfuerzo cortante máximo en el plano.
Los componentes de esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante máximo en el plano se determinan en el círculo, como coordenadas del punto E o del punto F, figura (a). En este caso, los ángulos θs1 y θs2 definen la orientación de los planos que contienen esos componentes, figura (d). El ángulo 2θs1 se ve en la figura (a), y se puede determinar mediante trigonometría. En este caso, la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, por lo que θs1 debe ser en el sentido de las manecillas del reloj, en el elemento, figura (d).

16 Esfuerzos en un plano arbitrario.
Los componentes de esfuerzo normal y cortante, σx′ y τx′y′, que actúan sobre determinado plano definido por el ángulo θ , figura (e), se pueden obtener a partir del círculo, mediante trigonometría, para determinar las coordenadas del punto P, figura (a). Para ubicar a P el ángulo conocido θ del plano (en este caso, en sentido contrario al de las manecillas del reloj), figura (e), debe medirse en el círculo en la misma dirección 2θ (en sentido contrario a las manecillas del reloj), desde la línea de referencia radial CA, hacia la línea radial CP, figura (a).

17 LEY DE HOOKE PARA ESFUERZO PLANO

18 Deformaciones unitarias normales ϵx, ϵy y ϵz en esfuerzo plano
Deformaciones unitarias normales ϵx, ϵy y ϵz en esfuerzo plano. Los efectos de estas deformaciones se representan en la figura (a), que muestra los cambios en las dimensiones de un elemento pequeño que tiene bordes con longitudes a, b y c. El esfuerzo cortante τxy no produce deformaciones unitarias en las direcciones x, y o z. Por tanto, la deformación unitaria resultante en la dirección x es:

19 De una manera similar obtenemos las deformaciones unitarias en las direcciones y y z:
Estas ecuaciones se pueden emplear para encontrar las deformaciones uni- tarias normales (en esfuerzo plano) cuando se conocen los esfuerzos.

20 Las primeras dos ecuaciones dan las deformaciones unitarias ϵx y ϵy en términos de los esfuerzos. Estas ecuaciones se pueden despejar de manera simultánea para los esfuerzos en términos de las deformaciones unitarias: Tenemos la ecuación siguiente para el esfuerzo cortante en términos de la deformación unitaria: Las ecuaciones se conocen de manera colectiva como ley de Hooke para esfuerzo plano y contienen tres constantes del material (E, G y n).

21 Casos especiales de la ley de Hooke
En el caso especial de esfuerzo biaxial, tenemos τxy = 0, y por tanto la ley de Hooke para esfuerzo plano se simplifica a:

22 Para esfuerzo uniaxial, con σy = 0 las ecuaciones de la ley de Hooke se simplifican aún más:

23 Consideramos cortante puro que significa que σx = σy = 0
Consideramos cortante puro que significa que σx = σy = 0. Entonces, obtenemos En los tres casos especiales, el esfuerzo normal σz es igual a cero.