Los puentes de Konigsberg

Presentación del tema: "Los puentes de Konigsberg"— Transcripción de la presentación:

1 Los puentes de Konigsberg
Solución

2 Los puentes de Konigsberg
Esta es la situación presentada a Euler:

3 Los puentes de Konigsberg
Dibujemos el esquema anterior represen-tando las porciones de tierra por puntos y los puentes por líneas que los unen

4 Los puentes de Konigsberg
Número de caminos que parten de cada punto: De A ……… 3 De B ……… 5 De C ……… 3 De D ……… 3

5 Los puentes de Konigsberg
Debemos partir desde uno de los vértices. Si no es el A, supongamos que por un camino llegamos por primera vez al vértice A. Hemos agotado un camino, y como nos quedan dos, saldremos por uno y, al tener que recorrer todos, en algún momento regresaremos por el otro y ya no podremos salir. El vértice A sería fin del recorrido.

6 Los puentes de Konigsberg
Pero eso mismo ocurriría para los otros dos vértices que no son el de inicio del recorrido. Como no pueden existir tres finales de recorrido, no existe ninguna manera de recorrer todos los puentes. Para que eso pudiera ocurrir es necesario que existan como máximo dos vértices impares; uno sería el inicio del recorrido y el otro el final del mismo.

7 Los puentes de Konigsberg
Si se construye un nuevo puente entre dos cualesquiera de las porciones de tierra, o lo que es igual, si en el gráfico de puntos se añade una línea que una dos cualesquiera, entonces los dos puntos que hemos unido por dicha línea pasan de número impar de caminos a número par, y el recorrido es posible partiendo de uno de los impares y llegando al otro.

8 Los puentes de Konigsberg
Un nuevo puente entre A y B permite el recorrido.

9 Los puentes de Konigsberg
Sin embargo, si se pide que el recorrido se haga por todos los puentes volviendo al punto de partida, la solución anterior no es válida. Para que fuera posible tal cosa, el número de caminos que parten de cada vértice del gráfico debería ser par. Un nuevo camino de C a D bastaría para poder recorrer todo el gráfico volviendo al punto de partida.

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Partiendo de A: ABDBACDCBA Partiendo de D: DCDBACBABD

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