Regla de L’Hôpital.

Presentación del tema: "Regla de L’Hôpital."— Transcripción de la presentación:

1 Regla de L’Hôpital

2 La controversia L’Hôpital-Bernoulli
Dos personajes, dos matemáticos: Johann Bernoulli y Guillaume De L’Hopital; dos tierras, Suiza y Francia; una misma época de la Matemática, la llamada “La Edad dorada del cero pequeño”, un resultado en particular, La Regla de L’Hopital; una amarga controversia sobre su verdadero creador y un dictamen histórico y académico que tardó casi tres siglos en dar su veredicto.

3 Johann Bernoulli nace el 06 de agosto de1667 en Basel, Suiza y muere en la misma ciudad en El décimo hijo de la familia del farmacéutico Nicolaus Bernoulli. A pesar de la determinación de su padre por hacer de él un comerciante que continuara con sus negocios, Bernoulli optó por la Medicina y la Literatura, graduándose de Médico en 1694 con una curiosa tesis sobre la contracción muscular. Pero su ser se vuelve cada vez más hacia la Matemática, creando con sumo ingenio una gran cantidad de resultados de los cuales, algunos de ellos, muchos años después, tuvieron fuerte eco en otras ciencias además de la Matemática.

4 Entre 1691 y 1692, escribe dos textos sobre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral para el uso del marqués De L’Hopital, quien lo invitó a su hogar parisino y luego a su mansión campestre, el castillo de Ouques, a fin de que disfrutara de esta estadía entre la comodidad y el lujo, como un agradable paréntesis en su vida de carestías y demás, para que Bernoulli lo inicie en los misterios de los nuevos conocimientos del Cálculo Diferencial e Integral que Leibnitz y Newton habían creado, consciente de que él no podría por sí mismo dominar esta excitante faceta, recurrió a Johann Bernoulli.

5 En 1696, repentinamente, L’Hopital, Marqués de Saint Mesme, publica el primer tratado sobre el Cálculo Diferencial, en cuya introducción, al tiempo que reconoce sus deudas con Leibniz y Jo. Bernoulli, subraya: “me he servido libremente de sus descubrimientos”. Divide la obra en diez secciones, de las cuales, es la Novena en la que aparece la controversial Regla de L’Hopital en los siguientes términos:

6 La obra tuvo gran éxito y se editaron varias ediciones durante el s
La obra tuvo gran éxito y se editaron varias ediciones durante el s.XVIII. Al recibir Johann Bernoulli un ejemplar de la obra, enviada por su autor, le agradece el haberlo mencionado y alaba la disposición de los enunciados y las proposiciones en una inteligente presentación. Pero por otra parte, envía una carta dirigida a Leibniz en donde se lamenta con honda amargura y desesperación, de que L’Hopital haya plagiado tan descaradamente sus descubrimientos. Hace lo mismo en otra misiva dirigida a Brook Taylor poco después de la muerte del marqués Varignon, uno de los mejores amigos de Bernoulli, quién preparó un comentario sobre esta controversial obra, pero muy oscurantistas causas hicieron que no se publicara hasta 1725.

7 Esta triste controversia sobre la honestidad del autor permaneció sepultada en el curso de los años.
En 1704 Bernoulli realizó una serie de declaraciones públicas de sus numerosos resultados, y en particular el de La Regla De L’Hopital. Desde esos momentos parte del ´ambito matem´atico interesado en esta clase de dilemas, estuvo filosofando sobre la supuesta dependencia ética-académica entre L’Hopital y Bernoulli, valorando la grandeza matemática incuestionable de Bernoulli frente a la impecable reputación personal del marqués.

8 Pero la aclaración más imperiosa se realizó en 1955, cuando fueron publicadas las primeras correspondencias de Bernoulli y L’Hopital. Entonces es descubierto un trato entre ellos, el marqués y el joven tutor, realizado en Marzo 17 de 1694.

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10 La respuesta de Bernoulli a esta “carta-proposición” no ha sido aún hallada, lo que es casi obvio, aunque de una carta suya de 1694 se deduce que él habría aceptado la propuesta. Pero también, lo desagradable e irritante que le resultó, la impotencia que embargaba su ser en la pobreza, recién casado y sin trabajo, y las para él deslumbrantes cantidades ofrecidas después de los viajes a las diferentes mansiones del marqués, todo esto contribuyó a sumirlo en un silencio abrumador.

11 Es claro que a Bernoulli lo silenció su promesa hasta la muerte del marqués, y después de ella a pesar de su insistencia en el plagio, se guardó silencio por mucho tiempo, por lo que a pesar de que tardó tanto, el dictamen académico-histórico por fin reconoció a Bernoulli como verdadero autor. Pero como para Bernoulli su peor enemigo fue el tiempo muy pocos autores lo reconocen como autor de la regla de L’Hôpital.

12 Regla de L'Hôpital La regla de L'Hôpital se cumple sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo ó ∞ ∞ . Enunciado: Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0. Si existe el límite L de  𝑓′ 𝑔′  en c, entonces existe el límite de  𝑓 𝑔  (en c) y es igual a L. Por lo tanto,

13 Ejemplos

14 Puede ser que después de derivar la indeterminación persista.
lim 𝑥 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥 𝑎 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) = 0 0 ó ∞ ∞ En este caso, mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces, hasta que se haya eliminado la indeterminación, es decir: lim 𝑥 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥 𝑎 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) = lim 𝑥 𝑎 𝑓′′(𝑥) 𝑔′′(𝑥) = lim 𝑥 𝑎 𝑓′′′(𝑥) 𝑔′′′(𝑥) = ….

15 Ejemplos

16 Generalización de la Regla de L'Hôpital
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones mediante procesos algebráicos a las que si se les puede aplicar esta regla. Indeterminación (0) ∞ Si se tienen dos funciones de la forma f(x) g(x) = (0) ∞, se pueden expresar de la forma: 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑥) 1 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) 1 𝑓(𝑥)

17 Ejemplos

18 Indeterminación ∞−∞ Se puede efectuar la suma, multiplicar por el conjugado o buscar otra operación algebraica que la lleve a las formas en las que aplica la regla.

19 Indeterminaciones , ∞ 0 , 1 ∞ Si se tiene una función ∅(𝑥)= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) , puede ser que para algún valor de 𝑥 0 de x se obtenga que: 𝑓 𝑥 0 =0 , 𝑔 𝑥 0 = 𝑓 𝑥 0 =1 , 𝑔 𝑥 0 =∞ ∞ 𝑓 𝑥 0 =∞, 𝑔 𝑥 0 = ∞ 0 Para estas indeterminaciones ∅(𝑥)= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ln⁡[∅ 𝑥 ]= ln⁡[𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 ] ln⁡[∅ 𝑥 ]=𝑔 𝑥 ln⁡[𝑓(𝑥) ] Obteniendo así (0)∞ y se aplica el proceso anterior.

20 Con lo que se determina ln 𝐿 es decir: ln lim 𝑥 𝑥 0 ∅ 𝑥 =𝑎 lim 𝑥 𝑥 0 ∅ 𝑥 = 𝑒 𝑎

21 Ejemplos