Resolució de problemes amb les eines de transformacions geomètriques del pla Taller.

Presentación del tema: "Resolució de problemes amb les eines de transformacions geomètriques del pla Taller."— Transcripción de la presentación:

1 Resolució de problemes amb les eines de transformacions geomètriques del pla
Taller

2 Presentació En la primera part del taller ens centrarem en constatar la potencialitat del GeoGebra per a trobar/construir les soluciones de problemes geomètrics de amb el recurs (imprescindible? convenient? escaient?) de les eines corresponents a les transformacions del pla incorporades al GeoGebra (translacions, girs, simetries i homotècies.) Investigarem com es pot construir la solució del problema i veurem si això ens permet trobar la solució numèrica i, recíprocament, en algun altre cas pensarem si podria ser interessant començar per una resolució numèrica/algebraica i si, a partir d’aquí, podríem arribar a una construcció “exacta” de la solució En la segona part del taller farem una introducció a una (nova?) transformació geomètrica: la inversió en el pla, incorporada al programa GeoGebra en la versió 4 XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

3 Problemes 1 i 2 En terreny perfectament pla, a banda i banda d’un riu rectilini, però lluny d’aquest riu i a distàncies diferents, hi ha dos pobles i cal construir una carretera i un pont de manera que i) el pont sigui perpendicular al riu, i ii) La longitud de carretera a construir sigui mínima On s’ha de construir el pont? Per a visualizar l‘enunciat y poder investigar investiga1.ggb Applet amb la solució solucio1.ggb Variació del problema anterior canviant la segona condició per ii’) les distàncies de cada poble al començament de la seva banda del pont han de ser iguals Applet amb la solució solucio2.ggb XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

4 Problemes 3 i 4 En terreny perfectament pla, a la mateixa banda d’una via de tren recta, però lluny d’aquesta via i a distàncies diferents, hi ha dos pobles i cal construir una estació que serveixi els dos pobles i les dues carreteres que uniran l’estació amb cadascun dels dos pobles. On s’ha d’edificar l’estació per tal que la longitud de carretera a construir sigui mínima? Per a visualitzar l’enunciat i poder investigar investiga3.ggb Applet amb la solució i una proposta d’investigació solucio3.ggb Si heu investigat quina propietat tenen els angles en la solució del problema anterior ens podrem situar tot seguit al costat d’una taula de billar, pensant en les tacades que es fan sense donar efecte a les boles. Es tracta de deduir trajectòria adequada perquè, en una situació com la de la figura, piquem la bola blanca sense efecte i, després de rebotar en dues bandes, toqui la bola vermella. (las boles les representarem con punts del pla) Per a visualitzar l’enunciat i poder investigar investiga4.ggb Applet amb dues versions de com trobar les possibles solucions solucio4.ggb XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

5 Problema 5: ara ens caldran girs
Dilema: pensem que ha de ser ”prioritari” el càlcul algebraic/analític/trigonomètric o bé ens sembla “prioritària” la construcció geomètrica? En un pla hi ha tres rectes paral·leles. Es tracta de construir un triangle equilàter que tingui un vèrtex en cadascuna de les rectes. A més, pot ser interessant determinar la longitud `d‘aquest triangle en funció d ela distància entre les rectes. Applet amb la solució solucio5.ggb podeu seguir els passos de la construcció a partir del 9 (els anteriors són per a dibuixar les rectes) XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

6 Una pausa en la resolució de problemes
El pantògraf: una “visualització mecànica” de l’homotècia Referència: Anton Aubanell Un applet que funciona en el GeoGebra 4 però falla en el 5 i en el 6 Versió esquematitzada de l’applet (pantograf5.ggb) XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

7 Una mica més de geometria amb el Mecanno
Vegeu una altra construcció amb peces de Mecanno clàssic. provainv.ggb Visualtizació amb el Geogebra de la màquina de Peaucellier-Lipkin, inversor2019.ggb XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

8 La inversió en el pla Transformar un moviment circular en rectilini, i recíprocament, és necessari en molts artificis mecànics. N’és un exemple paradigmàtic la màquina de vapor. La primera solució (aproximada però ben eficaç) per tal de disposar d’un mecanisme adequat s’atribueix al propi Watt a mitjan segle XVIII. El problema el van resoldre exactament Peaucellier i Lipkin (1864). El substrat matemàtic va ser l’estudi d’una transformació geomètrica, la inversió en el pla, que té icona pròpia en el GeoGebra des de la versió 4. En anglès, que de la simetria en diuen Reflect about line, de la inversió en diuen Reflect about circle. En la presentació l’hem qualificat com a “nova”. Podem preguntar... s’ha explicat en alguna època, a casa nostra i a la secundària, en les classes de matemàtiques aquesta transformació? Ara bé, una propietat fonamental que té la inversió, la conservació d’angles i tangències, la fa útil per al dibuix tècnic, on se’n dóna una visió pràctica, en especial per a construccions de recte s o circumferències tangents XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

9 Una batalleta: El PREU (anys 60 del segle XX). Temari
XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

10 Una batalleta: El PREU (anys 60 del segle XX). L’examen
A la web podeu consultar un exemplar escanjeat del Temari que publicava el Ministerio amb els enunciats dels exàmens dels dos darrers anys abans de la publicació i una llarga col·lecció de problemes per a practicar. Si mireu aquests dos exemples d’examen veureu que, encara que no surtin a la llista de temes teòrics ni a la de temes pràctics, “se suposa” que calia saber nombres complexos! I així amb molts altres continguts. XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

11 La inversió en el pla La propietat que defineix la inversió en el pla és la següent: Donat un punt O (pol de la inversió) i una constant k cada punt A del pla es transforma en un punt A’, de la recta AO que compleix AO·A’O = k. Els punts que són a una distància del pol són fixos per la inversió i constitueixen una circumferència dita circumferència d’autoinversió, que caracteritza la transformació i és l’element que la defineix en el GeoGebra. Deixem com a estudi la construcció del punt A’ coneguts O, k i A Podeu veure que és una aplicació del teorema del catet en un triangle rectangle. Per a un punt interior solucio-inv0.ggb o exterior solucio-inv00.ggb . Podeu seguir els passos de la construcció El GeoGebra ja ens ho fa automàticament! I com que incorpora la icona de la inversió en el pla, per això sembla interessant estudiar-la una mica.. XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

12 La inversió en el pla Abans de passar a problemes de tangents us proposem fer algunes observacions empíriques Directament amb la icona de la inversió activada , per a una circumferència d’autoinversió donada, vegeu que els punts exteriors de la circumferència es transformen en punts interiors, que punts més allunyats del centre/pol es transformen en punts més propers. Vegeu també que els punts interiors es transformen en punts exteriors. I, naturalment, que la inversió és involutiva: si A’ és l’invers de A, aleshores A és l’invers de A’. Busqueu l’invers d’un segment i analitzeu el resultat segons la posició del segment. Comproveu el que ja hem vist amb la màquina de Peaucellier: que una recta que no passa per O es transforma en una circumferència que passa per O i recíprocament: I que una circumferència que no passa per O es transforma en una altra circumferència. Vegeu un problema que va sortir en un examen de PREU. Inv 1. El podeu resoldre i analitzeu el resultat. Estudieu també què passaria per a altres posicions del triangle i el pol i la circumferència d’autoinversió, o què succeeix amb altres figurs. . XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

13 Un problema per resoldre amb la inversió
Aquest és un problema que en els manuals de dibuix tècnic es presenta com a adequat per resldre’l mitjançanr la inversió… i que també va ser un problema de l’examen de Preu. La “gràcia” rau en transformar mitjançant la inversió un problema de tangents que volem resoldre en un altre problema de tangents que sapiguem resoldre. I després, desfer la inversió. Començarem amb un problema proposat en el seu moment als alumnes de PREU. Inv.2. Solució explicada del problema anterior Solucio-inv2.ggb XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

14 (més) ... problemes de tangents per resoldre amb la inversió
Inv 3. La figura mostra dos cercles iguals i tangents de radi 4,  un cercle C  tangent exteriorment als dos anteriors, i, finalment, un altre cercle, de radi r, tangent als tres cercles anteriors. Com s’ha pogut fer la construcció exacta? Quina és la mesura del radi r? Construcció: solu-inv3.ggb Deixem una pregunta i un darrer problema oberts: en quins casos una circumferència es transforma en ella mateixa? Inv 4. Construïu una circumferència que sìgui tangent a dues circumferències secants, i que passi per un punt donat. (pot ser útil revisar el problema Inv.2...i ho deixem per a les lectores i lectors interessats) XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

15 Deixem alguns enunciats com a idees per a treballar...
7. 8. 9. . XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

16 ... i acabem amb un repte: una proposta bonica
Es tracta de construir, en un triangle acutangle, un punt interior que sigui el vèrtex comú de tres triangles equilàters iguals que tenen els altres vèrtexs en els costats del triangle. Moltes vegades (si és que no passa sempre) el fet d’imaginar el problema resolt gràficament (o encara més si es pot observar la figura realitzada amb tota precisió) ens pot ajudar a trobar un camí per a dissenyar la construcció. Podeu obrir una cpnstrucció exacta (punttrestri.ggb), dinàmica, que ha fet el ponent dle taller, però que té el convenciment que es pot millorar. Ell us proposa que investigueu pel que fa als angles de la figura i de seguida pensareu: Tat que sembla que saber aquest resultat pot ajudar per a la construcció? Ànim! XI Jornades GeoGebra de l’ACG (Toni Gomà)

17 Espero que hagi estat una mica útil. Gracies per la vostra atenció!
Toni Gomà Nasarre