CÁTEDRA DE ESTADÍSTICA

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1 CÁTEDRA DE ESTADÍSTICA
Unidad III: PROBABILIDAD CÁTEDRA DE ESTADÍSTICA

2 existe un resultado que se puede predecir a largo plazo.
Probabilidad es un instrumento fundamental de la Estadística, en especial en el proceso de inferencia. orígenes en los juegos de azar Son acciones en las cuales el resultado de una prueba es incierto. - girar la rueda de una ruleta, - lanzar dados, - tirar al aire una moneda, - extraer una carta, - etc. Aún cuando el resultado de una prueba en particular sea incierto, existe un resultado que se puede predecir a largo plazo.

3 Probabilidad En la estadística inferencial se logran resultados respecto de una población utilizando datos de una muestra. Pocas veces la muestra describe exactamente a la población de la cual fue seleccionada, siempre hay un margen de error. las conclusiones a partir de una muestra tienen un grado de incertidumbre La probabilidad permite medir el grado de confiabilidad (o su complementario grado de incertidumbre) de una estimación muestral.

4 Estimación Muestral Población Muestra
La probabilidad nos dice cual es la confiabilidad de que la muestra sea representativa o describa correctamente la población Muestra Muestreo

5 Objeto de la Teoría de Probabilidades
Los sucesos o fenómenos que observamos se pueden dividir en los tres tipos siguientes: ciertos imposibles aleatorios.

6 Objeto de la Teoría de Probabilidades
Aquél que ocurrirá indefectiblemente si se cumple un conjunto determinado de condiciones. Se produce obligatoriamente como resultado del experimento en cuestión. Suceso cierto

7 Objeto de la Teoría de Probabilidades
con certeza no ocurrirá dado un determinado conjunto de condiciones. No puede suceder como resultado del experimento en cuestión. Suceso imposible

8 Objeto de la Teoría de Probabilidades
al cumplirse un conjunto de condiciones puede ocurrir o no. será imposible predecir un resultado particular del mismo, siendo factible conocer su probabilidad de ocurrencia a través de un número grande de repeticiones, manteniéndose el mismo conjunto de condiciones. Suceso aleatorio

9 La probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio
Objeto de la Teoría de Probabilidades La probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio es un número o valor que mide la verosimilitud de que el evento ocurrirá cuando se realice el experimento.

10 VEROSIMILITUD Posibilidad, probabilidad, suposición, veracidad, autenticidad, credibilidad, conjetura, certidumbre. Antónimos: inverosimilitud, falsedad.

11 Objetivo de la Teoría de las Probabilidades
¿Para que nos sirve? Estudiar de las leyes de probabilidad de grupos de sucesos aleatorios semejantes. Construir modelos probabilísticos que puedan utilizarse para describir sucesos reales.

12 Probabilidad. Definiciones.
Aquél que repetido en condiciones uniformes da resultados variables de repetición en repetición y no puede saberse de antemano el resultado de una repetición individual. Experimento aleatorio Es cada uno de los resultados que pueden ocurrir en un experimento aleatorio. Evento aleatorio Evento simple o punto muestral no se puede descomponer en resultados más simples.

13 Probabilidad Evento compuesto Colección específica de eventos simples.
Ejemplo: Suceso o experimento: lanzar un dado. Los eventos simples o resultados individuales son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Evento compuesto Colección específica de eventos simples. Repetición Es cada una de las pruebas del experimento. Espacio muestral () Es el conjunto de todos los eventos o sucesos simples en un experimento aleatorio.  puede contener una cantidad finita o infinita de puntos muestrales.

14 Probabilidad Método gráfico para representar el espacio muestral y sus eventos simples Diagrama de Venn  Cara Cruz  Experimento: tirada de una moneda    3    6  Experimento: observar el resultado de tirada de un dado

15 Probabilidad “a priori”

16 Probabilidad “a priori”
“Si un suceso puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y si nA de éstas tiene una característica A, la probabilidad que ocurra A es la fracción nA/n”. Definición clásica:

17 Probabilidad “a priori”
Número de veces que puede ocurrir A. Casos favorables 𝑷(𝑨) 𝒏𝑨 𝒏 Probabilidad de que ocurra el suceso A Número total de casos. Casos posibles Ejemplos Al arrojar un dado la probabilidad de obtener el n° 2 es En la ruleta la probabilidad de sacar número par es 18/38.

18 Propiedades deducidas de la definición de probabilidad “a priori”
La probabilidad de un suceso aleatorio es siempre un número comprendido entre 0 y 1. La razón nA/n debe ser una fracción propia, ya que el número total de resultados posibles (n) no puede ser menor que el número de resultados que son favorables a un suceso A (nA). Por lo tanto: 0  P(A)  1 ;  nA  n ; 0  nA/n  1

19 Propiedades. . . La probabilidad de un suceso cierto es igual a 1. En esta caso nA = n, por lo tanto : P(A)= nA/n = n/n =1 La probabilidad de un suceso imposible es igual a cero. P(A) = nA/n = 0/n = 0 En resumen, la probabilidad de cualquier suceso satisface la desigualdad: 0  P(A)  1

20 Insuficiencia de la definición clásica de probabilidad
La definición a priori presupone que el número de resultados posibles de una prueba es finito. En la práctica nos encontramos frecuentemente con pruebas con un número infinito de resultados posibles. Otro inconveniente es no poder considerar como equiprobables a todos los resultados posibles

21 Probabilidad frecuencial o “a posteriori”

22 Probabilidad frecuencial o “a posteriori”
Se basa en las evidencias de los hechos. En una serie de pruebas la fracción entre el número de veces en el cual el suceso A se verifica respecto al número total de pruebas (fri) puede considerarse aproximadamente igual a la P(A). A medida que el número de pruebas es mayor, la fri se aproxima más a P(A), considerándosela como la probabilidad de aparición del suceso bajo estudio.

23 Probabilidad frecuencial o “a posteriori”
La definición de frecuencia relativa presupone que los experimentos fueron verdaderamente realizados, es decir se calcula después de realizar observaciones (a posteriori). Se admite estadísticamente como probabilidad de un suceso a su frecuencia relativa o un número próximo a ella, cuando la cantidad de pruebas es suficientemente grande: P(A)= friA/n cuando n  

24 Veamos un sencillo ejemplo para dejar claro el concepto.
Aplicando la regla de Laplace, sabemos que: la probabilidad de salir cara en el lanzamiento de una moneda es de un caso favorable dividido por dos casos posibles, es decir, 1/2. CASO FAVORABLE P(cara)= 1 2 CASOS POSIBLES Supongamos que hacemos esta experiencia 20 veces, es decir tiramos una moneda 20 veces y vamos anotando los resultados:

25 Nº Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Resultado Ca Cr Nº caras (ni) Frecuencia relativa 1/1=1 2/2=1 2/3 3/ 4 3/5 3/6 4/7 4/8 4/9 5/10 6/11 6/12 7/13 7/14 7/15 7/16 8/17 8/18 9/19 10/20

26 Representamos gráficamente los datos del ejemplo:
según aumenta el número de casos, la línea quebrada que une las frecuencias se ajusta más a la horizontal trazada en la ordenada ½ (0,5), ½ es el valor teórico de la probabilidad (Laplace), al que la frecuencia tiende a igualarse cuando el número de repeticiones de la experiencia es elevado. A este fenómeno de estabilización de las frecuencias se le conoce como “Ley del azar o ley de regularidad estadística”.

27 Probabilidad frecuencial o “a posteriori”
Una propiedad importante: La suma de las probabilidades de todos los sucesos simples asociados a un experimento aleatorio es “1”. En la moneda: P(cara) + P(cruz) = 1 En el dado: P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1

28 REGLA DE LA SUMA O ADICION
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD

29 ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD REGLA DE LA SUMA O ADICION
DEFINICIONES Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles Se llaman así a dos o más sucesos de un experimento si la aparición de uno de ellos impide la aparición del resto. La noción de incompatibilidad está siempre relacionada con qué experimento se tiene en cuenta.

30 Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles
Ejemplo: En una línea de producción se realiza un control de calidad, observando cada una hora si las piezas cumplen o no cumplen ciertas especificaciones. Si el experimento consiste en extraer piezas al azar, en cada observación el resultado “cumple con las especificaciones”, es excluyente del resultado “no cumple las especificaciones”. 

31 P(AB) = P(A ó B) = P(A) + P(B)
Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles Si en un experimento, como resultado de las n repeticiones se produjo m veces el suceso A y t veces el suceso B, el suceso compuesto “A ó B” se produjo m+t veces , y su frecuencia fr A ó B = PALABRA CLAVE: “Ó” Entonces: P(AB) = P(A ó B) = P(A) + P(B)

32 Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles
Teorema: “la probabilidad de aparición de dos ó más sucesos mutuamente excluyentes, sin importar de cuál se trata, es igual a la suma de las probabilidades de esos sucesos “

33 Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles
Si un acontecimiento A puede producirse de A1, A2 ,…, At maneras diferentes que se excluyan mutuamente, la probabilidad de que se produzca el acontecimiento A es igual a la suma de las probabilidades parciales que correspondan a esas diversas maneras. Si la cantidad de casos posibles de la experiencia es n y a1, a2, …..at son las cantidades de los casos favorables a la presentación de A1, A2,…At respectivamente, entonces a1 + a2 … + at = a será el número total de casos favorables a la presentación de A.

34 Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles
Ejemplo: Si luego de la explotación de un monte se determina que el 15% de las trozas es apto para aserrío de 1° calidad, el 60% es apto para aserrío de 2° calidad y el 25% restante es apto para ser chipeado en la industria celulósica, la probabilidad de que al extraer al azar una troza sea apta para aserrío de 1° o bien para aserrío de 2°, será: P(troza p/ aserrío de 1° o 2°) = P(aserrío 1°) + P(aserrío 2°) = 0,15 + 0,60= 0,75.

35 Sucesos no mutuamente excluyentes
Son aquellos sucesos que pertenecen a conjuntos que tienen puntos muestrales en común. En teoría de conjuntos serían conjuntos cuya intersección no es un conjunto vacío.  A B

36 Sucesos no mutuamente excluyentes
Si dos sucesos A y B son no mutuamente excluyentes, la probabilidad de A ó B es: P(AB) = P(A ó B)= P(A) + P(B) – P(AB); es decir que a la suma de las dos probabilidades individuales se les resta la probabilidad de aparición de ambos sucesos al vez.

37 Sucesos no mutuamente excluyentes
REGLA DE LA SUMA O ADICION: Ej. Si hemos recibido 53 piezas de un proveedor X de las cuales 3 son defectuosas y 131 piezas del proveedor Y de las cuales 6 son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza escogida al azar de un contenedor donde están todas juntas, sea del proveedor X o sea una pieza defectuosa? P(X o defect.)= P(X) + P(defect.) – P(X defect.)=

38 Sucesos no mutuamente excluyentes
3 piezas defectuosas del proveedor X 53 piezas prov. X 6 piezas defect. prov. Y 

39 SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Volviendo a SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Grupo completo de sucesos: Es el conjunto de todos los sucesos posibles del experimento. Teorema La suma de probabilidades de los sucesos A1, A2, …, An mutuamente excluyentes que forman un grupo completo es igual a la unidad. P(A1 A2  A3… A)= P(A1 ó A2 ó A3….ó An) = = P(A1)+P(A2)+P(A3)+…P(An) = 1

40 Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles
SUCESOS OPUESTOS Cuando en un experimento únicamente son posibles dos sucesos, a éstos se los llama opuestos. Si designamos A a uno de ellos, se admite designar al otro por _ 𝑨 . La suma de ambas probabilidades es igual a 1. Ej. Si la probabilidad de que se llegue a encontrar un error en una declaración de impuestos es de 0,04, ¿cuál es la probabilidad de que una declaración no tenga errores? Es decir, que no sea rechazable.

41 REGLA DE PRODUCTO DE PROBABILIDADES
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD

42 Más REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES Probabilidad Condicional . Sucesos Dependientes En algunos casos surge la necesidad de analizar varios acontecimientos relacionados, para determinar si la aparición o no aparición de un suceso influye sobre la probabilidad de aparición de otro. Sean los eventos A y B. La probabilidad de A calculada sólo para aquellas pruebas en las que se produce el evento B, se llama probabilidad condicional de A respecto de B y se designa por P(A/B).

43 REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES
Regla del producto de probabilidades para sucesos dependientes Si al efectuar n experimentos, B puede suceder t veces y dentro de estos casos A sucede k veces, la P(A/B) = k/t. t k n Puesto que las fracciones t/n y k/n representan respectivamente la probabilidad del acontecimiento B y la de producción conjunta de A y B, la fórmula anterior puede ser escrita así:

44 REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS DEPENDIENTES
De modo análogo: se determina la probabilidad condicional de B respecto de A, como la probabilidad del acontecimiento B calculada teniendo en cuenta sólo aquellas pruebas en las que se producirá el acontecimiento A. De las dos fórmulas vistas se puede derivar que:

45 Teorema de la multiplicación de probabilidades
REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS DEPENDIENTES Teorema de la multiplicación de probabilidades “La probabilidad de que se presenten conjuntamente dos acontecimientos es igual al producto de las probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro respecto del primero.”

46 REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS DEPENDIENTES
En la siguiente figura el producto de los acontecimientos A y B se muestra como la parte común (sombreada) de los campos correspondientes. A B AB

47 PRODUCTO DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos ó más sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no depende de la aparición o no de otro u otros. Estos eventos son necesariamente no mutuamente excluyentes. El acontecimiento A no depende de B si P(A/B) = P(A) se deduce que: si A no depende de B, entonces el acontecimiento B tampoco depende de A. De P(A B) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) Aquí conviene entonces hablar de la dependencia o la independencia recíproca de dichos acontecimientos.

48 PRODUCTO DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS INDEPENDIENTES
“Si los sucesos A y B son independientes, la probabilidad de A y B es igual al producto de las probabilidades de A y B”. “La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos ó más sucesos independientes dentro del espacio muestral es igual al producto de las probabilidades individuales de esos sucesos.”