Conjuntos Subtítulo. Conjuntos OBJETIVOS ›Reconoce un conjunto ›Define diferentes conjuntos ›Expresar por comprensión y extensión ›Determina la cardinalidad.

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1 Conjuntos Subtítulo

2 Conjuntos OBJETIVOS ›Reconoce un conjunto ›Define diferentes conjuntos ›Expresar por comprensión y extensión ›Determina la cardinalidad de un conjunto DEFINICIÓN ›Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.

3 Conjuntos EJEMPLOS ›Los números enteros. ›Los habitantes de la Luna. ›Los animales en extinción. ›Los números primos.

4 Conjuntos NOTACIONES ›Al conjunto se lo designa con una letra mayúscula ›A los elementos se los designa con una letra minúscula SÍMBOLOS

5 Determinación de Conjuntos COMPRENSIÓN ›A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es ∅. N(A) = 0 ¨{x|x es positivo y par} EXTENSIÓN O TABULACIÓN › ∅ ›A={2, 4, 6, 8, …}

6 Determinación de Conjuntos COMPRENSIÓNEXTENSIÓN O TABULACIÓN

7 Determinación de Conjuntos COMPRENSIÓNEXTENSIÓN O TABULACIÓN

8 Determinación de Conjuntos COMPRENSIÓNEXTENSIÓN O TABULACIÓN

9 Determinación de Conjuntos COMPRENSIÓNEXTENSIÓN O TABULACIÓN

10 Determinación de Conjuntos COMPRENSIÓNEXTENSIÓN O TABULACIÓN

11 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

12 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

13 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

14 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓN COMPRENSIÓN

15 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓN ›C={2, 4, 8, 16, …) COMPRENSIÓN

16 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

17 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

18 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

19 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

20 Determinación de Conjuntos EXTENSIÓN O TABULACIÓNCOMPRENSIÓN

21 Determinación de Conjuntos DIAGRAMAS DE VENN ›A›A CARDINALIDAD (N) ›Define la cantidad de elementos de un conjunto ›A = {1, 3, 5, 7, 9} ›N(A) = 5 tdmstdms

22 Tipos de conjuntos CONJUNTO VACÍOCONJUNTO UNITARIO ›A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1

23 Tipos de conjuntos CONJUNTO FINITO ›A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. CONJUNTO INFINITO ›A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos.

24 Tipos de conjuntos CONJUNTO UNIVERSO ›A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. ›El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.

25 Tipos de conjuntos EJEMPLOS ›Conjunto VACÍO: ›A = {x/x es un número par e impar a la vez} ›Conjunto UNITARIO: ›A = {*} ›Conjunto FINITO: ›A = {x/x es habitante del Ecuador} ›Conjunto INFINITO: ›A = {x/x es número entero} ›Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO: ›A = {x/x es una letra del alfabeto español}

26 Cuantificadores y conjuntos › ∀ x, 2x+3x = 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x+3x=5x”. › ∃ x, 2x+2 = 4 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x+2=4”. ›Las expresiones anteriores son proposiciones ›En una proposición con cuantificadores se sugiere un conjunto universo

27 CUANTIFICADOR UNIVERSAL ›Este se simboliza como ∀ x que se lee: “para todo x”, “todo x”, “para cada x” o “cada x” y se llama cuantificador universal. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ›Se simboliza como ∃ x que se lee: “para algún x”, “existe x” o “existe al menos un x tal que” y se llama cuantificador existencial

28 CUANTIFICADOR UNIVERSAL Si x es tigre, entonces x es mamífero”. Se escribe: “Para todo x, si x es tigre, entonces x es mamífero”. Se simbolizan los predicados: T(x): x es tigre M(x): x es mamífero Se representa: ∀ x(T(x) → M(x)).. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL “Existe al menos un tigre que es devorador de hombres” Se escribe: “Existe al menos un x tal que x es tigre y x es devorador de hombres”. Se simbolizan los predicados T(x): x es tigre D(x): x es devorador de hombres Se representa: ∃ x (T(x) ∧ D(x)).

29 RELACIONES ENTRE PROPOSICIONES (CATEGÓRICAS) ›En cualquier proposición categórica, existe un sujeto- predicado. ›Una proposición afirma o niega que un sujeto, S, está contenida, totalmente o en parte, en un predicado, P. ›Existen cuatro relaciones S-P

30 RELACIONES ENTRE PROPOSICIONES

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32 Negación de Cuantificadores EnunciadoTRADUCIDONEGACIONTRADUCIDO Todos cumplen Alguno(s) no cumple(n) Alguno cumple Todos no cumplen

33 Cuantificadores Enunciado traducido PredicadoSe simbolizaNEGACIONTRADUCIDO Todos los hombres son buenos B(x): x es bueno Algunos hombres no son buenos Algunos animales son carnívoros C(x): x es carnívoro Todos los animales no son carnívoros Todas las aves vuelan A(x): x es ave V(x): x vuela

34 Relaciones: Subconjunto DEFINICIÓN ›Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO (CONTENENCIA ESTRICTA )de B, lo cual ›se representa por: ›(A ⊂ B) ⇔ [(A ⊆ B) ∧ ¬(A = B)]

35 Relaciones: Subconjunto EJEMPLO

36 Relaciones: Subconjunto EJEMPLO

37 Conjunto Potencia DEFINICIÓN ›Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. ›El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). SIMBOLOGÍA ›P(A) ={B/B ⊆ A}

38 Conjunto Potencia EJEMPLO ›Si A = {*, +, a}, entonces ›P(A) = { ∅, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}. PROPOSICIONES VERDADERAS ›{*, +} ⊂ A ›{*, +} ∈ P(A) › ∅ ∈ P(A)N(P(A))=2 3 =8

39 Conjunto Potencia EJEMPLO ›Dado el conjunto B = {1, {*, Ω}}, construya P(B). PROPOSICIONES VERDADERAS ›Los subconjuntos posibles de B son: ∅, {1}, {{*, Ω}}, B ›entonces P(B) = { ∅, {1}, {{*, Ω}}, B}. ›N(P(B)) = 2 2 = 4.

40 Relaciones entre conjuntos: Igualdad IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS ›(A = B) ⇔∀ x[(x ∈ A)  (x ∈ B)] DEFINICIÓN ›Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. ›Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente › Simbólicamente, este concepto se representa por: ›(A = B) ⇔ [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)]

41 Relaciones entre conjuntos: Igualdad EJEMPLO

42 Relaciones entre conjuntos: Igualdad EJEMPLO

43 Relaciones entre conjuntos: Inclusión LEYES: Una relación que cumple las propiedades: Reflexiva Antisimétrica Transitiva Se dice que es una: RELACIÓN DE ORDEN

44 Operaciones Entre Conjuntos OBJETIVOS ›Explicar con sus propias palabras las diferentes operaciones entre conjuntos. ›Dada una operación entre conjuntos, representarla con el lenguaje simbólico respectivo. DEFINICIÓN ›Dada una operación entre conjuntos, representarla gráficamente mediante diagramas de Venn. ›Reconocer la operación de conjuntos que representa una región sombreada dada.

45 Operaciones Entre Conjuntos UNIÓNDEFINICIÓN

46 Operaciones Entre Conjuntos: Unión EJEMPLOTABULACIÓN 2 4 8 12 14 18 22 6 10

47 Operaciones Entre Conjuntos: Unión PROPIEDADES

48 Operaciones Entre Conjuntos: Unión DEMOSTRACIÓNSOLUCIÓN

49 Operaciones Entre Conjuntos: Unión DEMOSTRACIÓNSOLUCIÓN

50 Operaciones Entre Conjuntos: Unión DEMOSTRACIÓNSOLUCIÓN

51 Operaciones Entre Conjuntos: Unión DEMOSTRACIÓNSOLUCIÓN

52 Operaciones Entre Conjuntos INTERSECCIÓNDEFINICIÓN ›La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. ›Se denota por A∩B y se define como: A∩B = {x/(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

53 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección EJERCICIOSOLUCIÓN

54 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección EJERCICIOSOLUCIÓN

55 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección PROPIEDADES

56 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección DEMOSTRAR

57 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección DEMOSTRAR

58 Operaciones Entre Conjuntos DIFERENCIADEFINICIÓN ›La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y se define como: ›A−B = {x/(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)}

59 Operaciones Entre Conjuntos: LEYES UNIÓN E INTERSECCIÓNRESÚMEN ›https://c30decf0-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/tallerdelogicacomputacional/leyes-del-algebra-de-conjuntos/leyes.png?attachauth=ANoY7coQvdQQkAEg28ezgSKpg4NYgwe1zaNW_qjHXY2-Iz-ySb3ElChcWZtRUfLfZEKKKGukieaS_aqsGKF1lrtDOiQ4fATz8IShIo- 5aQZkkwclNQ0zVHzbvGNhfOUFGdNlmg7EL4JrJVM1Y50CheSzYE9wCT04lhA9x7Um8XvCIqB6OAYowcc9LiIG36k9LIouXXedQ1tqYerJKtBJs5x4frPxoe8l-9ic4fJaxksNK4BZR16Bq3Zmf3yPmetIIYZ79vva7ErqOwCbtICwb1VDgBrYg3XznQ%3D%3D&attredirects=0https://c30decf0-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/tallerdelogicacomputacional/leyes-del-algebra-de-conjuntos/leyes.png?attachauth=ANoY7coQvdQQkAEg28ezgSKpg4NYgwe1zaNW_qjHXY2-Iz-ySb3ElChcWZtRUfLfZEKKKGukieaS_aqsGKF1lrtDOiQ4fATz8IShIo- 5aQZkkwclNQ0zVHzbvGNhfOUFGdNlmg7EL4JrJVM1Y50CheSzYE9wCT04lhA9x7Um8XvCIqB6OAYowcc9LiIG36k9LIouXXedQ1tqYerJKtBJs5x4frPxoe8l-9ic4fJaxksNK4BZR16Bq3Zmf3yPmetIIYZ79vva7ErqOwCbtICwb1VDgBrYg3XznQ%3D%3D&attredirects=0

60 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección TALLER

61 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección TALLER

62 Operaciones Entre Conjuntos: Intersección TALLER

63 Operaciones Entre Conjuntos: Diferencia DIFERENCIADEFINICIÓN ›La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. ›Se denota por A−B y se define como: ›A−B = {x/(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)}

64 Operaciones Entre Conjuntos: Diferencia DEMOSTRAR

65 Operaciones Entre Conjuntos: Diferencia DIFERENCIA SIMÉTRICADEFINICIÓN ›La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. ›Se denota por AΔB y se define como: AΔB = (A−B) ∪ (B−A), o AΔB = {x/[(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ∨ [(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A)]}

66 Operaciones Entre Conjuntos: Complemento COMPLEMENTACIÓNDEFINICIÓN ›La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. ›Se denota por A C y se define como: ›A C = {x/(x ∈ U) ∧ ¬(x ∈ A)}

67 Operaciones Entre Conjuntos: Complemento COMPLEMENTACIÓNDEFINICIÓN ›La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. ›Se denota por A C y se define como: ›A C = {x/(x ∈ U) ∧ ¬(x ∈ A)}

68 Operaciones Entre Conjuntos: L. Complemento LEYES ∅ C = U (U) C = ∅ Complementación (A C ) C = A Doble Complementación o Involutiva (A∩B) C = A C ∪ B C (A ∪ B) C = A C ∩B C De Morgan A ∪ A C = U A∩A C = ∅ (A ⊆ B) ⇔ (B C ⊆ A C ) (A ⊆ B) ⇔ (A C ∪ B=U) (A ⊆ B) ⇔ [(A∩B C ) ⊆ ∅ ] Reducción Al absurdo (A∩B = ∅ ) ⇔ A ⊆ B C (A ∪ B = U) ⇔ (A C ⊆ B)

69 Operaciones Entre Conjuntos: Complemento EJEMPLO

70 Operaciones Entre Conjuntos: Complemento DEMOSTRAR

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74 Álgebra de Conjuntos ›Si en el diagrama de Venn que se muestra a continuación el conjunto A está dado por el círculo externo, el conjunto B está dado por el círculo interno y el conjunto C está dado por el triángulo ›Determine el conjunto que representa la región sombreada.

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76 ›La primera parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto ›(A∩B C )∩C, tal como se muestra en el diagrama siguiente:

77 ›La segunda parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto ›(B∩C C ), el cual se representa en el siguiente diagrama:

78 ›A partir de estos diagramas de Venn, podemos deducir que la región sombreada requerida puede ser representada por el conjunto: ›[(A∩BC)∩C] ∪ (B∩CC)

79 Álgebra de Conjuntos ›De un conjunto de 24 profesores de matemáticas, 15 enseñan álgebra básica, 7 álgebra lineal, 8 cálculo, 4 enseñan álgebra básica y álgebra lineal pero ninguno enseña álgebra básica y cálculo ›Cuántos enseñan álgebra lineal y cálculo ›Cuántos enseñan solo álgebra lineal

80 ›De un conjunto de 24 profesores de matemáticas, 15 enseñan álgebra básica, 7 álgebra lineal, 8 cálculo, 4 enseñan álgebra básica y álgebra lineal pero ninguno enseña álgebra básica y cálculo ›Cuántos enseñan álgebra lineal y cálculo ›Cuántos enseñan solo álgebra lineal

81 Álgebra de Conjuntos ›De un conjunto de 24 profesores de matemáticas, 15 enseñan álgebra básica, 7 álgebra lineal, 8 cálculo, 4 enseñan álgebra básica y álgebra lineal pero ninguno enseña álgebra básica y cálculo ›Cuántos enseñan álgebra lineal y cálculo ›Cuántos enseñan solo álgebra lineal

82 ›De 144 bachilleres 19 se inclinaron por ingeniería y economía, 16 por ingeniería y pedagodía, 6 por economía y pedagogía y 5 por las 3 carreras. Además las 3 carreras tienen el mismo número de aspirantes. ›A cuántos les gusta Economía ›A cuantos les gusta solo ingeniería ›A cuantos les gusta solo una carrera

83 ›De 144 bachilleres 19 se inclinaron por ingeniería y economía, 16 por ingeniería y pedagodía, 6 por economía y pedagogía y 5 por las 3 carreras. Además las 3 carreras tienen el mismo número de aspirantes. ›A cuántos les gusta Economía ›A cuantos les gusta solo ingeniería ›A cuantos les gusta solo una carrera

84 ›Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados ›620 veían Teleamazonas; 400 veían Canal Uno; 590 veían Ecuavisa; ›195 veían Teleamazonas y Canal Uno; 190 preferían ver Canal Uno ›y Ecuavisa; 400 veían Teleamazonas y Ecuavisa; 300 preferían ver ›Teleamazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno. ›Determine el número de personas que no ven estos canales.

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