Unidad : Circunferencia

Presentación del tema: "Unidad : Circunferencia"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad : Circunferencia
Nivel III Medio 2019 Clase 7

2 Objetivo Demostrar la relación que se establece entre los segmentos que se determinan por cuerdas y secantes de una circunferencia valorando la importancia de la argumentación al relacionar elementos del plano.

3 Teorema 1: Cuerdas secantes
Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia: El producto de los dos segmentos formados por una cuerda y el punto de intersección es igual al producto de los segmentos formados por la otra cuerda y el punto de intersección.

4 Demostración α β Trazamos las cuerdas AD y CB
∢𝐵𝐴𝐷≅∢𝐵𝐶𝐷, ya que determinan el mismo arco. ∡𝐴𝐷𝐶≅∡𝐴𝐵𝐶, por lo mismo que el anterior Luego ∆𝐴𝐷𝐸~∆𝐶𝐵𝐸 por el criterio AA Como los triángulos son semejantes, entonces podemos hacer proporción entre sus lados 𝑨𝑬 𝑪𝑬 = 𝑫𝑬 𝑩𝑬 𝑨𝑬∙𝑩𝑬=𝑪𝑬∙𝑫𝑬

5 Ejemplo Determinar la medida de “x” y del trazo CD 6∙14=7∙𝑥 6∙14 7 =𝑥
6∙2=𝑥 12=𝑥 𝐶𝐷=7+𝑥 𝐶𝐷=7+12 𝐶𝐷=19

6 Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

7 Ejemplo Determinar la medida de CD Radio = 10 y PC=PD 𝑃𝐵∙𝑃𝐴=𝑃𝐶∙𝑃𝐷
16∙4= 𝑢 2 4∙2=𝑢 8=𝑢 𝐶𝐷=2𝑢 𝐶𝐷=2∙8 𝑪𝑫=𝟏𝟔

8 Teorema 2: Secantes Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el producto de un segmento secante con su respectivo segmento exterior es igual al otro segmento secante con su respectivo segmento exterior.

9 Demostración Trazamos las cuerdas AD y BC α
∢𝐷𝐴𝐵≅∡𝐵𝐶𝐷 ya que determinan el mismo arco ∢𝐴𝑃𝐶 es común al ∆𝐴𝑃𝐷 y ∆𝐶𝑃𝐵 Por el criterio AA, ∆𝐴𝑃𝐷 ~ ∆𝐶𝑃𝐵 α β α Como los triángulos son semejantes, entonces podemos hacer proporción entre sus lados 𝑷𝑨 𝑷𝑪 = 𝑷𝑫 𝑷𝑩 𝑷𝑨∙𝑷𝑩=𝑷𝑪∙𝑷𝑫

10 Ejemplo Primero. Se quiere encontrar el valor de X. Para lo cual debemos encontrar el valor Y. Como AP es igual a 40, podemos determinar y según la siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo tanto obtenemos que Y = 10. Encuentra los valores de X e Y De esta manera sabemos los valores de AB = 30 y BP = 10 Segundo. Se quiere encontrar el valor de X. Según la propiedad AP • BP = DP • CP, por lo tanto, podemos plantear la siguiente ecuación: 40 • 10 = (X + 6) • 6 400=6𝑥+36 400−36=6𝑥 364 6 =𝑥 𝒙= 𝟏𝟖𝟐 𝟑

11 Teorema 3: Secante y tangente
Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: El cuadrado del segmento tangente en igual al producto del segmento secante por el segmento exterior.

12 Demostración Trazamos las cuerdas AB y AC α
∢𝐶𝐵𝐴≅∢𝐶𝐴𝑃, ya que determinan el mismo arco ∢𝐵𝑃𝐴 es común al los triángulos Por el criterio AA, ∆𝑃𝐵𝐴~∆𝑃𝐴𝐶 α α Como los triángulos son semejantes, entonces podemos hacer proporción entre sus lados 𝑷𝑩 𝑷𝑨 = 𝑷𝑨 𝑷𝑪 𝑷𝑨 𝟐 =𝑷𝑩∙𝑷𝑪 β

13 Ejemplo Determina el valor de PD y QT 𝑃𝐷∙𝑃𝐶=𝑃𝐵∙𝑃𝐴 𝑃𝐷∙1=4∙2 𝑷𝑫=𝟖
𝑄𝑇 2 =𝑄𝐵∙𝑄𝐴 𝑄𝑇 2 =8∙2 𝑄𝑇 2 =16 𝑸𝑻=𝟒

14 PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

15 Ejemplo Determina el valor del radio de la circunferencia 𝑃𝑇 2 =𝑃𝐵∙𝑃𝐴
𝑃𝑇 2 =9∙5 𝑃𝑇=3 5 𝑃𝑇 2 + 𝐵𝑇 2 = 𝑃𝐵 2 𝑟 2 = 9 2 4 𝑟 2 =81−45 4 𝑟 2 =36 𝑟 2 =9 𝒓=𝟑 3 5

16 TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d

17 Ejemplo Determina el valor de “x” 4𝑥+3 + 3𝑥+4 =3𝑥+5𝑥 7𝑥+7=8𝑥 𝟕=𝒙

18 PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P AP = PB

19 Ejemplo Primero: debemos encontrar el valor X. Como ya sabemos que los radios de una circunferencia son iguales formulamos la siguiente ecuación: 2X = 20, por lo tanto X = 10. Encuentra los valores de PA, PB y la medida del ángulo 1 Al saber que X = 10, determinamos que AP =30. Según la propiedad AP = BP, por lo tanto BP también vale 30, así obtenemos los valores de AP y BP . Segundo: Se quiere encontrar el valor del ángulo 1. Si observamos bien el arco AC es igual a 50°, por lo tanto el  AOP también es igual a50°. Y como OAP es igual a 90°, podemos formular la siguiente ecuación: 90° + 50° + APO = 180°, por lo tanto APO = 40° Según la propiedad OP es bisectriz, por el APO es igual al OPB, también vale 40°-