Dióptras (interfases) esféricas

Dióptras (interfases) esféricas
Vimos que dioptras elípticas/hiperbólicas sirven para transformar frente de ondas planos<->esféricos Pero es muucho más fácil construir superficies esféricas…cambia mucho el comportamiento?

Dióptra esférica Cada rayo se refracta segun Snell
𝑛 1 sin 𝜃 𝑖 = 𝑛 2 sin 𝜃 𝑡 centro de curvatura (>0) distancia objeto (>0) distancia imagen (>0) Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 + 𝑛 2 𝑙 𝑖

Dioptra esférica Ley del coseno 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝛽 b c 𝛾 𝛼 a
centro de curvatura (<0) distancia objeto (>0) distancia imagen (>0) Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 + 𝑛 2 𝑙 𝑖

Dioptra esférica centro de curvatura (<0) distancia objeto (>0) distancia imagen (>0) Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝑙 𝑜 2 = 𝑅 2 + ( 𝑠 𝑜 +𝑅) 2 −2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 𝑆𝐴𝐶:

Dioptra esférica centro de curvatura (<0) distancia objeto (>0) distancia imagen (>0) Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 + 𝑛 2 𝑙 𝑖 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝑙 𝑜 2 = 𝑅 2 + ( 𝑠 𝑜 +𝑅) 2 −2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 𝑆𝐴𝐶: 𝑙 𝑖 2 = 𝑅 2 + ( 𝑠 𝑖 −𝑅) 2 −2𝑅 ( 𝑠 𝑖 −𝑅)cos (𝜋−𝜑) 𝐶𝐴𝑃:

Dióptra Esférica c Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 (𝜑)+ 𝑛 2 𝑙 𝑖 (𝜑) = 𝑛 1 ( 𝑠 𝑜 +𝑅) 2 + 𝑅 2 −2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 + 𝑛 2 ( 𝑠 𝑖 −𝑅) 2 + 𝑅 2 +2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 𝜑 parametriza la localización del pto A Fermat: LCO debe ser mínimo debe ser tal que 𝑑𝐿𝐶𝑂 𝑑𝜑 𝜑 𝐴 =0

Dióptra Esférica c Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 (𝜑)+ 𝑛 2 𝑙 𝑖 (𝜑) = 𝑛 1 ( 𝑠 𝑜 +𝑅) 2 + 𝑅 2 −2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 + 𝑛 2 ( 𝑠 𝑖 −𝑅) 2 + 𝑅 2 +2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 Fermat: LCO debe ser mínimo 𝑑𝐿𝐶𝑂 𝑑𝜑 𝜑 𝐴 =0 Recordar……

Dióptra Esférica c Cómo podemos relacionar las posiciones del objeto, la imagen y la geometria de la interfase? 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 (𝜑)+ 𝑛 2 𝑙 𝑖 (𝜑) = 𝑛 1 ( 𝑠 𝑜 +𝑅) 2 + 𝑅 2 −2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 + 𝑛 2 ( 𝑠 𝑖 −𝑅) 2 + 𝑅 2 +2𝑅 ( 𝑠 𝑜 +𝑅)cos 𝜑 𝜑 parametriza la localización del pto A Fermat: LCO debe ser mínimo debe ser tal que 𝑑𝐿𝐶𝑂 𝑑𝜑 𝜑 𝐴 =0 = 𝑛 1 2𝑅( 𝑠 0 +𝑅) sin 𝜑 2 𝑙 0 (𝜑) − 𝑛 2 2𝑅( 𝑠 𝑖 −𝑅) sin 𝜑 2 𝑙 𝑖 (𝜑)

Dióptra Esférica 𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 (𝜑)+ 𝑛 2 𝑙 𝑖 (𝜑)
𝐿𝐶𝑂= 𝑛 1 𝑙 𝑜 (𝜑)+ 𝑛 2 𝑙 𝑖 (𝜑) Fermat: LCO debe ser mínimo 𝑑𝐿𝐶𝑂 𝑑𝜑 𝜑 𝐴 =0 𝑛 1 𝑅( 𝑠 0 +𝑅) sin 𝜑 𝑙 0 − 𝑛 2 𝑅 𝑠 𝑖 −𝑅 sin 𝜑 𝑙 𝑖 =0 𝑛 1 ( 𝑠 0 +𝑅) 𝑙 0 = 𝑛 2 𝑠 𝑖 −𝑅 𝑙 𝑖 𝑛 1 𝑠 0 𝑙 𝑛 1 𝑅 𝑙 0 = 𝑛 2 𝑠 𝑖 𝑙 𝑖 − 𝑛 2 𝑅 𝑙 𝑖 𝑛 𝑙 𝑛 2 𝑙 𝑖 = 1 𝑅 𝑛 2 𝑠 𝑖 𝑙 𝑖 − 𝑛 1 𝑠 0 𝑙 0

Dióptra Esférica aprox. paraxial
𝑛 𝑙 𝑛 2 𝑙 𝑖 = 1 𝑅 𝑛 2 𝑠 𝑖 𝑙 𝑖 − 𝑛 1 𝑠 0 𝑙 0 Peeeero, para los rayos que cumplen: 𝑠 𝑜 ~ 𝑙 𝑜 𝑠 𝑖 ~ 𝑙 𝑖 , (𝜑~0) c Ecuación de dioptra esférica en la aprox Paraxial !! En esta aproximación 𝑙 𝑖 y 𝑙 𝑜 desaparecieron de la ecuación! 𝑛 𝑠 𝑛 2 𝑠 𝑖 = 1 𝑅 𝑛 2 − 𝑛 1 Para rayos paraxiales, la ecuación que vincula la posición de la fuente con la de la imagen es independiente del pto A sobre la interfase (lo y li)

Dióptra Esférica aprox. paraxial
𝑛 𝑠 𝑛 2 𝑠 𝑖 = 1 𝑅 𝑛 2 − 𝑛 1 c Importante tener presente convención de signos utilizada. + 𝑒𝑗𝑒 𝑠 𝑜 Con luz desde la izquierda… 𝑒𝑗𝑒 𝑠 𝑖 + 𝑠 𝑜 + izquierda de V 𝑠 𝑖 + derecha de V R + si C esta a la derecha de V 𝑦 𝑜 , 𝑦 𝑖 + encima del eje optico

Dióptra esférica Con luz desde la izquierda… 𝑠 𝑜 + izquierda de V 𝑠 𝑖
𝑠 𝑜 + izquierda de V 𝑠 𝑖 + derecha de V R + si C esta a la derecha de V 𝑦 𝑜 , 𝑦 𝑖 + encima del eje optico LUZ R>0 LUZ R<0

Dióptra esférica Con luz desde la izquierda… 𝒔 𝒐 + izquierda de V 𝑠 𝑖
𝒔 𝒐 + izquierda de V 𝑠 𝑖 + derecha de V R + si C esta a la derecha de V 𝑦 𝑜 , 𝑦 𝑖 + encima del eje optico LUZ LUZ 𝑠 𝑜 <0 𝑠 𝑜 >0 objeto real objeto virtual Rayos incidentes convergerian en un punto objeto…pero antes aparece la interfase…y no lo hacen

Dióptra esférica Con luz desde la izquierda… 𝑠 𝑜 + izquierda de V 𝒔 𝒊
𝑠 𝑜 + izquierda de V 𝒔 𝒊 + derecha de V R + si C esta a la derecha de V 𝑦 𝑜 , 𝑦 𝑖 + encima del eje optico LUZ LUZ 𝑠 𝑖 <0 𝑠 𝑖 >0 imagen virtual imagen real Rayos refractados parecen diverger de un punto imagen…que no existe en realidad(!)

Dióptra esférica Hay algunos puntos especiales
Existe una posición, llamada foco objeto (fo), desde donde la onda esférica emitida por una fuente puntual se transforma en onda plana

Dióptra esférica Hay algunos puntos especiales
Existe una posición sobre el eje optico llamada foco imagen (fi), a donde convergen frente de ondas planos incidentes sobre la dioptra

Dióptra esférica La ubicación de los puntos focos objeto e imagen de una dioptra esférica en la aproximación paraxial dependen de: n1, n2 y R

Dióptra esférica R>0 convexo R<0 cóncavo

Dióptra esférica: objetos virtuales
Recordemos: El foco objeto es la ubicacion del objeto que produce un frente de onda refractado plano. Consideremos esta situacion: Onda incidente hacia la dioptra convergiendo hacia algun punto (llamado objeto virtual) Recodemos convencion con la que hay que trabajar Con luz desde la izquierda… 𝑠 𝑜 , 𝑓 𝑜 + izquierda de V 𝑠 𝑖 + derecha de V R + si C esta a la derecha de V 𝑦 𝑜 , 𝑦 𝑖 + encima del eje optico

Dióptra esférica: imágenes virtuales
Recordemos: El foco imagen es la ubicacion del punto imagen producido por un frente de onda plano incidente sobre una dioptra. Consideremos esta situacion: Onda plana incidente hacia la dioptra de R<0. Rayos refractado parecen provenir de un punto ubicado en fi Recodemos convencion con la que hay que trabajar Con luz desde la izquierda… 𝑠 𝑜 , 𝑓 𝑜 + izquierda de V 𝑠 𝑖 , 𝑓 𝑖 + derecha de V R + si C esta a la derecha de V 𝑦 𝑜 , 𝑦 𝑖 + encima del eje optico

Dióptra esférica R>0 (convexo) R<0 (concavo)
La ubicacion de los puntos focos objeto e imagen de una dioptra esferica en la aproximacion paraxial dependen de: n1, n2 y R

Lentes (Snell x 2) Una lente dos interfases
(material1-material2-material1) Ya sabemos como encontrar analiticamente la imagen de una fuente puntual que produce una dioptra (…solo que ahora tenemos que concatenar dos veces ese procedimiento

Lentes: fórmula del constructor
La primera refraccion de rayos genera la imagen primaria P’ (que para este ejemplo resulta virtual) P’ actuará como fuente objeto (So2) para la refracción de la segunda interfase. 𝑠 𝑜2 = 𝑠 𝑖1 +𝑑 𝑠 𝑜2 = − 𝑠 𝑖1 +𝑑 teniendo en cuenta los signos Para la primera interfase: 𝑛 𝑚 𝑠 𝑜1 + 𝑛 𝑙 𝑠 𝑖1 = 1 𝑅 1 𝑛 𝑙 − 𝑛 𝑚 Sumo miembro a miembro ambas expresiones 𝑛 𝑚 𝑠 𝑜1 + 𝑛 𝑚 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙 − 𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑙 𝑑 (𝑠 𝑖1 −𝑑) 𝑠 𝑖1 Para la segunda interfase: 𝑛 𝑙 −𝑠 𝑖1 +𝑑 + 𝑛 𝑚 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 2 𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑙 >0 en este ejemplo

Lentes: aproximación de lente delgada
La primera refraccion de rayos genera la imagen primaria P’ (que para este ejemplo resulta virtual) P’ actuará como fuente objeto (So2) para la refracción de la segunda interfase. 𝑛 𝑚 𝑠 𝑜1 + 𝑛 𝑚 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙 − 𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑙 𝑑 (𝑠 𝑖1 −𝑑) 𝑠 𝑖1 Si la lente es lo suficientemente delgada d→0 𝑛 𝑚 𝑠 𝑜1 + 𝑛 𝑚 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙 − 𝑛 𝑚 1 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 𝑛 𝑙𝑚 ≡ 𝑛 𝑙 𝑛 𝑚

Lentes delgadas: haciendo foco
1 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 Puntos especiales: De que punto proviene la onda incidente cuando se transmite una onda plana? Llamo a ese punto foco objeto fo Donde se forma la imagen cuando incide una onda plana? Llamo a ese punto foco imagen fi 1 ∞ + 1 𝑓 𝑖 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 1 𝑓 𝑜 + 1 ∞ = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 1 𝑓 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 Para una lente delgada: 𝑓 𝑖 = 𝑓 𝑜 =𝑓

Focos, geometria y n’s 1 𝑠 𝑜1 + 1 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 2 𝑛 𝑙𝑚 −1
1 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 1 𝑓 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 R1>0 R2<0 R1<0 R2>0

Curvatura y distancia focal
1 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 1 𝑓 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1 Ejemplo de dependencia con la curvatura 1 𝑅 Distancias focales más pequeñas se obtienen para curvaturas más grandes Potencia de una lente (dioptrias) 𝜙= 1 𝑓

Como usar todo esto en los ejercicios…
Como usar todo esto en los ejercicios…. Rayos particulares (de mucha ayuda) Para lentes delgadas el rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía.

Plano focal Teniendo en cuenta que:
Para lentes delgadas el rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía. El rayo que pasaría por fo debe salir paralelo Un haz de rayos paralelos no alineado con el eje óptico converge a un punto sobre el plano focal de la lente

Lentes delgadas y formación de imágenes (metodo de los 3 rayos 3)
el rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía. el rayo que entra paralelo se dirige hacia fi el rayo que pasa por fo sale paralelo f < 0 1 𝑓 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1

Aumento Lateral de una lente
tan 𝛼 = 𝑦 0 𝑓 = |𝑦 𝑖 | ( 𝑠 𝑖 −𝑓) 𝑦 0 |𝑦 𝑖 | = 𝑓 ( 𝑠 𝑖 −𝑓) 0 < 𝛼 𝛼 < 0

𝑦 0 |𝑦 𝑖 | = ( 𝑠 𝑜 −𝑓) 𝑓 𝑦 0 |𝑦 𝑖 | = 𝑓 ( 𝑠 𝑖 −𝑓) 𝑦 0 |𝑦 𝑖 | = 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖 0 < < 0 𝑀 𝑇 ≡ 𝑦 𝑖 𝑦 𝑜 Definimos aumento lateral como =− 𝑠 𝑖 𝑠 𝑜 = 𝑓−𝑠 𝑖 𝑓 =− 𝑓 ( 𝑓−𝑠 𝑜 )

0 < < 0 MT < 0 indica imagen invertida Notar: sólo no habrá inversión cuando objeto e imagen esten en el mismo sem-espacio 𝑀 𝑇 ≡ 𝑦 0 𝑦 𝑖 =− 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖 = 𝑓 𝑓−𝑠 𝑖 = ( 𝑓−𝑠 𝑜 ) 𝑓

𝑀 𝑇 ≡ 𝑦 0 𝑦 𝑖 =− 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖 = 𝑓 𝑓−𝑠 𝑖 = ( 𝑓−𝑠 𝑜 ) 𝑓

Combinación de lentes delgadas
(lentes separadas una distancia mayor que la suma de sus distancias focales) La imagen de la primera lente sera el objeto de la segunda…. Analiticamente, puedo plantear secuencialmente la ec. del constructor de lentes: 1 𝑠 𝑜 𝑠 𝑖2 = 1 𝑅 1 − 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑚 −1

(lentes separadas una distancia mayor que la suma de sus distancias focales) 𝑀 𝑇 = 𝑀 𝑇1 𝑀 𝑇2

Lo hago en dos pasos: objeto virtual para la segunda lente (lentes separadas una distancia menor que la suma de sus distancias focales)

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