1 Experimentos diseñados zUn experimento diseñado es una prueba o serie de pruebas en las cuales se inducen cambios deliberados en algunas variables de.

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1 1 Experimentos diseñados zUn experimento diseñado es una prueba o serie de pruebas en las cuales se inducen cambios deliberados en algunas variables de entrada del sistema mientras otras se mantienen fijas, de manera de identificar las fuentes de los cambios en las variables de salida.

2 2 Definiciones básicas (cont) zLos tratamientos son las variables explicativas cuyo efecto sobre la respuesta nos interesa estudiar. zLas variables explicativas cuya influencia sobre la respuesta no interesa al experimentador se denominan variables de ruido. zCuando las variables explicativas son categóricas se les llama factores.

3 3 Definiciones básicas (cont) zEn este caso la temperatura y la presión representan los tratamientos del experimento y los mismos son factores  El diseño comprende seis puntos: (200psi,200ºF), (300psi,200ºF), (400psi,200ºF), (200psi,300ºF), (300psi,300ºF) y (400psi,300ºF). zNo hemos identificado ninguna variable de ruido para este problema.

4 4 Ventajas de los experimentos diseñados yCon datos históricos el rango de los tratamientos puede ser muy reducido, con lo que el ruido puede enmascarar los cambios en la respuesta.

5 5 Ventajas de los experimentos diseñados ySe puede reducir el tamaño muestral, simplificar el análisis y obtener mejor información: xSe puede lograr que los estimadores del modelo tengan propiedades atractivas (como por ejemplo la ortogonalidad). Esto hace que se logren estimaciones más eficientes con menos datos. xSe pueden elegir que factores o interacciones han de despreciarse, en caso que esto sea necesario. xEn los datos históricos es posible que el efecto de algunas variables sea indistinguible (confusión de efectos).

6 6 Modelaje de sistemas zUna vez recabados los datos, nuestro interés se centra en identificar las causas de los cambios y contestar preguntas sobre el comportamiento del sistema. zLa herramienta principal para lograr este fin son los modelos.

7 7 Modelaje de sistemas (cont) zAnteriormente estudiamos como utilizar modelos físicos en los cuales teníamos componentes estocásticos. zSin embargo, en muchos casos no se dispone de modelos físicos, o tales modelos son tan complicados que no son útiles en la práctica. Se hace necesario entonces desarrollar modelos empíricos, los cuales funcionan como “cajas negras”.

8 8 Diseños factoriales a dos niveles zSon diseños en los cuales las variables explicativas son factores (es decir, son categóricas o se han categorizado). zPara cada factor se consideran solo dos niveles, genéricamente alto (+) y bajo (-). zTodas las variables explicativas involucradas son tratamientos  El número de puntos diferentes para un diseño con k factores es n = 2 k.

9 9 Modelos asociados  Por ser un conjunto de datos con tratamientos categóricas, el modelo lógico a utilizar es un modelo de análisis de varianza con k vias que incluya todas las interacciones entre factores. zTambién puede utilizarse un modelo de regresión lineal con variables codificadas, el cual resulta equivalente al modelo ANOVA.

10 10 Definición de efecto zEn el ámbito de los diseños 2 k se denomina efecto de una variable (o de una interacción) a la diferencia entre la respuesta esperada que se obtiene en el nivel alto de la variable y la respuesta esperada que se obtiene en el nivel bajo de la misma.

11 11 Diseños 2 2 zLlamaremos A y B a las variables explicativas, así como a sus efectos. zLa interacción entre ambos factores y el efecto correspondiente la denotaremos AB. zLas condiciones experimentales pueden ubicarse en un cuadro.

12 12 Nomenclatura de diseños 2 2 zPara denotar los puntos experimentales se utiliza una palabra compuesta por las letras minúsculas correspondientes a los factores que deban colocarse a nivel alto. El punto que corresponde a todas las variables en nivel bajo se denota (1).

13 13 Nomenclatura de diseños 2 2 (cont) zAsí, los puntos en orden estándar son: zEn algunos casos se usa la misma nomenclatura para el valor de la variable de respuesta obtenida en ese punto, pero esto puede inducir a errores. AB (1) a+1 b +1 ab+1

14 14 Estimación en diseños 2 2 zLa forma más sencilla de estimar los efectos en este diseño es usar un modelo de regresión con la estructura: donde

15 15 Estimación en diseños 2 2 (cont) zAsí se obtienen como estimadores donde el punto indica la suma sobre todas las réplicas obtenidas en el mismo punto.

16 16 Estimación en diseños 2 2 (cont) zEste modelo de regresión es equivalente a ajustar un modelo de análisis de varianza de 2 vías: donde se utilizan las restricciones cumpliéndose así las relaciones

17 17 Estimación en diseños 2 2 (cont)  Recordemos que en este modelo  representa la media general de todas las observaciones y los demás coeficientes la diferencia respecto de esta media general que se produce en la respuesta para cada nivel de la variable correspondiente. Así:

18 18 Estimación en diseños 2 2 (cont) zEl estimador del efecto de A que obtuvimos anteriormente puede escribirse Es decir, el promedio de todas las observaciones a nivel alto de A menos el promedio de todas las observaciones a nivel bajo de A. Esto está en línea con nuestra definición de efecto.

19 19 Estimación en diseños 2 2 (cont) zEl mismo efecto también puede escribirse El primer paréntesis representa el cambio de respuesta que produce la variable A cuando B está en nivel bajo y la segunda el mismo cambio cuando B esta en alto.

20 20 Nomenclatura de diseños 2 k zLa forma de denotar los puntos es la misma que el diseño 2 2. En cuanto al orden estándar de un diseño 2 k, este puede hallarse duplicando el orden estándar de un 2 k-1, uno para el nivel bajo de la nueva variable seguido del otro para el nivel alto de la nueva variable.

21 21 Nomenclatura de diseños 2 k  Por ejemplo, para k = 3 y k = 4. ABC (1) a+1 b +1 ab+1 c +1 ac+1+1 bc+1 abc+1 ABCD (1) a+1 b +1 ab+1 c +1 ac+1+1 bc+1 abc+1 d +1 ad+1 +1 bd+1+1 abd+1 +1 cd +1 acd+1+1 bcd+1 abcd+1

22 22 Estimación en diseños 2 k  Un modelo de regresión con k variables de la forma puede utilizarse para estimación en este problema.

23 23 Algoritmo de los signos zPodemos usar la ortogonalidad del diseño para simplificar la fórmula de los estimadores mínimo cuadráticos. De hecho es fácil probar que estos se pueden escribir como un múltiplo del producto escalar de dos vectores:

24 24 Algoritmo de los signos (cont) zPor ejemplo, en un diseño 2 3, el estimador del efecto de la interacción ABC viene dado por: zLa columna ABC se obtiene multiplicando las columnas de A, B y C.

25 25 Análisis de diseños 2 k  Si se toma más de una réplica entonces se utiliza una tabla de análisis de varianza de k vías para determinar cuales efectos son significativos. La suma de cuadrados de cada variable tiene 1 grado de libertad y puede obtenerse a partir del efecto mediante la fórmula:

26 26 Análisis de diseños 2 k (cont) zEjemplo 2: se desea estudiar el efecto de la rapidez de corte (A), la configuración (B) y el ángulo de corte (C) sobre la duración de una herramienta. Se eligen dos niveles para cada factor y se realizan tres réplicas en cada condición experimental. Los resultados se muestran en la tabla anexa.

27 27 Análisis de diseños 2 k (cont) Se desea estimar los efectos de cada factor, determinar cuales son significativos sobre la respuesta y recomendar condiciones de operación. Punto Réplica IIIIII (1)223125 a324329 b353450 ab554746 c444538 ac403736 bc605054 abc394147

28 28 Análisis de diseños 2 k (cont) El estimador y la suma de cuadrados para cada efecto pueden calcularse con el algoritmo de signos. El SST = 2095,334 y SSE = 482,667 se obtienen como en el análisis de varianza tradicional. FactorEfectoSS A0,3330,667 B11,333770,667 C6,833280,167 AB-1,66616,667 AC-8,833468,167 BC-2,83348,167 ABC-2,16628,167

29 29 Análisis de diseños 2 k (cont) Con  = 0.05 tenemos F ref (1,16) = 4,49 y la tabla muestra que son significativos la interacción AC (y por tanto A y C) y el efecto principal B. FactorglSSMSF A10,667 0,022 B1770,667 25,546 C1280,167 9,287 AB116,667 0,552 AC1468,167 15,519 BC148,167 1,596 ABC128,167 0,933 Error16482,66731,167 Total232095,334

30 30 Análisis de diseños 2 k (cont) Es claro que el factor B debe estar en nivel alto. Para determinar que hacer con A y C, nótese que de los tres efectos (A, C y AC) el que tiene el menor valor absoluto es A. Eso quiere decir que debemos colocar C y AC en condiciones óptimas y sacrificar (si es necesario) la contribución de A. Esto se logra colocando C en alto y A en bajo (vea los signos de los efectos).

31 31 Análisis de diseños 2 k (cont) Finalmente, es necesario estudiar los residuos del modelo para verificar las hipótesis de normalidad.

32 32 Análisis de diseños 2 k (cont) Los residuos parecen ser homocedasticos, aunque tienen una cola izquierda un poco menos pesada que la normal, lo que indica una distribución asimétrica. Es necesario tener cuidado con las conclusiones anteriores mientras no se haga un estudio más detallado sobre los residuos.

33 33 Análisis de diseños 2 k (cont) zSi se dispone de solo una réplica del experimento entonces la suma de cuadrados del error es nula y no es posible utilizar una tabla de análisis de varianza para determinar cuales efectos son significativos.

34 34 Análisis de diseños 2 k (cont)  Si se supone que no hay ningún efecto significativo y que los errores cometidos en cada medición siguen una distribución normal con media 0 y varianza  2, entonces para todos los efectos:

35 35 Análisis de diseños 2 k (cont) zEsto sugiere dos posibilidades para realizar el análisis: yUtilizar un gráfico cuantil – cuantil de efectos contra la districión normal y considerar significativos los que no esten sobre la línea.  Utilizar un estimador de  2 (o bien externo, o bien obtenido a partir de los datos en forma robusta) para calcular intervalos de confianza. zAmbas técnicas suponen pocos efectos significativos.

36 36 Análisis de diseños 2 k (cont) zEjemplo 3: En un estudio sobre el rendimiento de un proceso se consideran cuatro factores cada uno a dos niveles: tiempo (A), concentración (B), presión (C) y temperatura (D). Los niveles utilizados son: FactorNivel BajoNivel Alto A (horas)2,53 B (%)1418 C (psi)6080 D (°C)225250

37 37 Análisis de diseños 2 2 (cont) Los resultados se pueden observar en la siguiente tabla. Como solo se dispone de una réplica del experimento es posible estimar los efectos pero no se puede calcular una tabla de análisis de varianza. PuntoOrden Real Rendim iento (1)512 a918 b813 ab1216 c317 ac715 bc1420 abc115 d610 ad1125 bd213 abd1524 cd419 acd1621 bcd1017 abcd1223

38 38 Análisis de diseños 2 2 (cont) Usando el algoritmo de los signos se obtienen los efectos estimados para cada factor. Una inspección preliminar indica que la temperatura y algunas de sus interacciones son los factores más importantes. FactorEfecto A4,50 B0,50 C2,00 D3,25 AB-0,75 AC-4,25 AD4,00 BC0,25 BD0,00 CD0,00 ABC1,00 ABD0,75 ACD-0,25 BCD-0,75 ABCD1,00

39 39 Análisis de diseños 2 k (cont) Del gráfico de efectos se observa que los efectos más importantes son efectivamente A, C, D, AC y AD.

40 40 Análisis de diseños 2 k (cont) Los gráficos de residuos para el modelo que contiene solo los efectos significativos:

41 41 Análisis de diseños 2 k (cont) En este caso, también se puede construir el gráfico de residuos contra el tiempo

42 42 Proyección de diseños 2 k  Gracias a su ortogonalidad, un diseño 2 k en el cuál n factores ( n < k ) son no significativos corresponde a 2 n réplicas de un diseño en el cuál participan solo k - n factores. A B C A B C no significativo a b (1) ab abc ac c bc (1) c a ac ab abc b bc

43 43 Proyección de diseños 2 k (cont) PuntoOrden Real Rendim iento (1)512 a918 b813 ab1216 c317 ac715 bc1420 abc115 d610 ad1125 bd213 abd1524 cd419 acd1621 bcd1017 abcd1223 Rendimiento PuntoReplica I Replica II (1)1213 a1816 c1720 ac15 d1013 ad2524 cd1917 acd2123

44 44 Proyección de diseños 2 k (cont) Podemos ahora construir una tabla de análisis de varianza para estos 3 factores. FactorglSSMSF A181,00 40,500 C116,00 8,000 D142,25 21,125 ACAC172,25 36,125 ADAD164,00 32,000 CD10,00 0,000 ACD10,25 0,125 Error816,002,00 Total15291,75

45 45 Ventajas y desventajas de los diseños 2 k (cont) zLos diseños 2 k son preferibles a los experimentos donde se inducen cambios en un factor a la vez: yEn estos últimos no es posible estudiar la interacción. yEstos últimos tienen una eficiencia menor, ya que se requieren más observaciones para lograr la misma precisión en la estimación.

46 46 Ventajas y desventajas de los diseños 2 k (cont) zPor ejemplo, se desea estudiar la influencia de la presión y la temperatura sobre la viscosidad de un producto. Bajo el esquema “un factor a la vez”, estudiaríamos primero la temperatura:

47 47 Ventajas y desventajas de los diseños 2 k (cont) zAhora, estudiaríamos la presión partiendo del mejor punto encontrado en el experimento anterior. Así, la condición óptima sería (250, 590) y cada estimación del efecto estaría basada en dos observaciones.

48 48 Ventajas y desventajas de los diseños 2 k (cont) zSi usamos un diseño 2 k podríamos advertir que la interacción es importante y por tanto el óptimo estaría en (220,590) y cada estimación del efecto sería calculada usando cuatro observaciones.

49 49 Ventajas y desventajas de los diseños 2 k zLa principal ventaja es que son experimentos pequeños y baratos, ya que tienen la menor cantidad de puntos necesarios para estimar interacciones entre variables. zLa desventaja es que no proveen suficiente información para estudiar en profundidad la curvatura de la superficie.

50 50 Ventajas y desventajas de los diseños 2 k (cont) zLos experimentos factoriales a dos niveles se encuentran ampliamente difundidos y suelen usarse en las primeras etapas de la experimentación para reducir el número de variables explicativas a considerar. zSin embargo, los resultados que se obtienen con ellos suelen complementarse posteriormente.

51 51 Diseños 2 k fraccionados zA pesar de que un diseño 2 k con una réplica es el diseño con la menor cantidad de puntos necesarios para estimar interacciones, en algunos casos este diseño puede ser demasiado grande. zSuponga por ejemplo un problema en el cual se tienen 7 variables explicativas, y cada punto requiere un día de trabajo perdido. ¡¡Esto significa 128 días!!