Las Reglas de Probabilidad Walter López Moreno, MBA, cDBA Módulo Instruccional Preparado para el Centro de Competencias de la Comunicación Universidad.

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1 Las Reglas de Probabilidad Walter López Moreno, MBA, cDBA Módulo Instruccional Preparado para el Centro de Competencias de la Comunicación Universidad de Puerto Rico en Humacao ©Todos los derechos son reservados 2006-07 EDADES Veces que salen a comer fuera durante una semana E5 Menores de 30 E6 30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o mas veces e1 200 e2 100 e3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 e5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 e8 600 e9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL1900210010005000

2 Tabla de contenido Introducción Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de cómo usar la presentación Glosario de Términos Las Reglas de Probabilidad Utilidad Descripción de las Reglas Tabla de Ejemplo Probabildad Marginal Probabilidad Conjunta Cómputo de la Probabilidad Cómputo de la Probabilidad Ejercicios Ejercicios de Prueba Ejercicios de Redacción Repaso de Conceptos Referencias

3 Introducción El concepto de Probabilidad tuvo su origen en los juegos de dados, cartas y el tiro de la moneda. Luego se implementó en problemas sociales y económicos. Las probabilidades son muy útiles para tomar decisiones de posibles resultados futuros. Para utilizarlas es necesario seguir ciertas reglas generales. En este módulo se describen las reglas de probabilidad utilizando ejemplos, ejercicios y enlaces que incluyen video y audio. El mismo va dirigido a todos los estudiantes de Administración de Empresas.

4 Objetivos que persigue la presentación Objetivo General Esperamos que cuando termines esta presentación puedas utilizar las reglas de probabilidad para resolver problemas con el método clasico, de frecuencia relativa o distribuciones de frecuencias Normal, Binomial o de Poisson. Objetivos Específicos Ademas esperamos que puedas: Aplicar las reglas de suma, condicional y las de multiplicación. Interpretar los eventos dependientes, independientes y los mutuamente excluyentes. Identificar probabilidades conjuntas y marginales aplicando las reglas aprendidas en este módulo.

5 Instrucciones de cómo usar la presentación La presentación inicia con la descripción de cada regla. Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabajas la presentación Siempre que se presente la siguiente figura: puedes presionarla para navegar adecuadamente a través de toda la presentación. Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.

6 Glosario de Términos  Experimento - Proceso que produce algún resultado.  Experimento aleatorio – Experimento que se puede repetir.  Evento o Suceso – Es el resultado conocido o desconocido de un experimento.  Evento Elemental – Es un resultado particular el cual no se puede subdividir como por ejemplo la selección de una moneda.  Evento Compuesto – Hay mas de un resultado. Por ejemplo que en la selección de la moneda se vea cara o cruz.  Espacio Muestral – Es la colección de todos los posibles eventos que pueden surgir de un experimento. Por ejemplo el espacio muestral de E es (e1, e2, e3). (El glosario de términos continúa en la próxima lámina)

7 Glosario de Términos  Eventos Mutuamente Excluyentes – Son eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si sale 2 en un dado no puede salir 5 en el mismo tiro.  Evento Independiente – La ocurrencia de un evento no tiene influencia en la ocurrencia de otro evento. Si sale 2 en un dado no afecta el número que salga en el próximo tiro.  Evento Dependiente – La ocurrencia de un evento influye en la ocurrencia de otro evento. Si un proyecto se empieza tarde otro proyecto que dependa del mismo requerirá tiempo adicional.  Con Reemplazo - Que se incluye nuevamente en la muestra o grupo de origen. Vea otros ejemplos relacionados a las definiciones.

8 Las Reglas de Probabilidad El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del suizo Jacob Bernoulli (1654-1705) El francés Abraham de Moivre (1667-1754) abundó en las reglas de probabilidad.

9 Utilidad Las reglas que se presentan en este módulo se utilizan para:  facilitar el cómputo de probabilidades asociadas a sucesos y fenómenos que siguen un modelo probabilístico.  definir el máximo y mínimo de una probabilidad.  permitir la sumar, restar, dividición y multiplicación de la probabilidad de un evento o suceso.  relacionar la probabilidad de un evento dependiente o independiente.  obtener la probabilidad condicional de un segundo evento.

10 Descripción de las Reglas  La reglas 1 y 2 definen los límites de las probabilidades.  De la 3 a la 5 se conocen como las reglas de suma.  Las reglas 6 y 7 se aplican a probabilidad condicional.  La 8 y 9 se conocen como las reglas de multiplicación. A continuación se dará una descripción de las 9 reglas de probabilidad incluyendo un colorario de las primeras dos. Los enlaces contienen ejemplos y gráficos que ayudan al entendimiento de las reglas presentadas.

11 Regla #1 Regla del Rango de la Probabilidad 0 < P(E) < 1 Para cualquier evento E, la probabilidad de que ocurra ese evento esta entre 0 y 1. Si estamos seguros de que algo puede ocurrir, podemos asignar al evento la probabilidad de 0.0 ó 1.0

12 Regla # 2 Regla del 1 ∑ P(e) = 1 La probabilidad de todos los eventos elementales suman 1. Ejemplo: la probabilidad de que salga cara en una moneda es de 0.50 mas la probabilidad de que salga cruz es de 0.50. El total es 1. Vea ejemplos y conceptos relacionados a las reglas 1 y 2

13 Colorario de las Reglas #1 y #2 Regla del Suceso Contrario P(Ë) = 1 – P(E) La probabilidad del complemento de un evento E, es 1 menos la probabilidad de ese evento. Ejemplo: La probabilidad de que salga 2 o 3 en un dado es 2 de 6 (2/6). La probabilidad de que no salga 2 o 3 será 1 – 2/6 = 4/6 = 2/3

14 Regla # 3 Regla de Suma Para Eventos Elementales (e) Si E=(e1,e2,e3) entonces P(E)=P(e1)+P(e2)+P(e3) La probabilidad de un evento compuesto E es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo forman (su espacio muestral).

15 Regla # 4 Regla de Suma Para Eventos Mutuamente No Excluyentes P(E1 ó E2) = P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 y E2) La probabilidad de que ocurran los eventos no excluyentes P(E1 ó E2) que es lo mismo que P(E1 U E2) es la suma de sus probabilidades individuales P(E1) mas P(E2) menos la probabilidad conjunta de ambos eventos P(E1 y E2) que también se escribe como P(E1 ∩ E2).

16 Regla # 5 Regla de Suma Para Eventos Mutuamente Excluyentes P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) La probabilidad de que ocurran los eventos Mutuamente Excluyentes E1 y E2 es la suma de sus probabilidades individuales P(E1) y P(E2) Precione para ver una explicación gráfica sobre uniones e intersecciones de eventos o sucesos

17 Regla # 6 Regla de Probabilidad Condicional para dos Eventos Dependientes E1 y E2 P(E1/E2) = P(E1 ∩ E2)/P(E2) en donde P(E2) es mayor que cero P(E1/E2) se lee como probabilidad de E1 dado que ha ocurrido E2. ***No es una división de la probabilidad de E1 entre E2*** La probabilidad de que ocurra el evento E1 dado que ha ocurrido el evento E2, es la probabilidad conjunta de ambos eventos E1 y E2, dividido por la de E2 donde esta última debe ser mayor de cero.

18 Regla # 7 Regla de Probabilidad Condicional para dos Eventos Independientes E1 y E2 P(E1/E2) = P(E1) La probabilidad de que ocurra el evento E1 dado que ha ocurrido el evento E2, es la probabilidad de que ocurra el evento E1.

19 Regla # 8 Regla de Multiplicación para dos Eventos Dependientes E1 y E2 P(E1 y E2) = P(E1 ∩ E2) = P(E1) P(E2/E1) Es útil cuando necesitamos encontrar la probabilidad conjunta pero no tenemos las frecuencias relativas. La probabilidad conjunta de dos eventos E1 ∩ E2, es el producto de la probabilidad individual de E1 por la probabilidad condicional de E2 dado que ha ocurrido E1. ¿Cuál será la probabilidad de escoger dos Ases corridas (sin reemplazo) de un paquete de 52 cartas? P(E1) es la probabilidad de escoger el primer As = 4/52 P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo As = 3/51 El resultado será 4/52 * 3/51 = 12/2652 = 0.0045

20 Regla # 9 Regla de Multiplicación para dos Eventos Independientes E1 y E2 P(E1 ∩ E2) = P(E1) P(E2) La probabilidad conjunta de dos eventos E1 y E2 es el producto de la probabilidad de E1 por la probabilidad de E2. ¿Cuál será la probabilidad de escoger dos Ases corridas (con reemplazo) de un paquete de 52 cartas? P(E1) es la probabilidad de escoger el primer As = 4/52 P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo As = 4/52 El resultado seria 4/52 * 4/52 = 16/2704 = 0.006 Precione para mayor información de probabilidad condicionada incluyendo el Teorema de Bayes

21 Reglas de Probabilidad Tabla de Ejemplo EDADES Veces que salen a comer fuera por semana E5 Menores de 30 E6 30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o mas veces e1 200 e2 100 E3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 E5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 E8 600 E9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL1900210010005000 En la siguiente tabla tenemos un resumen de tres grupos divididos por edades y las veces que comen fuera de la casa por semana.

22 Probabilidad Marginal EDADES Veces que salen a comer por semana E5 Menores de 30 E6 30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o mas veces e1 200 e2 100 e3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 e5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 e8 600 e9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL1900210010005000 Marginal Probabilidad Marginal – Representada en letra mayuscula al margen de la tabla

23 Probabilidad Conjunta EDADES Veces que salen a comer fuera por semana E5 Menores de 30 E6 30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o mas veces e1 200 e2 100 e3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 e5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 e8 600 e9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL1900210010005000 Probabilidad Conjunta representada en letra minuscula dentro de la tabla. Conjunta

24 Cómputo de la Probabilidad Probabilidad de e1 = 0.04 Todo se divide entre el total de 5000 Probabilidad de E2 = 0.38

25 Ejercicios Los siguientes ejercicios le permitirán repazar los conceptos y reglas estudiadas en este módulo. Cada ejercicio incluye la idea de cómo hacer el cómputo. Para contestarlos utilice la tabla de ejemplo presentada en las laminas anteriores.

26 Ejercicios Use la Tabla de Ejemplo 1 - Compruebe las reglas 1 y 2 sumando todos los eventos elementales. La suma de todas las probabilidades conjuntas designada como “e”, debe ser igual a uno. 2 - Utilice la regla 3 para determinar la probabilidad de que las personas menores de 30 años salgan a comer fuera. Sume las probabilidades P(e1) + P(e4) + P(e7) + P(e10). Debe ser igual P(E5)=0.38. 3 - Con la regla del suceso contrario determine la probabilidad de que las personas menores de 30 años no salgan a comer fuera. Debes restar uno menos la probabilidad del ejercicio anterior. Esto es 1-P(E5). 4 – Utilice la regla 4 para conseguir la probabilidad de personas que coman fuera 3 a 9 veces por semana o que sean mayores de 50 años. Haga el siguiente computo: P(E2) + P(E7) – P(E2 ∩ E7) En este caso P(E2 ∩ E7) es igual a P(e6) que es 0.08. (Los ejercicios continúan en la próxima lámina)

27 Ejercicios Use la Tabla de Ejemplo 5 – Utilice la regla 5 para conseguir la probabilidad de personas que coman fuera de 1 a 2 veces o de 3 a 9 veces por semana. El resultado lo obtendrá con la suma P(E2) + P(E3). 6 – Con la regla 6 determine la probabilidad encontrar personas que coman fuera menos de una vez dado de que son menores de 30 años. Esto es P(E4/E5) = P(E4 ∩ E5)/P(E5) 7 – Con la regla 7 demuestre la probabilidad de encontrar personas menores de 30 dado de que hay personas mayores de 50. Esto es P(E5/E7) debe ser igual a P(E5).

28 Ejercicios de Redacción Use la Tabla de Ejemplo 1 - Mencione cuales de los eventos en la tabla son independientes y cuales son dependientes. Mencione si hay eventos mutuamente excluyentes. Explique su razonamiento de acuerdo a las definiciones presentadas en este módulo. 2 - De ejemplos de eventos elementales y compuestos. 3 - Escriba sobre cuál es el espacio muestral de los eventos E2, E4, E5 y E7.

29 Repaso Observe un video de repaso de la probabilidad binomial

30 Referencias Anderson, Sweeney, Estadísticas para administración y economía, 8tva edición, Thomson, México 2006 Newbold P., Statistics for Business And Economics, Prentice Hall, 5ta edición,New Jersey, 2003. Bluman, Allan G. Statistics,6ta edición, Mc Graw Hil,New York, 2007. Curso Interactivo de Probabilidad de la Universidad de Costa Rica http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Probabilidad/index.html Video de Repaso Universidad de Málaga España http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/tema4/index.html Prueba virtual de la moneda http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Azar_y_Probabilidad/comenzando.htm Ejercicios de probabilidad http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ggarrigo/ccaa/hoja1.pdf Ejercicios de probabilidad http://www.math-online.cl/paa/probabilidades.pdf

31 Referencias Referencia de L. Paula (2001) Introducción al Calculo de Probabilidades Mediante Casos Reales España http://optimierung.mathematik.uni- kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver_texte/prob_spanish.pdf videos gratis de estadísticas http://sofia.fhda.edu/gallery/statistics/resources.html Referencia http://www.ing.unp.edu.ar/estadisitio/index.html http://descartes.cnice.mecd.es/index.html