Razón de semejanza entre perímetros y áreas

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1 Razón de semejanza entre perímetros y áreas

2 TEOREMA: Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza 𝑘, la razón de sus perímetros es k y la razón de sus áreas es 𝑘 2 .

3 RÁZON DE LOS PERÍMETROS
Si dos figuras son semejantes, entonces la razón de semejanza entre dos figuras es la misma entre la razón de sus perímetros Razón de semejanza entre las dos figuras es : 𝒂 𝒂´ = 𝒃 𝒃´ = 𝒄 𝒄´ =𝒌 𝟔 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟒 = 𝟐𝟒 𝟖 =𝟑 La razón de semejanza entre el triángulo grande y el pequeño es de 3cm A A´ 6cm 24cm 8cm 2cm Se comprueba que razón entre los perímetros es igual a la razón de semejanza entre los dos figuras. 𝑃 𝑃′ = k =3 B´ B C´ C 12cm 4cm 𝑃=𝑙+𝑙+𝑙 𝑃= 𝑃=42 𝑷=𝒍+𝒍+𝒍 𝑷=𝟖+𝟒+𝟐 𝑷=𝟏𝟒

4 RÁZON DE LAS ÁREAS Si dos figuras son semejantes, entonces, la razón de las áreas de las dos figuras es igual al cuadrado se su razón de semejanza Razón de semejanza entre las dos figuras es : 𝒂 𝒂´ = 𝒃 𝒃´ = 𝒄 𝒄´ =𝒌 𝟔 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟒 = 𝟐𝟒 𝟖 =𝟑 La razón de semejanza entre el triángulo grande y el pequeño es de 3cm A A´ 6cm 24cm 8cm 2cm Se comprueba que la razón de las áreas de las dos figuras es igual al cuadrado se su razón de semejanza 𝐴 𝐴′ = 𝑘 = 9= 3 2 B´ B C´ C 12cm 4cm A= 𝑏.𝑎 2 A= 4(2) 2 =4 𝑐𝑚 2 A= 𝑏.𝑎 2 A= 12(6) 2 =36 𝑐𝑚 2

5 Ejercicio resueltos 1 1. Encontrar la longitud de uno de los lados de un triangulo semejante a otro, donde que la razón de semejantes entre el grande y el pequeño es 5cm, y el perímetro del grande es de 200cm Como la razón de semejanza entre las dos figuras es igual a la razón de los perímetros, entonces: A Razón de semejanza K=5 𝑃 𝑃′ = k 𝑃´ =5 20=5P´ P’= 200 5 P´= 40 D 6cm X lado desconocido E F C B 4cm El perímetro del triángulo DEF es 40 cm, entonces, la longitud de x debe ser de 30 cm para que sumados sus lados coincidan con el perímetro encontrado. 𝑃=200𝑐𝑚 𝑃´ perímetro del triángulo DEF P´=6+4+𝑥 40 =6+4+𝑥 40 =10+𝑥 X=40−10 X=30 cm Solución

6 Solución la razón de semejanza entre las dos figuras es de 4
Ejercicio resueltos 2 1. Halla la razón de semejanza si se conoce que la razón entre las áreas de dos figuras es 64 4 Cómo la razón de las áreas de las dos figuras es igual al cuadrado se su razón de semejanza entre ellas, entonces: 𝐴 𝐴′ = 𝑘 2 𝑘 2 = 𝐴 𝐴′ 𝑘= 2 𝐴 𝐴′ 𝑘= 𝑘= 8 2 𝑘=4 Solución la razón de semejanza entre las dos figuras es de 4

7 Ejercicio resueltos 3 1. El perímetro de un triangulo equilátero es de 30 cm. Halla las medidas de los lados de un triángulo equilátero semejante a este, si la razón de semejanza es k= 1 5 Como la razón de semejanza entre las dos figuras es igual a la razón de los perímetros, entonces: D Razón de semejanza K=1/5 𝑃 𝑃′ = k 𝑃´ = 1 5 30(5) =1.P´ P’=150 A 𝑙 Lado desconocido 𝑙 C B F E 𝑙 El perímetro del triángulo DEF es 150 cm, entonces, la longitud de los lados de este triángulo equilátero debe ser de 50 cm 𝑃=30𝑐𝑚 𝑃´ perímetro del triángulo DEF P´= 𝑙+𝑙+𝑙 150=3𝑙 150 3 =𝑙 =50 cm Solución